几个变换在光学中的应用

1、第十二章第十二章 几个变换在光学中的应用几个变换在光学中的应用1李康华李康华第十二章第十二章 几个变换在光学中的应用几个变换在光学中的应用12.1 分数傅里叶变换12.2 几何变换12.3 Hankel变换12.4 Radon变换13.5 Hough变换14.6 光学小波变换212.1 分数傅里叶变换分数傅里叶变换12.1.1分数傅里叶变换的定义分数傅里叶变换的定义221/2( ) ( )exp()()2exp ( )2 sin2tansinaFFf xjajxj xf x dxaaa ( ).-aFaaaaF式中称为的分数傅里叶叶谱，称为分数傅里叶变换的阶,其值应满足当用 代替上式的 可得

2、的逆变换。221/2-exp ()()2 ( )exp ( )2 sin2tansinajajxj xFf xf x dxaaa12.1.1（）12.1.2（）3/ 2/ 2aa 分数傅里叶变换是意义更广的傅里叶变换，常规的傅里叶变换是它的特例。当和时是常规的傅里叶变换。/2/21 ( )( )exp()21 ( )( )exp()2Ff xf xj x dxFf xf xj x dx这是常规的傅里叶变换的另一种形式。12.1.3（）12.1.4（）12.1.5（）000sin,tan,aFaaaaa（12.1.1）式所定义的变换在当时没有意义，因此必须另外定义。由于，所以有于是221/200

3、2exp ()()2 ( )limexp ( )22exp () / 2 ( )( ) ()2( )aajajxj xFf xf x dxaaaxj af x dxf xxdxjaf40因此可以通过极限过程来定义F，即0 ( )( )Ff xf xa当时，同样由极限过程可定义F ，即 ( )()Ff xfx以上两式表明，0阶的分数傅里叶变换给出了函数本身， 阶的分数傅里叶变换则给出了它的倒像。分数傅里叶变换仍然是线性变换，有( )( ) ( ) ( )aaaF Af xBh xAFf xBF h x式中A、B为常数12.1.8（）12.1.7（）12.1.6（）5可见输入信号的平移不仅引入了一

4、个相位因子,还使其分数傅里叶变换的输出信号产生了平移.变换性质：变换性质：1.位移性质位移性质221/2exp()()2 ( + )exp ()2 sin2tansinajajxj xFf x af xa dxaaa,xxa令则上式变为1/ 22221/ 222exp()2(+)2sin()2()exp()2 tansinexp()cos2expsin()22sin(cos)()exp()2 tansinexpsin(ajaFfxaajxaxajxafxdxaajaaajaaaaaxjacoasjfxdxaajaacos)(cos)2aaFaa12.1.9（）12.1.10（）62.可加性性质

5、可加性性质aa阶和 阶变换依次作用的 结果相当于（）阶的一次变换。按定义：221/2221/2221/2 ( ) ( )exp()()2exp ( )2 sin2tansinexp()()2exp2 sin2tansinexp()()2exp (2 sin2tansinaaF Ff xF Fjajxj xFdaaajajxj xaaajjxj xf xaa/21 222)1exp()( )exp(cotexpc(cotcot)(ot)2si)2sinnsiinn2sxxjajdx djajf xxaxdxaad12.1.11（）7由积分公式2221/2exp(cotcot )()2sinsin

6、exp(2 sin sin )sinsin2=expsin()2 sin sin()sinsin()expsin()xxjajdajajxxaaaaaxxja12.1.12（）8将上式最后一个积分积出将 12.1.12式 代 回 12.1.11式 可 得21/221/222exp()sin2 ( ) exp(cot)2 sin()2sin sin()sinexpcot ( )2sinsin()sin()exp()22 sin()()exp()2sin()ajaxF Ff xjaaaaxajxxjf x dxaajaajcot ajxxxxa ( ) ( )af x dxFf x12.1.13（

