2021年石牌中学中考专题复习导学案19：直角三角形(含答案)

1、2021年中考数学专题练习19?直角三角形?【知识归纳】1.直角三角形的定义有一个角是 的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角 ；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 ；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 3.直角三角形的判定(1)两个内角 的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的 的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2b2=c2，那么这个三角形是 三角形【根底检测】1.2021广西百色3分如图，AB

2、C中，C=90，A=30，AB=12，那么BC=A6 B6 C6 D122.2021贵州安顺3分如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么ABC的正切值是A2 B C D32021广西南宁3分如图，厂房屋顶人字形等腰三角形钢架的跨度BC=10米，B=36，那么中柱ADD为底边中点的长是A5sin36米 B5cos36米 C5tan36米 D10tan36米42021海南3分如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置如果BC=6，那么线段BE的长度为A6 B6C2D35. 2021四川南充如图，在RtABC中，A=30，BC=1，

3、点D，E分别是直角边BC，AC的中点，那么DE的长为A1B2CD1+6. 2021浙江省湖州市4分如图，在RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，那么CD的长是 7. 2021湖北随州3分如图，在ABC中，ACB=90，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN假设AB=6，那么DN= 82021湖北荆州10分如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，FAB=15，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行

4、线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H 1求证：CD是半圆O的切线；2假设DH=63，求EF和半径OA的长【达标检测】一选择题1.2021毕节市第5题以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 A， B 1， C 6，7，8 D 2，3，422021青岛，第4题3分如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE=1，那么BC=A. B. 2 C.3 D. +23. 如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，假设在边AB上截取BE=BC，连接DE,那么图中等腰三角形共有 A2个 B3个 C4个 D5个4

5、.如图，在ABC中，C=90，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，假设CE=5，AC=12，那么BE的长是A5 B10 C12 D13第11题图5.2021湖北荆门3分如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线AB=5，AD=3，那么BC的长为A5 B6 C8 D106. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，那么另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D307. 等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，那么这个三角形的周长为( )A. 21 B. 20 C. 19 D. 1882021四川宜宾如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，将ABC绕点A逆

6、时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，那么B、D两点间的距离为A B2 C3 D292021湖北荆州3分如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，那么图中ABC的余弦值是A2 B C D二填空题102021湖北省鄂州市，15，3分著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、创造家他曾经设计过一种圆规如下图，有两个互相垂直的滑槽滑槽宽度忽略不计，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来假设AB=20cm，那么画出的圆的半径为10cm112021四川宜宾在平面直角

7、坐标系内，以点P1，1为圆心、为半径作圆，那么该圆与y轴的交点坐标是 12. 2021四川内江如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC8，BD6，OEBC，垂足为点E，那么OE_DOCEBA图413. 2021湖北武汉如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，那么BD的长为_14. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，那么警示牌的高CD为 米结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.7315. 2021江西3分如图是一张长方形纸片ABCD，AB=8，AD=7，E

8、为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片AEP，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，那么等腰三角形AEP的底边长是 三解答题162021江西，23，10分某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现： 在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，那么以下结论正确的选项是 填序号即可 AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB数学思考： 在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图

9、2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，那么MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索： 在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状 答： 17.2021湖北咸宁定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形理解：1如图1，A、B、C在格点小正方形的顶点上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；2如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，AC=BD求证：四边形ABCD是对等四边形； 3如图3，在

10、RtPBC中，PCB=90，BC=11，tanPBC=，点A在BP边上，且AB=13用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长【知识归纳答案】1.直角三角形的定义有一个角是 90的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 3.直角三角形的判定(1)两个内角和为90的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形4.勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形两条直角边分

11、别为a，b，斜边为c，那么a2b2=c2逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形【根底检测答案】1.2021广西百色3分如图，ABC中，C=90，A=30，AB=12，那么BC=A6 B6C6D12【考点】含30度角的直角三角形【分析】根据30所对的直角边等于斜边的一半求解【解答】解：C=90，A=30，AB=12，BC=12sin30=12=6，故答选A2.2021贵州安顺如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，那么ABC的正切值是A2B C D【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】解：如图

