理学高数124PPT学习教案

1、会计学1理学高数理学高数124求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 第1页/共55页0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S

2、的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 第2页/共55页故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx第3页/共55页

3、042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx第4页/共55页定义定义2. . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :第5页/共55页曲线曲线 C 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴第6页/共55页曲线曲线 C 00),(xzyf

4、xCy zo绕绕 z轴轴第7页/共55页曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)x S第8页/共55页曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=0y zo S第9页/共55页0),(:zyfCoyxz0),

5、(22zxyf第10页/共55页的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM第11页/共55页xy12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z第12页/共55页x zbyax 双曲线双曲线0y绕绕 x 轴一周轴一周第13页/共55页x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周第14页/共55

6、页x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线 双叶旋转双曲面绕绕 x 轴一周轴一周第15页/共55页axyo上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 第16页/共55页axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 单叶旋转双曲面第17页/共55页a.xyoz 得单叶旋转双曲面得单叶旋转双曲面122222 byazx.上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 第18页/共55页 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周

7、x yo第19页/共55页 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz第20页/共55页x yoz 0 0 2222 =z=byax两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.第21页/共55页yoz 02 xazy 旋转抛物面旋转抛物面抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周第22页/共55页yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周旋转抛物面旋转抛物面第23页/共55页yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？旋转抛物面 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一

8、周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面第24页/共55页第25页/共55页yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面第26页/共55页z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo)0()222 rRryRx（ 圆圆第27页/共55页z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆第28页/共55页第29页/共55页xyz引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程222Ry

9、x解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,第30页/共55页xyzxyzol平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平

10、面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo第31页/共55页xzy2l柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l第32页/共55页xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准准线线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足

11、方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程第33页/共55页母线母线准准线线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy0第34页/共55页12222 byaxabzxyo第35页/共55页zxy = 0y12222 bzaxo第36页/共55页pxy22 zxyo第37页/共55页三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )第38页/共

12、55页zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax第39页/共55页1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)z第40页/共55页1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面a

13、bcyx zo第41页/共55页zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx第42页/共55页xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 第43页/共55页xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面zqypx22222 第44页/共55页用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy

14、0zqypx 2222截痕法截痕法 （马鞍面）第45页/共55页截痕法截痕法xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222（马鞍面）第46页/共55页截痕法截痕法xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222（马鞍面）第47页/共55页(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆.时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:双曲线

15、: 第48页/共55页虚轴平行于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1)3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy相交直线: 双曲线: 0第49页/共55页),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面第50页/共55页),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t bytaxtz ,可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到)xyz第51页/共55页1. 空间曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如, 曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .第52页/共55页三元二次