7、）9 ( ) ( )aaF Ff xFf xa由于在（12.1.13）式中 和 是对称的，即：+ = aaaF FfF FfFf12.1.14（）a即分数傅里叶变换算符是可对易的，当- 时，有-0 = =aaaaF FfFFfFff12.1.15（）102.周期性性质周期性性质,tansinaaa在分数傅里叶变换的定义中出现所以变换关于有周期性，周期为2 ，则有和下面结果2( )nFf xf x（ ）(21)()nFf xfx（ ）2 ( )naaFf xFf x（ ）aaaF 于是，当，时的变换均可以化为主值区内的变换(就是一个周期内的变换)，设/ 2ap() ,paFfp则 阶分数傅里叶变

8、换还可以表示为的变化范围-2p2.12.1.19（）12.1.18（）12.1.17（）12.1.16（）1112.1.3用透镜系统实现分数傅里叶变换用透镜系统实现分数傅里叶变换1.实现分数傅里叶变换的第一类基本光学单元实现分数傅里叶变换的第一类基本光学单元1000001(,),( , ),iNiaafxyf x yx y 在可加性性质上，连续执行N个阶数 (i=1,2, ,N)的变化结果，相当于执行阶为的一次变换 在标量衍射理论这章节的透镜的傅里叶变换性质中讨论了透镜的一边变换特性。如右图示,用单色平面波垂直照射在输入面，若面上的场分布为则输出面上的场分布为，则由观察面上的场分布U（）221

9、211 21 222200,00000001 2exp()exp(1)()2()exp(1)() 2()2jd dddkUjxyjddddfdkU x yjxyx xy ydx dyddf（x,y）=12.1.20（）12得：得：221211 21 222200,00000001 2exp()exp(1)()()exp(1)() 2()jk dddfjxyjddddfdf x yjxyx x y ydx dyddf（x,y）=12111=ddf其 中 ：12.1.22（）12.1.21（xp(2)2( ,)(,)exp(,)jkff x yfxyjx xy ydx d

10、yjffddf若则有 变成了常规的傅里叶变换，这也是傅里叶变换的实现方法，当要想产生分数傅里叶变换，则需下面的条件必须成立12dddsin (1 cos )tan( /:2)ffadfafa设12.1.25（）12.1.24（）12.1.23（）12111=ddf将上两式代入，则有2221(2)=()sindfdddfadff将结果代入12.1.21式得到2222000000,000()2()exp2 )()expsintansinjxxyyjx xy yjk dffx ydx dyjfafafa（x,y）=12.1.27（）12.1.26（）光学分数傅里叶变换式1412.1.31（）0000

11、2222000000000( ,)c(,)()()=c(,)exp2 tansinf x yFfxyj xxyyj x xyyfxyd x d yaa221/2( ) ( )exp()()2exp ( )2 sin2tansinaFFf xjajxj xf x dxaaa0000,xxyyxxyy引入归一化坐标=2/2/is nfa其 中2222000000000()()( ,)c(,)exp2 tansin12.1.27j xxyyj x xyyf x yfxyd x d yaa则式变成12.1.30（）12.1.29（）12.1.28（）12.1.1a将上式与定义式（）比较，发现除了常数因

12、子外，上式就是二维 阶分数傅里叶变换，即1512.1.1（）0dfd以上讨论表明，在（12.1.24）式成立时，薄透镜在单色平面波照射下，可以实现二维分数傅里叶变换，它将透镜前面 处的输入图像 变成它的分数傅里叶叶谱，形成在透镜后 处，如右图示,fafda在（12.1.25）式定义中， 称为族参数， 称为间距参数。在光学傅里叶变换表达式（12.1.27）与傅里叶变换定义式（12.1.1）的最大差别是在于光学系统只有族参数相同的分数傅里叶变换才能组成群，不同族参数的变换不族参数仅取决于 及中存在的族参数。很明显，。然后在 确定后，透镜的焦距也就具备可加性确定了。16在用透镜系统实现分数傅里叶变换

