防灾科地球物理场论课件3第三章时变电磁场

1、第三章 时 变 电 磁 场 第三章 时 变 电 磁 场 1、 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 2、 位移电流位移电流 3、 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 4、 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 5、 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流 6、 谐变电磁场谐变电磁场 7、 波动方程波动方程 8、 时变电磁场中的位函数时变电磁场中的位函数 第三章 时 变 电 磁 场 法拉第法拉第（Michael Faraday, 1791-1867），伟大的英国物理学），伟大的英国物理学家和化学家家和化学家.他创造性地提出场的他创造性地提出场的思想，磁场这一名称是法拉第最思想，磁场这一名称是

2、法拉第最早引入的早引入的.他是电磁理论的创始人他是电磁理论的创始人之一，于之一，于1831年发现电磁感应现年发现电磁感应现象，后又相继发现电解定律，物象，后又相继发现电解定律，物质的抗磁性和顺磁性，以及光的质的抗磁性和顺磁性，以及光的偏振面在磁场中的旋转偏振面在磁场中的旋转.第三章 时 变 电 磁 场 麦克斯韦麦克斯韦（1831-1879）英英国物理学家国物理学家, ,经典电磁理论的奠经典电磁理论的奠基人基人, ,气体动理论创始人之一气体动理论创始人之一. . 他提出了涡旋电场和位移电流他提出了涡旋电场和位移电流的概念的概念, ,建立了经典电磁理论建立了经典电磁理论, ,预言了以光速传播的电磁

3、波的预言了以光速传播的电磁波的存在存在, ,它它奠定了现代的电力工业、奠定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础电子工业和无线电工业的基础. 在气体动理论方面在气体动理论方面, , 他还提出他还提出了气体分子按速率分布的统计了气体分子按速率分布的统计规律规律. .第三章 时 变 电 磁 场 1865 年麦克斯韦在总结前人工作的基础年麦克斯韦在总结前人工作的基础 上，提出完整的电磁场理论，他的主要贡献是上，提出完整的电磁场理论，他的主要贡献是提出了提出了“涡旋电场涡旋电场”和和“位移电流位移电流”两个假设，两个假设，从而预言了电磁波的存在，并计算出电磁波的从而预言了电磁波的存在，并计算出电

4、磁波的速度（即速度（即光速光速）. 1888 年赫兹的实验证实了他的预言年赫兹的实验证实了他的预言, 麦克麦克斯韦理论奠定了经典电磁学的基础，为无线电斯韦理论奠定了经典电磁学的基础，为无线电技术和现代电子通讯技术发展开辟了广阔前景技术和现代电子通讯技术发展开辟了广阔前景.001c ( 真空真空中中 )第三章 时 变 电 磁 场 3.1 3.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组cosmSSddB dSdtdtdBdSdt 1、法拉第电磁感应定律、法拉第电磁感应定律 英国科学家法拉第在实验中观察和发现：当导线回路英国科学家法拉第在实验中观察和发现：当导线回路所交链的磁通量随时间改变时所交链的磁通量随时

5、间改变时, , 回路中将感应一电动势回路中将感应一电动势, , 该感应电动势正比于磁通（或磁链）的时间变化率。该感应电动势正比于磁通（或磁链）的时间变化率。第三章 时 变 电 磁 场 2、麦克斯韦的两个假设、麦克斯韦的两个假设1）、涡旋电场（或感生电场）、涡旋电场（或感生电场）随时间变化的磁场将激发涡旋电场随时间变化的磁场将激发涡旋电场iE涡旋电场（或感生电场）的性质：涡旋电场（或感生电场）的性质：0iSE dS0iCSdE dlB dSdt 涡旋电场的场线自行闭合；涡旋电场涡旋电场的场线自行闭合；涡旋电场是非是非保守场保守场第三章 时 变 电 磁 场 qiillllE dlEdlE dlE

