电子科技大学 矩阵理论PPT学习教案

1、会计学1电子科技大学电子科技大学 矩阵理论矩阵理论的的所所有有特特征征值值的的全全体体，叫叫做做 的的AA谱谱,记记为为 ( A) . 11rnnr|EA| ()() 1项式，其中叫做项式，其中叫做riiinn , n 代代数数重重数数.如果）如果）iirank(EAnm , 叫叫做做特特征征多多的的i 叫做的叫做的iim 几几何何重重数数.第1页/共29页定理 112n nACr, 若若有有 个个不不同同的的特特征征值值12重数分别为则必重数分别为则必rn , n ,n ,111rrPAPJdiag( J (),J () 矩矩阵阵叫叫做做的的标标准准形形。JAJordan其代数其代数r, 存

2、在可逆矩阵使得存在可逆矩阵使得n nPC, 定义 2如如果果存存在在可可逆逆矩矩阵阵可可对对角角化化矩矩阵阵.如如果果存存在在可可逆逆矩矩阵阵n nAC, 若若使得使得n nPC, 112nPAPdiag(,) 则则矩矩阵阵叫叫做做A第2页/共29页Jordan矩阵的结构与几个结论:(1) Jordan块的个数 r是线性无关特征向量的个数;(2) 矩阵可对角化,当且仅当r=n;(3)相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个已知特征值的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数.(4)特征值的几何重数代数重数.(5)矩阵不同特征

3、值对应的特征向量线性无关.第3页/共29页定理 2令令n nAC, 则下列命题等价：(1)是是可可对对角角化化矩矩阵阵A;(2)存在由 的特征值向量构成的一组基底。存在由 的特征值向量构成的一组基底。nCA(3) A 的Jordan标准形中的 Jordan块都是一阶的。(4)1 2iimn(i,n)二二、特特征征值值和和特特征征向向量量的的几几何何性性质质 1. 线性变换(V-n维线性空间 )TTVVV ,V (V中任一元素 有中唯一确定的元素 与之对应), 则称 T为V的变换.第4页/共29页设 是线性空间的一个线性变换，如果存在设 是线性空间的一个线性变换，如果存在nTV (C )则则叫叫

4、做做 的的特特T 特特征征向向量量。1定义定义和非零向量使得和非零向量使得nCV (C ),T,征征值值，叫叫做做 的的属属于于特特征征值值的的T 3. 线性变换的特征值2. 线性变换T为V的变换且满足nP12,V ,T()T() T()kPT(k)kT() ，则称 T为V的线性变换.例:在线性空间 中 ,求微分是一线性变换 , 即 nDf (t )f (t ), f (t )P . 第5页/共29页 2. 线性变换与矩阵V-n维线性空间, 11n,为基,T-V上的线性变换1122111nnniiiininiiiiTa,Ta,Ta则有 1212nnT,T,T,T 矩阵A称为线性变换T在基 下的

5、矩阵. 11n, 1112121222121212nnnnnnnnaaaaaa,Aaaa 第6页/共29页1211n,TA 故 121nTniinix,T,xx ,x ,xC 即得Axx 3. 线性变换与矩阵特征值关系 11212niiinnTx TT,T,Tx,Ax 第7页/共29页三三、广广义义特特征征值值问问题题设设 、如如果果存存在在和和非非零零向向量量使使得得n nnABC,CxC , (1-3)AxBx 广广义义特特征征向向量量。则则称称 为为矩矩阵阵 与与 确确定定的的AB 称称为为与与 对对应应的的x 广广义义特特征征值值，(1) 如果B 可逆时，式(1-3)可化为1(1-4)

6、B Axx 第8页/共29页(2) 当A、B 都是Hermite矩阵，即、HHAABB 且 B 正定时，有且且正正定定HBB 存在可逆矩阵PHBP P 则(1-3)式化为HAxP Px xyPPxy1, 则记11)(APPQH11()HPAPyy Qyy QQH1广义特征值都是实数广义特征值都是实数n,nyy,1存在标准正交基Hijijy y iiPxy HHHHHijijijijy y( Px ) ( Px )xP PxxBx HijijxBx. .,21共轭向量系为称Bxxxn第9页/共29页12121212101 2234设矩阵，且 正定，与 共扼设矩阵，且 正定，与 共扼向量系具有以下