13、是，一般不用归一化公式（12.1.31）式，而是用（12.1.27）式，即定义2222000000000,000()2()()exptansinaajxxyyjx xy yF fcf x ydx dyfafa（x ,y）=分数傅里叶变换的阶数还有另一种定义，在光学中常用。则/ 22/appa则上式变为2222000000000,000()2()()exptan(/ 2)sin(/ 2)ppjxxyyjx xy yFfcfx ydx dyfpfp（ ）（x ,y ）=（12.1.32）与（12.1.34）这两式都是经常使用到的。12.1.34（）12.1.33（）12.1.32（）1700,0.

14、ffa注意：常规的傅里叶变换只能用正透镜实现，但是在分数傅里叶变换时，也可以用负透镜来实现。在（12.1.25）式中，当时，保持则同样可以得到负阶数的分数傅里叶变换如右图示。01100000,00,(,)fadfxyaa输 入 平 面在透 镜 的 右 方 ， 输 出 平 面在 透 镜 的 左由 （ 12.1.25） 式 ， 当时 ，表 示。 当 在上 输 入 二 维图 像时 ， 它 的 阶 分 数 傅 里 叶 变 换 谱 出 现 在处 ， 阶数 由 下方式 确 定 ：cos1/adf0ffdf这里的 和 都是负数，不过在这种情况和 分别是光学下，的虚物和虚像12.1.35（）181.实现分数傅

15、里叶变换的第二类基本光学单元实现分数傅里叶变换的第二类基本光学单元001,.fdff 可以实现分数傅里叶变换的第二类基本光学单元如右图示，两个焦距均为 的正透镜，相距为 ，在紧贴第一个透镜之前的面上观察输出图像在紧贴第二个透镜之后的面上观察输出图像0000(,),fxy 设输入面的场分布则第一个透镜后表面上的场为0022100000(,)(,) e x p ()2kfxyfxyjxyf12.1.36（）19d 这个光场分布通过空间距离 传到第二个透镜前表面，造成的场分布00222000220000exp( ,)(,) exp()2()()exp2jkdkfx yfxyjxyjdfxxyyjdd

16、x dyd （）1 此光场分布通过第二个透镜在面上造成的场分布为0022222220000000( , ) exp ( , )22()exp()=( ,)exp()xyf x yjkf x yfjx x y yjkdjfdf x yxxyydx dyjddfd（）12.1.37（）12.1.38（）2001add按（12.1.25）式和（12.1.35）式设 和 ，并规定 的方向从指向，向右为正，则有0022222220000000( , )exp( , )2cos ()2()=c(,)exp(1 cos )(1 cos )xyf x yjkfx yfja xxyyjx xy yfxydx d

17、yfafa将上式与（12.1.37）式比较。发现只要设(1 cos )sindfafa1 cos=tan( /2)sinaf ffaa即0022220000000cos ()2() ( , )=c( ,)expttnanaja xxyyjx xy yf x yf x ydx dyfafa则有12.1.40（）12.1.42（）12.1.39（）12.1.41（）族参数注意：第二类基本单元和第一类基本单元的族参数的定义式是不同的。21和变换的第一类基本单元一样，同样可以用负透镜实现分数傅里叶变换faf把上图的两个正透镜换成两个负透镜，并设 和 均为负值，此时的仍为正值，而间距为(1 cos )s

18、in0d fafa12.1.43（）22应用应用231.信号分离与噪音去除信号分离与噪音去除：分数傅里叶变换是一种空间平移变的操作,所以许多在空间域和频率域都重叠的信号和噪音在特定的分数傅里叶变换域却能够很好地分开.因此只需一个简单的振幅滤波器就可以实现信号分离或噪音去除2.演演生新的生新的变换：变换：分数傅里叶变换的提出,也为一些新变换的产生奠定了基础,3.利用利用分数傅里叶变换实现分数傅里叶变换实现Radon-Wigner展示展示12.2 几何变换几何变换几何变换是一个坐标变化，定义为：1( ) ( )Fufxxudx（ ） =-1-1( )=),f xuxuuxx为输入函数， （ ）被定