6、dlmlSddE dlB dSdtdt 若空间既存在由静止电荷产生的保守电场若空间既存在由静止电荷产生的保守电场 ，也存在，也存在涡旋涡旋电场电场 ，则总电场为两者之和，即则总电场为两者之和，即 qEiEiqEEECSSSdBEdlEdSB dSdSdttBEt 第三章 时 变 电 磁 场 2)、 位移电流位移电流 全电流安培环路定理全电流安培环路定理 考虑一含平行板电容器的电考虑一含平行板电容器的电路，分析电容器路，分析电容器充电充电过程中过程中电流的连续性电流的连续性和和安培环路定安培环路定理的适用性理的适用性。 闭合电键，导线中有电闭合电键，导线中有电流，电容器充电。流，电容器充电。(1

7、)问题的提出问题的提出第三章 时 变 电 磁 场 1S2SLI该传导电流在电容器极该传导电流在电容器极板处中断，板处中断，不连续不连续，电流，电流I是是非稳恒非稳恒的传导电流；的传导电流；电容器充电，极板上电量电容器充电，极板上电量增加，极板间存在增加，极板间存在时时变的电变的电场场；选取一环路选取一环路L L，以，以L L为共同边界作两个曲面为共同边界作两个曲面S1S1、S2S2，对环路应用适用于稳恒电流的安培环路定，对环路应用适用于稳恒电流的安培环路定理，得到两种理，得到两种不同不同结论：结论： 1:LSH dlI 2:0LSH dl 第三章 时 变 电 磁 场 原安培环路定理原安培环路定

8、理不不适用于适用于非非稳恒传导电流情形！稳恒传导电流情形！ 能否把安培环路定理推广能否把安培环路定理推广到到非非稳恒的情况呢？稳恒的情况呢？由电荷守恒定律知由电荷守恒定律知 ： dqIdt由电场的高斯定理由电场的高斯定理 2DSSD dSD dSq DdIdt2SdD dSdt 2SDdSt 1S2SLI第三章 时 变 电 磁 场 上式表示回路中的上式表示回路中的传导电流传导电流I I等于等于穿过面穿过面 S2S2的的电位移通量对时间的变化率电位移通量对时间的变化率 22DSSddDID dSdSdtdtt 麦克斯韦麦克斯韦敏锐地敏锐地意识到若将上式中意识到若将上式中 也也看作是看作是“电流电

9、流”，则非稳恒传导电流的，则非稳恒传导电流的不不连连续性、安培环路定理不能适用于非稳恒传导续性、安培环路定理不能适用于非稳恒传导电流的两个问题电流的两个问题均均可解决。可解决。/Dddt第三章 时 变 电 磁 场 麦克斯韦提出麦克斯韦提出“位移电流位移电流”，建立，建立“全电流全电流”概概念。念。2 2）位移电流）位移电流I ID D DDSSddDID dsdsdtdtt 通过电场中某一截面的位通过电场中某一截面的位移电流等于通过该截面电位移电流等于通过该截面电位移通量对时间的变化率移通量对时间的变化率. .+-DII电容器放电电容器放电 第三章 时 变 电 磁 场 麦克斯韦假设：麦克斯韦假

10、设：电场中某一点位移电流密度等电场中某一点位移电流密度等于该点电位移矢量对时间的变化率于该点电位移矢量对时间的变化率. .位移电流密度位移电流密度0eDDEPJttt 位移电流的实质是时变电场位移电流的实质是时变电场 DDSSddDID dsdsdtdtt第三章 时 变 电 磁 场 “全电流全电流”：既包括了电荷宏观定向运动所引起：既包括了电荷宏观定向运动所引起的的传导电流传导电流，还包括了时变电场的，还包括了时变电场的位移电流位移电流。2）“全电流全电流”概念概念 全电流全电流DIII全全电流安培环路定理全电流安培环路定理DldH dlIdt /DJJJJDt全全电流密度全电流密度/HJDt

