第七章潮流计算的数学模型及基本解法20110409

1、第七章 潮流计算的数学模型及基本解法什么是潮流计算什么是潮流计算? ?v 给定电力系统的给定电力系统的网络结构（连接关系）、元件参数网络结构（连接关系）、元件参数和决定电力系统运行状况的和决定电力系统运行状况的边界条件边界条件，确定电力系，确定电力系统稳态运行状态的方法统稳态运行状态的方法-潮流计算潮流计算。v 从数学上说，潮流计算是要求解一组由潮流方程描从数学上说，潮流计算是要求解一组由潮流方程描述的述的非线性代数方程组非线性代数方程组。v 电力系统潮流计算是电力系统分析中电力系统潮流计算是电力系统分析中最基本最基本的的最重最重要要的计算，是电力系统运行、规划以及安全性、可的计算，是电力系统

2、运行、规划以及安全性、可靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电靠性分析和优化的基础，也是各种电磁暂态和机电暂态分析的基础和出发点。暂态分析的基础和出发点。v潮流计算方法的发展潮流计算方法的发展-1-1 潮流计算的发展是与人们所能使用的计算工具的发潮流计算的发展是与人们所能使用的计算工具的发展相联系的。展相联系的。 早期，除了早期，除了手算潮流手算潮流外，可以用外，可以用交流计算台交流计算台通过物通过物理模拟的方法来分析电力系统稳态运行状态。这种理模拟的方法来分析电力系统稳态运行状态。这种方法虽然直观，物理概念清楚，但受到系统规模等方法虽然直观，物理概念清楚，但受到系统规模等因素的限制，分

3、析大电网的潮流会遇到困难。因素的限制，分析大电网的潮流会遇到困难。v潮流计算方法的发展潮流计算方法的发展-2 -2v5050年代中期，随着计算机的应用，开始在计算机上用数学模年代中期，随着计算机的应用，开始在计算机上用数学模拟方法进行潮流计算。拟方法进行潮流计算。v早期使用的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的简单迭代法，早期使用的潮流计算方法是以导纳矩阵为基础的简单迭代法，称为称为高斯迭代法高斯迭代法。这种方法原理简单，内存需求较少，但算。这种方法原理简单，内存需求较少，但算法收敛性极差。法收敛性极差。v后来发展了以阻抗矩阵为基础的算法。这种方法收敛性好，后来发展了以阻抗矩阵为基础的算法。这种方

4、法收敛性好，但内存占用量大大增加，限制了解题规模。但内存占用量大大增加，限制了解题规模。v牛顿牛顿拉夫逊方法拉夫逊方法是解非线性代数方程组的一种基本方法，是解非线性代数方程组的一种基本方法，在潮流计算中也得到了十分广泛的应用。在潮流计算中也得到了十分广泛的应用。v潮流计算方法的发展潮流计算方法的发展-2v60年代中后期，年代中后期，牛顿牛顿拉夫逊潮流算法拉夫逊潮流算法采用了稀疏采用了稀疏矩阵技术和节点优化编号技术，使牛顿矩阵技术和节点优化编号技术，使牛顿-拉夫逊法拉夫逊法成为电力系统潮流计算中广泛采用的优秀算法，而成为电力系统潮流计算中广泛采用的优秀算法，而且至今它仍是潮流计算中的一种广泛使用

5、的基本算且至今它仍是潮流计算中的一种广泛使用的基本算法。法。v70年代中期，年代中期，Stott在大量计算实践的基础上提出了在大量计算实践的基础上提出了快速分解法快速分解法的潮流计算模式，使潮流计算的速度大的潮流计算模式，使潮流计算的速度大大提高，并可以应用于在线。大提高，并可以应用于在线。v在在80年代末期对快速分解法潮流的收敛机理给出了年代末期对快速分解法潮流的收敛机理给出了比较满意的解释。比较满意的解释。v对潮流计算方法的基本要求对潮流计算方法的基本要求(1)(1)要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运行条要有可靠的收敛性，对不同的系统及不同的运行条件都能收敛；件都能收敛；(2)(2)