19、义为一个坐标系的 到另一个坐标系的 的坐标变换，为（逆坐标变换为 （ ）.使用几何变换恢复原始的输入可表示为1( )( )Fufufx（ ） =12.2.1（）12.2.2（）24常用的几何变换常用的几何变换1( )(),( )( ).F uf uauxxaxxua几何变换函数为映射(1)位移变换和：关系为( )( / ).uxaxaF uf u a当映射关系为时，几何变换就成了缩放变化，输入函数由 控制。同时缩放变换函(2)缩放变换：数变为（ ）=( )(exp( ),( )ln ,( )exp( ),F xfuuxxxxu几(3)对数何关系为因此坐标变换关系为逆变换为这种变换用于比例不变的

20、变换：模式识别。2512( ,)cossin( ,)sincos( , )(co( ,)ssin),(sincos)ux yxyvx yxyF u vyfuvufvx 用二维方程组描述旋转变换的两个映射关系分别定义为在旋转变换中，输入光场的几何(4变换为可以看出)旋转变换：，变换后的光场是初始光场旋转了-角后的结果22112( ,)( ,)tan(/),(cos,sin,),rx yxyx yyxF rffrx yr由笛卡尔坐标系变换到极坐标系的映射关系可表示为：如果输(入光场为经极坐标变换后为这样的极坐标变换可用5)极坐标变换：于旋转不变的（）=模式识别12.2.3（）12.2.4（）261

21、2.2.2 广义几何变换广义几何变换因为映射或逆映射不是唯一的，所以有些几何变换没有可逆性，所以需要将几何变换推广到广义的几何变(引入广义几何换变换的作用) ( )()()F ufufu（1）二点到一点的映射关系时，其的广义几何变换, ( )( ),Axu xAF uf x dx（2）多点到一点的映射关系时，例如（ ）=其的广义几何变换12.2.5（）12.2.6（）2712.2.3 几何变换的光学实现几何变换的光学实现经典实现几何变换的光学系统在系统里，准直的相干光照射幻灯片得到输出光场。在输入平面后放置一块相位掩膜板，该相位掩膜板就可以实现几何变换28相位掩膜板的复振幅透过率为exp( ,

22、 )tjx y12( , )( , )2( , )( , )2fx yux yxfx yvx yy是通过与其对应的坐标映射关系计算出来的，表现为12.2.7（）12.2.8（）29( , )f x y在这个光学系统中，输入光场与相位掩膜板乘积的傅里叶变换在输出面上可以表示为( , )( ,) exp( ,)exp2()2( ,) exp( ,; , )uxvyG u vfx yjx yjdxdyfffx yjh x y u vdxdy,( ,; , )=2x yuxvyh x y u v（其）中，00,u vx yhx yxy当波长 比坐标和小几个数量级时，相位因子 就会在上快速变化，这是积分

23、就会变为零。通过鞍点（）附近的一些分区积分，可以准确滴计算此积分。12.2.9（）30h鞍点处 的导数等于0，相位因子是稳定的0000(,)(,)0 xyxyhhxy因 为 仅 鞍 点 附 近 区 域 才 对 积 分 的 值 有 贡 献 ， 从 （ 12.2.1）和 （ 12.2.10） 式 可 以 看 出 ， （ 12.2.8） 式 所 要 求 的 映 射在 鞍 点 附 近 时 满 足 。12.2.10（）-x y注意，因此，可以把平面分成一些子平面，每个平面包含一个鞍点。在只考虑输出强度分布是通常鞍点，几何变都不止一个换像为：1112( , )( ),( )G u vfuv( ,;,)ex