11、微分形式微分形式第三章 时 变 电 磁 场 3）全电流全电流总是总是连续的连续的.1）位移电流和传导电流位移电流和传导电流一样一样要要激发激发磁场；磁场；2）传导电流产生焦耳热，位移电流传导电流产生焦耳热，位移电流不不产生焦耳热产生焦耳热; ; 全电流全电流DIII全()0DJJ对任意对任意封闭曲面封闭曲面S S 有有 ()0DSJJdS第三章 时 变 电 磁 场 穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零，这就是穿过任意封闭面的各类电流之和恒为零，这就是全全电流连续性原理电流连续性原理。 将其应用于只有传导电流的回路中，将其应用于只有传导电流的回路中，可知节点处传导电流的代数和为零可知节点处传导电流

12、的代数和为零( (流出的电流取正号，流出的电流取正号，流入的电流取负号流入的电流取负号) )。这就是基尔霍夫。这就是基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)电电流定律：流定律：I I =0=0。 ()0DSJJdS第三章 时 变 电 磁 场 例例1 1、 求证通过任意封闭曲面的传导电流和位移电求证通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。流的总量为零。 证明：证明： 根据麦克斯韦方程根据麦克斯韦方程 DHJt可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为 /()SSJDtdSHdS()()00SVDSHdSH dVDJ

13、dSIIt 第三章 时 变 电 磁 场 例例2 有一圆形平行平板电容器有一圆形平行平板电容器, .现对现对其充电其充电,使电路上的传导电流使电路上的传导电流 ,若略去边缘效应若略去边缘效应, 求求:（1）两极板间的位移电流）两极板间的位移电流;（2）两）两极板间离开轴线的距离为极板间离开轴线的距离为 的点的点 处的磁处的磁感强度感强度 . cm0 . 3RA5.2ddctQIcm0 . 2rPRcIPQQcI*r解解: 如图作一半径为如图作一半径为 平行于极板的圆形回路，平行于极板的圆形回路，通过此圆面积的电位移通过此圆面积的电位移通量为通量为r2()DDr22DrQR2D2ddddDrQIt

14、RtSD第三章 时 变 电 磁 场 DDdlHlIIItQRrrHdd) 2(222D2ddddDrQItRttQRrBdd 220tQRrHdd 22计算得计算得T1011. 15BD1.1AI代入数据计算得代入数据计算得RcIPQQcIr*第三章 时 变 电 磁 场 例例3 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为的电场为 E0sint，铜的电导率，铜的电导率=5.8107S/m, 0。 解：解： 铜中的传导电流大小为铜中的传导电流大小为 tEEJcsin00cosDDEJEttt71995.8 109.6 1012103

15、6DJJff第三章 时 变 电 磁 场 3、麦克斯韦方程组、麦克斯韦方程组0DHJtBEtBD 0lSlSSSVDH dlJdStBE dldStB dSD dSdV 积分形式积分形式微分形式微分形式第三章 时 变 电 磁 场 麦克斯韦方程的辅助方程麦克斯韦方程的辅助方程本构关系本构关系 表征媒质宏观电磁特性的本构关系为表征媒质宏观电磁特性的本构关系为 00()DEPBHMJE对于各向同性的线性媒质，对于各向同性的线性媒质， 上式可以写为上式可以写为 DEBHJE第三章 时 变 电 磁 场 例例 4、 在无源的自由空间中，已知磁场强度在无源的自由空间中，已知磁场强度 592.63 10cos(

16、3 1010 ) (/)yHetzA m求位移电流密度求位移电流密度JD。 解：无源的自由空间中解：无源的自由空间中J = 0, 由由 DDHJt4920( )02.63 10sin(3 1010 ) (/)xyzyDxyxeeeHDJHetxyzzHzetzA m 第三章 时 变 电 磁 场 例例5、求证均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。、求证均匀导电媒质内部，不会有永久的自由电荷分布。 解：解： 将将J J = =E E 代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有代入电流连续性方程，考虑到媒质均匀，有 0()()0JJEtEEtt ()DEE 0t0( )tte第三章 时 变 电 磁

