流体力学——液体微团(课件)

1、 图图 1 1ruuM3-7 3-7 液体微团运动分析液体微团运动分析3.7.1 3.7.1 微团运动的分解微团运动的分解1.1.刚体运动的基本形式：刚体运动的基本形式：平移平移 和和 转动转动转动平移uuuM刚体的速度分解定理：刚体的速度分解定理：u 分成：分成：2.2.液体运动的基本形式：液体运动的基本形式： 平移、旋转平移、旋转 和和 变形变形液体的速度分解定理：液体的速度分解定理：刚体刚体 不变形体；不变形体；液体液体 在切应力作用下，连续变形。在切应力作用下，连续变形。变形旋转平移uuuuMuuuM图图 2 2 可见应将可见应将旋转u变形u 和和 zzuyyuxxuuuzzuyyux

2、xuuuzzuyyuxxuuuzzzzzyyyyyxxxxxMMM zzuyzuyuxzuxuyzuyuxzuxuuuzyuzuxyuxuzyuzuyyuxyuxuuuzxuzuyxuyuzxuzuyxuyuxxuuuzyzxzyzxzzzzyxyzyyxyyyzxyxzxyxxxxMMM)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21配项得出：配项得出：zuyuxuzzzyyyxxx,线变形速度分量：线变形速度分量：角变形速度分量：角变形速度分量： 引入符号：引入符号：yxyxxyxyxuyuyuxu)(21)(21xzxzzxzxzuxuxu

3、zu)(21)(21zyzyyzyzyuzuzuyu)(21)(21旋转角速度分量：旋转角速度分量：)(21yuxuxyz，)(21xuzuzxy，)(21zuyuyzxzyxzyxuuzyxzyxuuzyxzyxuuzzyzxzxyzMzzyyyxyxzyMyzxyxxxyzxMx000则有：则有：zyxzyxuuuuuuzzyzxzzyyyxyzxyxxxxyxzyzzyxMzMyMx000改写成：改写成： rruuM得出矢量表达式（速度分解定理）：得出矢量表达式（速度分解定理）：式中式中:为为M点的速度矢量速度矢量为平移速度矢量为平移速度矢量为旋转角速度矢量为旋转角速度矢量为矢径为矢径k

4、ujuiuuMzMyMxMkujuiuuzyxkjizyxkzj yi xr变形率（应变率）张量为：变形率（应变率）张量为：zzyzxzzyyyxyzxyxxx 速度分解定理的意义在于：速度分解定理的意义在于：1. 1. 可将液体运动化为有旋运动和无旋运动，以便根据可将液体运动化为有旋运动和无旋运动，以便根据 各自的特点分别处理。各自的特点分别处理。2. 2. 从变形运动引出应变率张量，与应力张量相联系，从变形运动引出应变率张量，与应力张量相联系， 可以导出应力应变率关系式，进而可导出实际液可以导出应力应变率关系式，进而可导出实际液 体的运动微分方程式。体的运动微分方程式。液体的速度分解定理：

5、液体的速度分解定理：流场中任一点处的速度流场中任一点处的速度 等于平移速度等于平移速度 、旋转速度旋转速度 与变形速度与变形速度三者之和。三者之和。)(ru)(rMu 3.7.2 3.7.2 微团运动的组成分析微团运动的组成分析1.1.矩形液体微团顶点速度及运动分析矩形液体微团顶点速度及运动分析 为理解速度分解定理中有关分量的含义，为理解速度分解定理中有关分量的含义， 特对矩形液体微团的运动作一分析。特对矩形液体微团的运动作一分析。AMBo（基点）的速度分量为（基点）的速度分量为t t 时刻矩形液体微团时刻矩形液体微团 ，顶点，顶点oyxuu 、，则其余顶点，则其余顶点BMA、的速度可用泰勒级

6、数的前两项表的速度可用泰勒级数的前两项表示，如图示，如图3 3所示：所示： 图 3 AMBo边形边形 ，如图4所示。所示。 液体微团液体微团BMAo、在图在图3 3矩形顶点矩形顶点在在ttd时刻运动到时刻运动到3531BMAo位置，位置，其其形状由矩形变成平行四边形状由矩形变成平行四边速度的速度的作用下，作用下，说明：说明：在下面的分析中，本应将平行四边形在下面的分析中，本应将平行四边形 与原矩形与原矩形 进行比较；但因进行比较；但因 为为 的平移图形，为方便起见，将的平移图形，为方便起见，将 与与 进行比较，这不会影响分析结果。进行比较，这不会影响分析结果。 3531BMAoAMBo1111