12、：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形，tanB=，应选：D【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数32021广西南宁3分如图，厂房屋顶人字形等腰三角形钢架的跨度BC=10米，B=36，那么中柱ADD为底边中点的长是A5sin36米 B5cos36米 C5tan36米 D10tan36米【考点】解直角三角形的应用【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在RtABD中，利用B的正切进行计算即可得到AD的长度【解答】解：AB=AC，ADBC，BC=10米，DC=BD=5米，在RtADC中，B=36，tan36=，即AD=BDtan3

13、6=5tan36米应选：C【点评】此题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的根底上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题42021海南3分如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置如果BC=6，那么线段BE的长度为A6 B6C2D3【考点】翻折变换折叠问题【分析】根据折叠的性质判定EDB是等腰直角三角形，然后再求BE【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，CDA=ADE=45，CDE=BDE=90，BD=CD，BC=6，BD=ED=3，即EDB是等腰直角三角形，BE=BD=3=3，应选D【点评】此题考查了翻折变换，还考查的知识点有

14、两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解5. 2021四川南充如图，在RtABC中，A=30，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，那么DE的长为A1B2CD1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半求得AB=2BC=2然后根据三角形中位线定理求得DE=AB【解答】解：如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2BC=2又点D、E分别是AC、BC的中点，DE是ACB的中位线，DE=0.5 AB=1应选：A【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角

15、形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半6. 2021浙江省湖州市4分如图，在RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，那么CD的长是5 【考点】作图根本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题【解答】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，AD=DB，RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=8，AB=10，AD=DB，ACB=90，CD=AB=5故答案为57. 2021湖北随州3分如图，在AB

16、C中，ACB=90，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN假设AB=6，那么DN=3【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MNBC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可【解答】解：连接CM，M、N分别是AB、AC的中点，NM=CB，MNBC，又CD=BD，MN=CD，又MNBC，四边形DCMN是平行四边形，DN=CM，ACB=90，M是AB的中点，CM=AB=3，DN=3，故答案为：382021湖北荆州

17、10分如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，FAB=15，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H1求证：CD是半圆O的切线；2假设DH=63，求EF和半径OA的长【分析】1连接OB，根据条件得到AOB是等边三角形，得到AOB=60，根据圆周角定理得到AOF=BOF=30，根据平行线的性质得到OCCD，由切线的判定定理即可得到结论；2根据平行线的性质得到DBC=EAO=60，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：1连接OB

18、，OA=OB=OC，四边形OABC是平行四边形，AB=OC，AOB是等边三角形，AOB=60，FAD=15，BOF=30，AOF=BOF=30，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD是半圆O的切线；2BCOA，DBC=EAO=60，BD=BC=AB，AE=AD，EFDH，AEFADH，DH=63，EF=2，OF=OA，OE=OA2，AOE=30，=，解得：OA=2【点评】此题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键 【达标检测答案】一选择题1.2021毕节市以下各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成

19、直角三角形的是 A， B 1， C 6，7，8 D 2，3，4【解析】勾股定理的逆定理.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比拟，如果相等，那么三角形为直角三角形；否那么不是【解答】 解：A、2+22，不能构成直角三角形，故错误；B、12+2=2，能构成直角三角形，故正确；C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误；D、22+3242，不能构成直角三角形，故错误应选：B【点评】 此题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可22021青岛如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB

20、，垂足为E，DE=1，那么BC=A. B. 2 C.3 D. +2【解析】含30度角的直角三角形根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角BDE中，根据30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，那么BC即可求得【解答】解：AD是ABC的角平分线，DEAB，C=90，CD=DE=1，又直角BDE中，B=30，BD=2DE=2，BC=CD+BD=1+2=3应选C【点评】此题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键3. 如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线，假设在边AB上截取BE=BC，连接DE,那

21、么图中等腰三角形共有 A2个 B3个 C4个 D5个【答案】D【解析】在ABC中，A=36，AB=AC，求得ABC=C=72，且ABC是等腰三角形因为BD是ABC的角平分线 所以ABD=DBC=36 所以ABD是等腰三角形在BDC中有三角形的内角和求出BDC=72 所以BDC是等腰三角形所以BD=BC=BE所以BDE是等腰三角形所以BDE=72, 所以ADE=36, 所以ADE是等腰三角形共5个应选D 4.如图，在ABC中，C=90，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，假设CE=5，AC=12，那么BE的长是A5 B10 C12 D13第11题图【答案】D.【解析】在RtCAE中