17、 场 例例6 已知在无源的自由空间中，已知在无源的自由空间中， 0cos()xEe Etz000 xyzxeeeHExyztE 其中其中E0、为常数，求为常数，求 。 解：解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J J =0, =0, =0=0。 H第三章 时 变 电 磁 场 00sin()yxxyyzze Etze He He Ht 由上式可以写出：由上式可以写出： 0000000,0sin()cos()cos()xzyyyHHHEtztEHtzEHetz 第三章 时 变 电 磁 场 3.4 时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 1、 法向分量边界

18、法向分量边界条件条件 2121()SD dSDn SD n SnDDS SD dSq第三章 时 变 电 磁 场 如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总如果分界面的薄层内有自由电荷，则圆柱面内包围的总电荷为电荷为 0limSShqSS得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为得电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为 21()(1)SnDD21()SSD dSnDDSS 21nnSDD第三章 时 变 电 磁 场 若分界面上若分界面上没有没有自由面电荷，自由面电荷， 则有则有 nnDD21nnEE2211由由 DE同理，磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为同理，磁感应强度矢量的

19、法向分量的矢量形式的边界条件为 21()0(2)nBB21nnBB由由 有有BH2211nnHH第三章 时 变 电 磁 场 2、 切向分量边界条件切向分量边界条件 lSDH dlJdSt第三章 时 变 电 磁 场 21212121()()()lH dlHl lHlllHHlbnHHlb nHHl 因为因为 有限而有限而h0，所以，所以 tD /0lim0ShDDdSbh ltt 0limSShJ dSJ bh lJb l 如果分界面的薄层内有自由电流，如果分界面的薄层内有自由电流， 则在回路所围的面积上，则在回路所围的面积上， 21()Sb nHHJb 第三章 时 变 电 磁 场 21()(3

20、)SnHHJ21ttSHHJ如果分界面处没有自由面电流，则如果分界面处没有自由面电流，则 21ttHH即即 2121ttBB同理，电场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为同理，电场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为 21()0(4)nEE21ttEE2121ttDD第三章 时 变 电 磁 场 3、 两种特殊情况两种特殊情况 21212121()0()0()0()0nHHnEEnBBnDD 1 1）两种理想介质分界面。理想介质是指）两种理想介质分界面。理想介质是指 = 0 = 0，所以在理想，所以在理想介质分界面无自由电荷分布，不存在电流，则在分界面处的边界介质分界面无自由电荷分布，不

21、存在电流，则在分界面处的边界条件为条件为 相应的标量形式为相应的标量形式为 12121212ttttnnnnHHEEBBDD第三章 时 变 电 磁 场 2）理想导体是指理想导体是指，所以在理想导体内部不存在电场。此，所以在理想导体内部不存在电场。此外，在时变条件下，理想导体内部也不存在磁场。故在时变条件外，在时变条件下，理想导体内部也不存在磁场。故在时变条件下，理想导体内部不存在电磁场，即所有场量为零。设下，理想导体内部不存在电磁场，即所有场量为零。设n n是理想是理想导体的外法向矢量，导体的外法向矢量，E E、H H、D D、B B为理想导体外部附近的电磁场，为理想导体外部附近的电磁场，那么

22、理想导体表面的边界条件为那么理想导体表面的边界条件为 00SSnHJnEn Bn D第三章 时 变 电 磁 场 例例1 1、在两导体平板（、在两导体平板（z z=0=0和和z=dz=d）之间的空气中传播的）之间的空气中传播的电磁波，已知其电场强度为电磁波，已知其电场强度为0sin()cos()yEe Eztkxd式中式中k k为常数，求：（为常数，求：（1 1）磁场强度；（）磁场强度；（2 2）两导体表面的面电流）两导体表面的面电流密度。密度。 0HEt 0 xzEEHeezxt 解：（解：（1 1）磁场强度）磁场强度第三章 时 变 电 磁 场 0|zSz dnHJ00cos()cos()si