7、性质，向量系具有以下性质，（ ）（ ）（ ）线性无关（ ）线性无关（ ） 与 满足方程（ ） 与 满足方程（ ）若令（ ）若令HHniniiiiinHHnnnAA , BBBBx , x ,xx(i,n) ;x , x ,x;xAxBx ;X( x , x ,x ) ,X BXE, XAXdiag(,) 6定理定理第10页/共29页 3 欧氏空间和酉空间定义 1nV R,V , 在线性空间( )上，在线性空间( )上，若映射()满足若映射()满足(1)() ()0()00,;, 正正定定性性(2)() ()()k ,k, 齐齐次次性性(3)():()=(), 交交换换律律(4)(): ()()

8、() , 分分配配律律()( )n,V R,Vn 则映射是上的内积 定义了内积的 为则映射是上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间, 简称欧氏空间.维欧几里得空间, 简称欧氏空间.例nn nT,R ,AR,(,)A 设则设则上的内积吗？上的内积吗？是是nR例第11页/共29页111: ()() TTnnna ,a,b ,bR , 例例若若规规定定1() niii,a b n,R.则则上上式式定定义义了了一一个个内内积积是是内内积积空空间间2: C a,ba,bRf ( x ),g( x )a,b例表示在所有实连续函数的全体, 其构成 上的例表示在所有实连续函数的全体, 其构成 上的 线性空间

9、,规定线性空间,规定( ( )( ) baf x ,g xf ( x )g( x )dx:C a,b证证明明是是欧欧氏氏空空间间. .baf ( x ),g( x ),f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数第12页/共29页 1bbaaf ,gf ( x )g( x )dxg( x )f ( x )dxg, f 2bbaakf ,gkf ( x )g( x )dxkf ( x )g( x )dxkf ,g 3babbaafg,hf ( x )g( x ) h( x )dxf ( x )h( x )dxg( x )h( x )dxf ,hg,h 240bbaaf , ff ( x )f

10、( x )dxf ( x )dx且200baf ( x )dxf ( x ) 第13页/共29页11ijn nijn nnnTTijijijA(a ),B(b )tr( B A)a btr( A B )( A,B )( B,A)11nnTijijij( , ): A,BV ,( A,B )a btr( A B ) n nVR,V( R), 例3：若规定内积如下TTT(kA,B )tr(kA) Btr(kA B )ktr( A B )k( A,B ) 211110001 20nnnnTijijijijijij( A,A)tr( A A)a aa,( A,A)ai, j, ,nATTTTTTT(

11、AB,C )tr( AB ) C tr( AB )C tr( A CB C )tr( A C )tr(B C )( A,C )(B,C )第14页/共29页12121nnniii(a ,a ,a ),(b ,b ,b ),( , ):(,)ia b VR,V( R ), 例4：若规定内积如下11nniiiiii(,)ia biba(,) 11nniiiiiik,(k ,)ika bkia bk(,) 12111Tnnnnniiiiiiiiii(c ,c ,c )R(,)i(ab )cia cibc(,)(,) 211000nniiiii(,)ia aia,(,) 第15页/共29页定义:(),

12、=() nijijijnV,a,Aa,Gram. 1 11 1设,是欧氏空间 一组基 令设,是欧氏空间 一组基 令则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵定理:定理:(1) TAA;111(2)()()()=nTTTnn,V ,xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为则则1(3)0(,)0TnV ,x ,x Ax. 必必有有=()ijnAaV,1 1设矩阵为欧氏空间 的一组基,的设矩阵为欧氏空间 的一组基,的度量矩阵 则度量矩阵 则第16页/共29页酉空间定义 3nV C,V , 在线性空间( )上，在线性空间( )上，若映射()满足