24、p-,h x y u vjx yfx yu v这 项 技 术 可 以 理 解 为 相 位 掩 膜 板起 到 一 个 局 部光 栅 或 局 部 棱 镜 的 作 业 ， 在 满 足 相 位 平 稳 条 件 的平 面 上 的 一 组 区 域上 实 现 了 （） 到 G()的 衍 射 。12.2.11（）31几何变换的应用光学几何变换可用于照明光的重新分布、成像系统的像差矫正和畸变补偿、光束整形以及含不变量的模式识别（在几何变换形式中提到）等。另外，利用变形的麦克斯韦方程组，坐标变换还可以被用来分析表面浮雕和多层光栅等问题3212.3 Hankel(汉克尔汉克尔)变换变换12.3.1 Hankel变换

25、的数学定义变换的数学定义( )anf x在数学中， 一个函数的Hkel变换表示为0( )( )(2)mmHf r Jrrdr 1/ 2,( )mf r 如果可以证明输入函数可以通过逆Hankel变换得到恢复。0( )( )(2)mmf rHJrd 12.3.2（）12.3.1（）3312.3.2 极坐标下的傅里叶变换极坐标下的傅里叶变换( , )( , )f x yF u v用和分别表示的二维函数及其傅里叶变换，为( , )( , )exp2 ()F u vf x yjuxvy dxdy r在极坐标系下，平面上以（, ）表示的傅里叶变换可以用傅里叶平面上以（ ， ）表示的极坐标坐标表示200(

26、 , )( , )exp2cos()Ff rjrrdrd 12.3.4（）12.3.3（）34,f r如果输入光场为圆对称的，同时（）与 无关，可得出20000( , )( )exp2cos()( )(2)Ff r rdrjrdf r Jrrdr 0()J其 中为 第 一 类 零 阶 贝 塞 尔 函 数ankelankelFF 傅里叶变换式（ , ）为输入光场的零阶H变换。由零阶H变换可知，圆对称输入光场的傅里叶变换（ , ）与 无关，它也是圆对称。其中光束通过一个圆孔时就属于这种情况。12.3.5（）35( , )( , )()f rf rF 通常都和 有关，这时，可以计算和,的圆谐波展开式

27、，它是对角向坐标的一维傅里叶变换，分别为20201( )( , )exp21( )( , )exp2mmfrf rjm dFfjm d ( )( )mmmfrF其中， 是整数，和也称为输入光场及其傅里叶变换的圆谐波函数( , )( , )2( )( )mmf rFfrF 由于和都是周期为的周期函数，所有和实际上也就是傅里叶级数展开式中的系数( , )( )exp()( , )( )exp()mmf rfrjmFFjm 12.3.6（）12.3.7（）36( ,)(,)2( )()( )( ,)mmmf rFfrFfrf r 因 此 ， 可 以 发 现 ， 输 入 光 场 的 圆 谐 波 函 数

28、 及 其 傅 里 叶 变 换 圆 谐 波 函 数之 间 的 关 系 ， 可 以 在 （ 12.3.4） 式 两 边 对进 行 角 向 傅 里 叶 变 换 得 到 ，其 中 用 输 入 光 场 的 圆 谐 波 展 开 式 由 于和都 是 周 期 为的周 期 函 数 ， 所 有和实 际 上 也 就 是 傅 里 叶 级 数 展 开 式 中 的 系 数代 替 输 入 光 场22200001( )exp( )exp 2cos()(2 )( )(2)mnnmmFjm dfrjrrdrdfr Jrrdr m其中，第一类 阶贝塞尔函数表示为20( )exp()exp(cos )2mjJxjmajxa da.a