6、占用内存少、计算速度快；占用内存少、计算速度快；(3)(3)调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要求。调整和修改容易，能满足工程上提出的各种要求。7.1 7.1 潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型一、潮流方程一、潮流方程NiUYUjQPNNUdiagjijijiiii, 2 , 1:.NUYES.ESIE.NIUY:N 上上式式展展开开后后可可写写成成阶阶非非线线性性代代数数方方程程组组这这是是阶阶对对角角线线矩矩阵阵是是节节点点电电压压共共轭轭组组成成的的给给定定注注入入功功率率时时阶阶线线性性代代数数方方程程组组这这是是个个节节点点的的电电力力网网络络对对v在直角坐标系中的潮流方程在直

7、角坐标系中的潮流方程()()()()()1,2,()()1,2,iiiiiiiijijjjj iiiiiiijjijjj iiijjijjj iiiiiiiiiiiUejfPjQejfGjBejfejfajbiNaG eB fbG fB ePeaf biNQf aeb令代入基本方程得NiUYUjQPjijijiii, 2 , 1v极坐标系下的潮流方程极坐标系下的潮流方程NicosBsinGUUQsinBcosGUUPNijsincosUjBGUUjBGUjQPUUijijijijijjiiijijijijijjiiijijjijijijijjijijijiiiiiii, 2 , 1)()(,

8、2 , 1)()()(代入基本方程得令NiUYUjQPjijijiii, 2 , 1二、潮流方程的讨论和节点类型的划分二、潮流方程的讨论和节点类型的划分v对于对于N N个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量。个节点的电力系统，每个节点有四个运行变量。v例如：对于节点例如：对于节点i i有有P Pi i,Q,Qi i,U,Ui i, ,i i, ,全系统共有全系统共有4N4N个变量。对于前个变量。对于前述的复数潮流方程，共有述的复数潮流方程，共有2N2N个实数方程。个实数方程。给定给定2N2N个变量，个变量，另外另外2N2N个变量可以求解个变量可以求解；但这并不是说任意给定；但这并不是说任意给

9、定2N2N个变量个变量潮流方程都是可解的。潮流方程都是可解的。v一般说来，一般说来，每个节点的每个节点的4 4个变量中给定两个，求解另两个，个变量中给定两个，求解另两个，哪两个作为给定量由该节点的类型决定。哪两个作为给定量由该节点的类型决定。二、潮流方程的讨论和节点类型的划分二、潮流方程的讨论和节点类型的划分v对于对于负荷节点负荷节点，该节点的，该节点的P Pi i,Q,Qi i是由负荷需求决定的，一般是是由负荷需求决定的，一般是不可控的，该类节点的特点是不可控的，该类节点的特点是P P，Q Q给定，则该节点给定，则该节点U,U,待求。待求。这类节点称为这类节点称为PQPQ节点节点。联络节点也

10、可以看作。联络节点也可以看作P P，Q Q给定节点，给定节点，其其P P，Q Q值都为零。值都为零。v 对于对于发电机节点发电机节点，由于发电机自动励磁调节作用使该节点，由于发电机自动励磁调节作用使该节点的电压幅值维持不变，有功功率由发电机输出功率决定，所的电压幅值维持不变，有功功率由发电机输出功率决定，所以该节点的以该节点的P P，U U给定，给定， 、Q Q待求。这类节点称为待求。这类节点称为PVPV节点节点。NN i 1 i 1NN i 1 i 11,2,-iLossijijijj iiLossijijijj iPPUU G cosiNQQUU B cos 全系统应满足功率平衡条件：全网