22、，CE=5，AC=12，由勾股定理得：又DE是AB的垂直平分线，BE=AE=13.应选D.5.2021湖北荆门3分如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线AB=5，AD=3，那么BC的长为A5 B6 C8 D10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，应选C6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60，那么另一个锐角的度数是( )A120 B90 C60 D30【答案】D【解析】根据直角三角形两锐角互

23、余列式计算即可得解：直角三角形中，一个锐角等于60，另一个锐角的度数=9060=30应选D 7. 等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，那么这个三角形的周长为( )A. 21 B. 20 C. 19 D. 18【答案】A【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：8+8+5=21这个三角形的周长为21应选A82021四川宜宾如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，将ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，那么B、D两点间的距离为A B2C3 D2【考点】旋转的性质【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对

24、应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离【解答】解：在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=5，将ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，AE=4，DE=3，BE=1，在RtBED中，BD=应选：A92021湖北荆州3分如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，那么图中ABC的余弦值是A2 B C D【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，ABC是直角三角形，且ACB=90

25、，cosABC=应选D【点评】此题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键二填空题102021湖北省鄂州市，15，3分著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、创造家他曾经设计过一种圆规如下图，有两个互相垂直的滑槽滑槽宽度忽略不计，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来假设AB=20cm，那么画出的圆的半径为10cm【解析】直角三角形斜边上的中线【解答】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长【点评】

26、解：连接OP，AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，OP=AB，AB=20cm，OP=10cm，故答案为：10112021四川宜宾在平面直角坐标系内，以点P1，1为圆心、为半径作圆，那么该圆与y轴的交点坐标是0，3，0，1【考点】坐标与图形性质【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案 【解答】解：以1，1为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，那么与y轴交点坐标为0，3或0，1故答案为：0，3，0，112. 2021四川内江如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC8，B

27、D6，OEBC，垂足为点E，那么OE_ DOCEBA图4答案考点菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。解析菱形的对角线互相垂直平分，OB3，OC4，BOC90BC5SOBCOBOC，又SOBCBCOE，OBOCBCOE，即345OEOE故答案为：13. 2021湖北武汉3分如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，那么BD的长为_【考点】相似三角形，勾股定理【答案】2【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H在RtABC中，AB3，BC4，AC5，又CD10，DA，可知ACD为直角三角形，且ACD90，易证ABCCHD，那么CH6，DH8，BD14.

28、 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，MAD=45，MBC=30，那么警示牌的高CD为 米结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73【答案】2.9【解析】由题意可得：AM=4米，MAD=45，DM=4m，AM=4米，AB=8米，MB=12米，MBC=30，BC=2MC，MC2+MB2=2MC2，MC2+122=2MC2，MC=2.9米，故答案为：2.915. 2021江西3分如图是一张长方形纸片ABCD，AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片AEP，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，那么等腰三

29、角形AEP的底边长是 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当AP=AE=5时，那么AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论【解答】解：如下图：当AP=AE=5时，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；当PE=AE=5时，BE=ABAE=85=3，B=90，PB=4，底边AP=4；当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5三解答题162021江西，23，10分

30、某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现： 在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DFAB于点F，EGAC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，那么以下结论正确的选项是 填序号即可 AF=AG=AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB数学思考： 在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，那么MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探索： 在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向ABC的内侧作

31、等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断MED的形状 答： 【思路分析】1 由图形的对称性易知、都正确，DAB=DMB=45也正确；2直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1DFMMGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MDME就是要证DME=90，由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四个角相加为180，FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得DME=90 3只要结论，不要过程，在2的根底易知为等腰直角三解形.解操作发现： 答：MD=ME，MDME， 先证MD=ME；如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，M是BC的中点，MFAC，MF=AC，又EG是等腰RtAEC斜边上的中线，EGAC且EG=AC，MF=EG，同理可证DF=MG，MFAC，MFA=BAC=180同事可得MGA+BAC=180，MFA=MGA，又EGAC，EGA=90，同理可得DFA=