23、n()sin()xzEHeztkxe kztkxtddd可求得可求得0000cos()sin()sin()cos()xzkHeEztkxeEztkxddd2 2）两导体表面的面电流密度）两导体表面的面电流密度 第三章 时 变 电 磁 场 00sin()SzyzdJeHeEtkxd 000sin()SzyzJeHeEtkxd0000cos()sin()sin()cos()xzHeEztkxddkeEztkxd第三章 时 变 电 磁 场 3.5 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流利用矢量恒等式有利用矢量恒等式有 1、坡印廷定理、坡印廷坡印廷定理、坡印廷矢量矢量 ()()()EHHEEH

24、()()()BBHEHHttDDEHEJE JEtt ()BDEHE JHEtt 第三章 时 变 电 磁 场 上式是适合一般媒质的上式是适合一般媒质的坡印廷定理坡印廷定理 ()BDEHE JHEtt 上式两边对任一体积上式两边对任一体积 V 积分有积分有()()VVVBDEH dVE JdVHEdVtt ()()SVVBDEHdE JdVHEdVtt 利用散度定理上式可写为（利用散度定理上式可写为（ 为包围体积的闭合曲面）为包围体积的闭合曲面）第三章 时 变 电 磁 场 22211()()22EHEHEt对于对于各向同性各向同性的线性媒质有的线性媒质有DEBHJE()BDEHE JHEtt 由

25、由上式是上式是坡印廷定理（微分形式）坡印廷定理（微分形式） 可得可得 22211()()22SVVEHdE dVEHdVt 坡印廷定理坡印廷定理 第三章 时 变 电 磁 场 说明上式中各项的物理意义：说明上式中各项的物理意义：22211()()22SVVEHdE dVEHdVt 2VE dV表示体积表示体积V V中的热损耗功率中的热损耗功率( (单位时间内以热能单位时间内以热能形式损耗在体积形式损耗在体积V V中的能量中的能量) )；2211()22VEHdVt 表示体积表示体积V V中电磁能量在单位时中电磁能量在单位时间内的增加值；间内的增加值；根据能量守恒定理，它表示单位时间内穿过根据能量

26、守恒定理，它表示单位时间内穿过体积体积V V的表面流入体积的表面流入体积V V的电磁能量。的电磁能量。()SEHd 坡印廷定理是能量守恒的表现坡印廷定理是能量守恒的表现 第三章 时 变 电 磁 场 SEH定义：定义：坡印廷矢量坡印廷矢量坡印廷矢量表示某时刻单位时间垂直通过曲面坡印廷矢量表示某时刻单位时间垂直通过曲面 上上单位面积的电磁能量单位面积的电磁能量电磁功率流密度。电磁功率流密度。S 坡印廷矢量坡印廷矢量 的方向代表波的传播方向，也是的方向代表波的传播方向，也是电磁能量的传播方向电磁能量的传播方向第三章 时 变 电 磁 场 22211()()22SVVEHdE dVEHdVt （1） 在

27、在静电场和静磁场静电场和静磁场情况下，由于电流为零以及电磁场能情况下，由于电流为零以及电磁场能量都不随时间变化，量都不随时间变化，上式右端为零。上式右端为零。由坡印廷定理可知，上式由坡印廷定理可知，上式左端表示在场中任何位置处，单位时间流出包围体积左端表示在场中任何位置处，单位时间流出包围体积V V表面的表面的总能量为零，即没有电磁能量流动。所以，在静电场和静磁场总能量为零，即没有电磁能量流动。所以，在静电场和静磁场情况下不存在电磁功率流密度。情况下不存在电磁功率流密度。 讨论：讨论：第三章 时 变 电 磁 场 （2 2）对于）对于恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场。2211022EHt