11、注入功率之和应等于网损系统有功网损和无功网损都是节点电压幅值和角度的函数系统有功网损和无功网损都是节点电压幅值和角度的函数，只，只有在有在U U和和都计算出来之后，都计算出来之后，P PLossLoss和和Q QLossLoss才能确定。由于才能确定。由于P PLossLoss和和Q QLossLoss事先不知道，所以事先不知道，所以N N个节点的注入功率中至少有一个节点的个节点的注入功率中至少有一个节点的P P、Q Q不能预先给出，其值要待潮流计算结束，所有节点的不能预先给出，其值要待潮流计算结束，所有节点的U U、 确确定，定， P PLossLoss和和Q QLossLoss确定之后才能

12、确定，该节点称为确定之后才能确定，该节点称为松弛节点松弛节点(Slack bus)(Slack bus)或平衡节点或平衡节点。v因为因为平衡节点平衡节点的的P P、Q Q不能预先给出，所以该节点的不能预先给出，所以该节点的U U、 就就应预先给出，该节点也称为应预先给出，该节点也称为V V节点节点，其，其P P、Q Q值由潮流计算值由潮流计算来确定。来确定。v为使潮流计算结果符合实际，常把为使潮流计算结果符合实际，常把平衡节点选在有较大调节平衡节点选在有较大调节余量的发电机节点余量的发电机节点。潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、。潮流计算结束时若平衡节点的有功功率、无功功率和实际情况不符，就

13、要调整其它节点给定的边界条无功功率和实际情况不符，就要调整其它节点给定的边界条件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。件以使平衡节点的功率在实际允许的范围之内。v潮流方程分析潮流方程分析11212222NN1)PVPQ2 ()01,2,()01,2,()(TTnnSPiii ii iSPiii ii iSPiiin nNrn rnefeeefffPPeafbinQQfaebin rUUef x对于 个节点的电力系统，选第 个节点为平衡节点，其余（个节点中有 个节点，则有个节点。在直角坐标系中，待求的变量为 个，用表示。直角坐标系中的潮流方程是：2)01,22iin rnnn 共有 个方程，个

14、待求状态变量。v潮流方程分析潮流方程分析1的变量数相等。个方程，方程数和待求共有：个待求量。潮流方程为共态变量为：在极坐标系中，待求状rnrnicosBsinGUUQQnisinBcosGUUPPrnUUUUijijijijijjiSPiiijijijijijjiSPiirnnTTT2, 2 , 10)(, 2 , 10)(22121x7.2 Gauss7.2 Gauss法为基础的潮流计算方法法为基础的潮流计算方法一、基于导纳矩阵的方法一、基于导纳矩阵的方法snsnssTssnIUYIUYYYIUY9)-2(,s:式写成分块矩阵的形式排在最后将平衡节点对原始网络方程nssnnUIYUYssnn

15、nUYIUYv已知节点注入功率的情况已知节点注入功率的情况0000. :;:, 111222111,112nnnnnnnnnnniiiYYYYYYYYYUSIUDLYLUDYUSI之和和严格下三角矩阵和严格上三角矩阵写成对角线矩阵把写成矢量形式间的关系注入电流和注入功率之ssnnnUYIUY1nnssnnUUUULYIDU1nnssnnUUUULYIDU考虑功率与电流的关系；考虑功率与电流的关系；写成迭代格式写成迭代格式niUYUYUYUSYUijnijkjijkjijsiskiiii1ki, 2 , 11 111)()()(.,), 2 , 1()0(精度为止压值的差小于某一收敛前后两次迭代

16、求得的电逐次迭代直到值代入上式可求得电压新给定niUi这就是这就是GaussGauss为基础的潮流计算方法。为基础的潮流计算方法。Gauss-SeidelGauss-Seidel潮流计算法潮流计算法niUYUYUYUSYUijnijkjijkjijsiskiiii1ki, 2 , 11 111)()1()(在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀疏，每行只有在导纳矩阵法的迭代公式中，导纳矩阵高度稀疏，每行只有少数几个是非零元素，非对角非零元素个数与和节点少数几个是非零元素，非对角非零元素个数与和节点j j相联的相联的支路数相等。所以，上一次迭代后得到的电压值，只有少数支路数相等。所以，上一次迭