7、BMAoAMBo3531BMAo1111BMAo 图 4AMBoxu的各顶点，的各顶点，矩形液体微团矩形液体微团在在和和xu（1 1）平移速度分量）平移速度分量2. 2. 速度分解定理中有关分量的含义速度分解定理中有关分量的含义yu和和t d作用下，在作用下，在时段内，均向右运动时段内，均向右运动tuxd距离，到达距离，到达向上运动向上运动tuyd距离，距离，1111BMAo位置，其形状、大小均不变，为平移运动。位置，其形状、大小均不变，为平移运动。xuyu为平移速度分量。为平移速度分量。xu、yu和和td，xx同理有：同理有：（2 2）线变形速度分量）线变形速度分量xx、yyxx单位时间单位

8、时间x方向的相对线变形量方向的相对线变形量（相对伸长或相对缩短）。（相对伸长或相对缩短）。由图由图4 4可知：可知：时段时段x方向的绝对伸长为方向的绝对伸长为txxuAAxd21，原长为，原长为xyutyBByd21xutxAAxd21yy则则yuxudtddxy21（3 3）矩形液体微团直角的改变）矩形液体微团直角的改变）（21dd单位时间直角的改变为单位时间直角的改变为yuxutxyddd21txutxxuxtxxuAoAAyxyddd)dtan(d213211tyutyyuytyyuBoBBxyxddd)dtan(d213222（4 4）旋转角速度分量）旋转角速度分量矩形液体微团矩形液体

9、微团zAMBo绕平行于绕平行于oz轴轴 的基点轴的基点轴zo 作单一作单一旋转旋转( (无角变形）运动，无角变形）运动，如图如图5 5所示：所示： 图 5通常采用新角分线通常采用新角分线的夹角的夹角d表示在表示在时段内旋转的角度，则有时段内旋转的角度，则有No与原角分线与原角分线Not dtzdd显然，原矩形显然，原矩形直角边均应旋直角边均应旋转转 ，以保持，以保持顶角为直角。顶角为直角。d之间之间图 6则有则有则得出则得出对于图对于图6 6情形，平行四边形顶角的角分线情形，平行四边形顶角的角分线11No为为，11No，矩形顶角的角分线为，矩形顶角的角分线为tyuxuAoNAoNxyd21dd

10、21d45dd9021d2110210311311yuxutxyz21dd（5 5）角变形速度分量）角变形速度分量xyyx、 角变形是在纯剪切（无旋转）条件角变形是在纯剪切（无旋转）条件下得到的。下得到的。d求出旋转角度求出旋转角度上，使矩形直角边均旋转上，使矩形直角边均旋转 ，显然所得，显然所得到的到的3d4d和和为纯剪切时所对应的为纯剪切时所对应的后，可绘在图后，可绘在图6 6 角变形，据此可求出角变形速度分量：角变形，据此可求出角变形速度分量：dtyuxutyuxutxuxyxyyd21d21dddd13则则yuxuxyxy21dtd3y从从轴转向轴转向txuyutyuxutyuyxxy

11、xd21d21dddd-dd224则则xuyutyxyx21dd4显然有显然有yxxy43ddxyyxxyx轴的角变形速度分量轴的角变形速度分量从从轴转向轴转向轴的角变形速度分量轴的角变形速度分量3.7.3 3.7.3 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 2rotuu式中，符号式中，符号 rot 和均表示求旋度，均表示求旋度，速度的旋度为矢量。速度的旋度为矢量。1. 1. 旋度旋度 旋转运动是用旋转角速度旋转运动是用旋转角速度 来表征。来表征。在流体力学中，把两倍的旋转角速度矢在流体力学中，把两倍的旋转角速度矢量定义为旋度，即量定义为旋度，即2. 2. 有旋运动有旋运动注意注意 ：由于旋度为矢量，只要有一个由于旋度为矢量，只要有一个旋度分量不为零即为有旋运动。旋度分量不为零即为有旋运动。