13、若映射()满足(1)() ()0()00,;, 正正定定性性(2)() ()() k ,k, 齐次性齐次性(3)():()=(), 交交换换律律(4)(): ()()() , 分分配配律律()( )n,V C,Vn 则映射是上的内积 定义了内积的 为则映射是上的内积 定义了内积的 为维酉空间.维酉空间.第17页/共29页111: ()() TTnnna ,a,b ,bC , 例例若若规规定定1() nHiii,a b n,C.则则上上式式定定义义了了一一个个内内积积是是酉酉空空间间第18页/共29页定义:(),=() nijijijnV,a,Aa,Gram. 1 11 1设,是酉空间 一组基

14、令设,是酉空间 一组基 令则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵则称矩阵为基,的度量矩阵 或矩阵定理:定理:(1) HAA;111(2)()()()=nTTHnn,V ,xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为则则1(3)0(,)0HnV ,x ,x Ax. 必必有有=()ijnAaV,1 1设矩阵为酉空间 的一组基,的设矩阵为酉空间 的一组基,的度量矩阵 则度量矩阵 则第19页/共29页: (), () VV ,:|, 定义 设 是酉 欧氏 空间的长度定义为定义 设 是酉 欧氏 空间的长度定义为定理 Vn酉酉( (欧欧氏氏) )空空间间, ,则则向向量量长长度度

15、具具有有以以下下设设 是是 维维的的性性质质: :(1)000 |,| (2) |k| |k | | (3) | | (4) ()|,| | |, CauchySchwarz, 不不等等式式等等号号成成立立的的充充要要条条件件是是线线性性相相关关. .第20页/共29页定义 ,V,.| | 设设是是欧欧氏氏空空间间 的的两两个个非非零零向向量量, ,它它们们之之间间的的夹夹角角定定义义为为()() =arccos =arccos T2 T2(1 11)(11 111)nn:, ,R, ,R.例例 设设第21页/共29页定义 3 d( x, y ) | xy | 的的距距离离和和向向量量yx 定

16、义 4 0),( yx xyxy 向向量量 和和 正正交交, ,记记为为 勾股定理： yx 222|yxyx 垂线最短定理： 中中的的一一个个固固定定向向量量欧欧氏氏空空间间)(RVn.的距离“垂线最短”的距离“垂线最短”和一个子空间中各向量和一个子空间中各向量第22页/共29页),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2122212121111kkkkkkkG ，12knV,Gram: 维欧氏空间 中向量的行列式维欧氏空间 中向量的行列式定义5第23页/共29页行列式的性质：行列式的性质：Gram12knV,定理: 维欧氏空间 中向量组， ，线性相关定理: 维欧氏空间 中向

17、量组， ，线性相关12()0kG 的充要条件是， ， ，的充要条件是， ， ，i 分分别别与与作作内内积积得得方方程程组组1111221()0kkx,x,x ,)+)+,)+)+11220kkxxx证:+证:+2112222()0kkx,x,x ,)+)+,)+)+ 1122()0kkkkkx,x,x,)+)+,)+)+第24页/共29页补充: 初等矩阵()=nHu,vC ,C,E u,v,Euv. 设则称设则称 为初等矩阵为初等矩阵定义 100u,v,. 1 1. .初初等等矩矩阵阵的的特特征征向向量量( () )一一、初初等等矩矩阵阵的的一一般般形形式式1111nnuv ,u ,uv,u,

18、u ,uE(u,v,)n (2) (2) 设是的一组基 则设是的一组基 则是的 个线性无关的特征向量.是的 个线性无关的特征向量.111nuv ,u ,uv,E(u,v,)n (1) (1) 设是的一组基 它们也是的设是的一组基 它们也是的个线性无关的特征向量.个线性无关的特征向量.第25页/共29页3( ()=1H.det E u,v,v u 1 11 1HE u,v, , ,v u 2.2.初等矩阵的特征值初等矩阵的特征值( ()=( ()=nHa,bCu,v,abE(u,v,)ab,(u)v a 5.5.非零向量,存在使得非零向量,存在使得. .1(10)1HHE(u,v,)E(u,v,