29、nkelHankel-am其中，上式中的第二个等式定义为 阶H变换，因此，也称为傅里叶 贝塞尔变换12.3.8（）12.3.9（）37ankel( )( )ankelmmfrmFm在光学中，所有能进行光学傅里叶变换的系统，都可以像（12.3.8）式那样进行H变换，其中为输入像的阶圆谐波函数，为输入像傅里叶变换的阶圆谐波函数。因此，一个二维输入函数，它圆谐波函数的H变换为其傅里叶变换的圆谐波。3812.4 Radon(拉东拉东)变换变换12.4.1 Radon变换的定义变换的定义( , ),f r在断层摄影术中，待成像的三维物体可以有一系列投影平面描述。假定在某个投射平面上，物体的切面用极坐标形

30、式表示为如右图示39adon一维光电探测器阵列所接受的信号时沿光程的线积分结果，辐射光场一系列不同的入射角度 转动，光电探测器阵列随之转动，从而得到一系列的投影结果，每个投影可以看成一个二维函数，在R变换中表示为/=R RrrRR其中， 为狄拉克函数，表现为受约束的平面投影，位置 应该保持在路径上，其中 的方向是路径的垂线方向。12.4.1（）4012.4.2 像的重构像的重构adon,( , )RRf r扫描目标的像可以从逆变换中重构恢复出来，常用的像恢复方法是基于中心切片理论提出的。g()的一维傅里叶变换是目标函数的傅里叶变换，（12.4.1）式的一维傅里叶变换为cos ,sin ,cos

31、 ,sin .xryruv其中，(u, )Fv通过逆傅里叶变换可以从中恢复目标12.4.3（）41, ),= ,x yx yxR在像空间中的投影面，对于一个给定的投影方向，将笛卡尔坐标系(旋转一个角度 变成(),这样投影则(12.4.1)式的积分可以变为一维积分，表示为(, 0 )(,)gRfxyd y12.4.4（）12.4.5（）,u vu v相应地，如果在频域空间中将傅里叶变换同样旋转一个角度 ，是频域坐标()变成(),则(12.4.3)式变成( ,0)exp(2)( ,)exp()( ,0)g RjR dRf x yj uv dyF u42从上面的结果可以知道，对每一个给定投影角的二维

32、目标切片，它的一维傅里叶变换可以通过目标函数的二维傅里叶变换将之变成一条直线，(12.4.5)式称为中心切片定理。当旋转角 后，投影函数的一维傅里叶变换g(R, )就可以给出目标切片上的整个二维傅里叶变换。adonR应用：变换描述的是用于计算机断层摄影术，射天文学和核医学等的投射算子4312.5 Hought(霍尔霍尔)变换变换12.5.1 Hough变换的定义变换的定义ough在笛卡尔坐标系(就是直角坐标系和斜角坐标系的统称)中，直线的H变换定义为1 11,(, )0,( , )( , ) (cossin )rHrf x yrxydxdy其他其中1111,(x,y)cossin0,( , )

33、rxyf x y 其他12.5.1（）4411-(, ),x yrr上式表示的是空间内的一条直线，在空间中，该直线变换为一个点如图12.5.1所示4500-(,)oughx yxxyy另外，在坐标系中，任意点的H变换表示为0000( , )(,) (cossin )(cossin )Hrxx yyrxydxdyrxy12.5.2（）(12.5.2)-r上式式描述平面中的一个伪正弦函数，如图12.5.2所示46-x yx yr 事实上，平面上的，依据直线的方向及距坐标系原点的距离，每条直线映射为空间内的一一个点可以表示为多个点，所以这些点组条直成一线相交而成的个伪正交点弦曲线。4712.5.1 Hough变换的光学实现变换的光学实现oughGindiGmitro12.5.3光学系统的H变换是有和提出，如图所示oughDoveough光 学 系 统 对 一 个 输 入 目 标 进 行 成 像 ， 由 两 个 柱 透 镜 分 别垂 直 和 水 平 方 向 实 现 一 维 傅 里 叶 变 换 。 用 CCD提 取 零 阶 傅 里叶 变 换 谱 ， 就 可 得 到 给 定 的角 的 H变 换