17、代后得到的电压值，只有少数几个对本次迭代中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵几个对本次迭代中节点电压的改进有贡献，这使得导纳矩阵法在每次迭代中其节点电压向解点方向的变化十分缓慢，算法在每次迭代中其节点电压向解点方向的变化十分缓慢，算法收敛性极差。法收敛性极差。由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代格式可望获得由于阻抗矩阵是满阵，用阻抗矩阵设计的迭代格式可望获得好的收敛性。好的收敛性。二、基于阻抗矩阵的方法二、基于阻抗矩阵的方法1. 1.以平衡节点为电压给定节点的阻抗矩阵法以平衡节点为电压给定节点的阻抗矩阵法nssnnUIYUY)(1ssnnnUYIYU)(ssnnnUYIZU求解电压的两种

18、方法求解电压的两种方法方法一：方法二：ss(k)nknUYUSYU1)1(sjskjjnjijkiUYUSZU)(1)1(njsjsijkjjnijijkjjijijki1)()1(11)1(UYZUSZUSZU3.3.性能分析性能分析v优点：原理简单，程序设计十分容易；导纳矩阵是一个对称优点：原理简单，程序设计十分容易；导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。v缺点缺点：（：（1 1）收敛速度慢；（收敛速度慢；（2 2）对病态条件的系统，会发生）对病态条件的系统，会发生收敛困难；（收敛困难；（3 3）平衡节点所在位置的不同选择，也会影

19、响）平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。到收敛性能。v病态系统病态系统(1)(1)节点间相位角差很大的重负荷系统；节点间相位角差很大的重负荷系统；(2)(2)包含有负电抗支路包含有负电抗支路( (如某些三绕组变压器或线路串联电容等如某些三绕组变压器或线路串联电容等) ) 的系统；的系统；(3)(3)具有较长的辐射形线路的系统；具有较长的辐射形线路的系统；(4)(4)长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比 值又很大的系统。值又很大的系统。7.3 7.3 牛顿拉夫逊法潮流计算牛顿拉夫逊法潮流计算一一. .牛顿拉夫逊法的一般描

20、述牛顿拉夫逊法的一般描述y(x)ysp0y(x)yf(x)sp在在x0处进行台劳级数展开，处进行台劳级数展开，略去二阶以上各项。略去二阶以上各项。00 xxf)f(xx0T一般描述一般描述为雅可比矩阵定义TxfJ00 xxf)f(xx0T)f(xJx010)()()1()(1)()(kkkkkkxxxxfJx二二. .直角坐标的牛顿拉夫逊法直角坐标的牛顿拉夫逊法nrnifeUUrnibeafQQnibfaePPiispiiiiiispiiiiiispii, 10)()(, 2 , 10)(, 2 , 10)(2222维维维rrnnspspf)(e,U)(Uf)Q(e,Qf)P(e,Pf)(e,

21、Uf)Q(e,f)P(e,f(x)222spnnrrTTTTT22TTPPeffQQJxefUUef维维维维维维rrnnspspf)(e,U)(Uf)Q(e,Qf)P(e,Pf)(e,Uf)Q(e,f)P(e,f(x)222spe，f为未知量，共为未知量，共2n个；个；共有共有2n个修正方程，可个修正方程，可求出修正量求出修正量x平衡节点的计算：平衡节点的计算：ssssssjUUjfesincos)()()1()(1)()(kkkkkkxxxxfJx计算过程计算过程)()()1()(1)()(kkkkkkxxxxfJxf)(e,U)(Uf)Q(e,Qf)P(e,Pf)(e,Uf)Q(e,f)P

22、(e,f(x)222spspspTTTTT22TTPPeffQQJxefUUef?| )(|max)1(kixf判断结束计算结束计算三三. . 极坐标的牛顿拉夫逊法极坐标的牛顿拉夫逊法v潮流方程潮流方程维维，rnnspU)Q(QU)P(PU)Q(,U)P(,f(x)sprniBGUUQQniBGUUPPijijijijijjispiiijijijijijjispii, 2 , 10)cossin(, 2 , 10)sincos(21n21rnTTTTTUUUUUx其中状态变量的修正量雅可比矩阵雅可比矩阵21n21rnTTTTTUUUUUx其中状态变量的修正量nnrnnrTTTTTPPUfJQQ

23、xU行行列列 TTTTTPPUfUJQQxUU/2211n21rnrnTTTTTUUUUUUUUUUx其中状态变量的修正量计算过程计算过程 TTTTTPPUfUJQQxUUU)Q(QU)P(PU)Q(,U)P(,f(x)spsp)()()1()(1)()(kkkkkkxxxxfJx?| )(|max)1(kixf判断结束计算结束计算四四. .牛顿拉夫逊法和雅可比矩阵的讨论牛顿拉夫逊法和雅可比矩阵的讨论v收敛性收敛性)(x)f(x)J(xxx(k)(k)(k)(k)(k11f(x)xJxfJfxJIx(x)(x)TTT111求导消去二阶收敛速度。，牛顿拉夫逊法具有趋近于，因此，随着迭代的进行在解

24、点处逐渐趋近于解点值随着迭代的进行，0)(, 0)(*xxfxxv直角坐标系的雅可比矩阵直角坐标系的雅可比矩阵T2T2TTTTTfUeUfQeQfPePxfJ行行行rrnnnnSRLMNHJ各子块的元素0202)()()()()(22ijiiiiiijiiiiiijiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiijiijiiiiiiijiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiiiiSffUSReeURHfBeGfQLfBeGafQLNfGeBeQMfGeBbeQMfGeBfPNfGeBbfPNfBeGePHfBeGaePH输入原始数据形成节

25、点导纳矩阵给定电压初值e(0）,f(0)k=0计算功率不平衡量和电压不平衡量Max|P,Q,V2|计算雅克比矩阵J求修正方程，得修正电压值得修正值ei+1,fi+1k=k+1否计算平衡节点功率及全部线路的功率是输出v极坐标下的雅可比矩阵UUQQUUPPxfJTTTTTLMNHJ各各子子块块的的元元素素ijijijijijjijijiijiiiiiiiiiiiiiiiijijijijijjijiiijiiiiiiiiiiiiiijijijijijjijijjiijiiiiiiiiiiiiiiiijijijijijjijiijijijijjijijiiiiiiiiiiiiiiiiiiGBLULUU

26、UjQLUQBLULUUUQLBGMUMUQMUPGMUMUQMBGNUNUUUPNUPGNUNUUUPNGBHUHUBGUUPiHUQBHUHUQBUPHsincos/sincos/sincos/sincos)cossin(/,22222v极坐标下雅可比矩阵可写成下式极坐标下雅可比矩阵可写成下式QPQPUULMNHUUJf(x)xJQPU/UUULMNHUUQPQP代入到代入到QPU/UUULMNHUUQPQP整理可得整理可得f(x)xJQ/UP/UUULMNH修正雅可比矩阵修正雅可比矩阵修正雅可比矩阵的讨论修正雅可比矩阵的讨论QPPQGBBGBGGBLMNHJsinsinsinsincoscoscoscos较小，可忽略。第三项相对第一项数值很小，可令一般情况，第三项中，其余类推；的元素为第一和第二项中，; 0, 1/,/coscos22ijijijiiiiijijsincosUPdiagUQdiagBPQBBGGBJJ0Q/UP/UUUBGGB五五. .牛顿拉夫逊法性能分析牛顿拉夫逊法性能分析v牛顿潮流算法突出的优点：牛顿潮流算法突出的优点：（1 1）收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法）收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代将具有平方收敛特性，一般迭代4 45 5次便可以收敛次便可