28、 22211()()22SVVEHdE dVEHdVt 2()SVEHdE dV 因此，在恒定电流场中因此，在恒定电流场中坡印廷矢量坡印廷矢量可以代表通过单位面积的可以代表通过单位面积的电磁功率流。它表示在无源区域中，通过电磁功率流。它表示在无源区域中，通过 面流入体积面流入体积V V内内的电磁功率等于体积的电磁功率等于体积V V 内的损耗功率。内的损耗功率。 第三章 时 变 电 磁 场 （3 3）在）在时变电磁场时变电磁场中，中，坡印廷矢量坡印廷矢量 代表代表瞬时瞬时功率功率流密度，它通过任意截面积的面积分流密度，它通过任意截面积的面积分 代表瞬时功率。代表瞬时功率。SEHS dEH d 第

29、三章 时 变 电 磁 场 解：如图，一段长度为解：如图，一段长度为l的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的的z z轴重合，直流电流均匀分布在导线的横截面上，于是有轴重合，直流电流均匀分布在导线的横截面上，于是有 221,zzJIJeEebb在导线表面处，在导线表面处， 2IHeb导线表面的坡印廷矢量导线表面的坡印廷矢量 2232rISEHeb 例例1、 试求一段半径为试求一段半径为b，电导率为，电导率为，载有直流电流，载有直流电流 I的的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。第三章 时 变 电 磁 场 它的方向处处由导线

30、的表面指向里边。将坡印廷矢量沿它的方向处处由导线的表面指向里边。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，它表示载流时在单位时间内由表向里导线段表面积分，它表示载流时在单位时间内由表向里传输的能量，为传输的能量，为 22223222rIlS dS e dblII Rbb 上式表示上式表示从导线的表面流入的电磁能流等于导线内焦耳热从导线的表面流入的电磁能流等于导线内焦耳热损耗功率损耗功率， 验证了验证了坡印廷定理。坡印廷定理。第三章 时 变 电 磁 场 例例2 、一同轴线的内导体半径为一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内、外导，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流体

31、间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、，内、 外导体间的电压为外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。 解：解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、 外导体间的电场和磁场：外导体间的电场和磁场： ,()21rUIEeHearbbrr na2()21zUISEHearbbrna第三章 时 变 电 磁 场 上式说明电磁能量上式说明电磁能量沿沿z z轴轴方向流动，由电源向负载方向流动，由电源向负载传输。传输。 通过同轴线内、外导体间任一通过同轴线内、外导体间任一横截面横截面

32、的功率为的功率为 2221baUIPS drdrUIbrna 这一结果与电路理论中熟知的结果一致。该结果说明功率全这一结果与电路理论中熟知的结果一致。该结果说明功率全部是从内、外导体之间的空间通过的，导体本身不传递能量，部是从内、外导体之间的空间通过的，导体本身不传递能量，导体的作用是引导电磁能量。导体的作用是引导电磁能量。 第三章 时 变 电 磁 场 时变电磁场的任一坐标分量随时间作谐变时，其振幅和初相时变电磁场的任一坐标分量随时间作谐变时，其振幅和初相也都是空间坐标的函数。也都是空间坐标的函数。 以电场强度为例，以电场强度为例， 在直角坐标系中，在直角坐标系中， ( , , , )( ,

33、, , )( , , , )( , , , )xxyyzzE x y z te Ex y z te Ex y z te Ex y z t 3.6 3.6 谐变电磁场谐变电磁场1 、谐变电磁场的复数表示法、谐变电磁场的复数表示法),(cos),(),(),(cos),(),(),(cos),(),(zyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzyxtzyxEtzyxEzzmzyymyxxmx第三章 时 变 电 磁 场 与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描与电路理论中的处理相似，利用复数或相量来描述谐变电磁场场量述谐变电磁场场量( , , , )( , , )cos( , , )Re

34、( , , )Rexxxmxjj txmj txEx y z tEx y ztx y zEx y z eeE e( , , )( , , )( , , )xjx y zxxmEx y zEx y z e复数形式复数形式( , , , )Re( , , )j txxE x y z tE x y z e瞬时形式瞬时形式第三章 时 变 电 磁 场 电场强度矢量可用复数表示为电场强度矢量可用复数表示为 ( , , , )Re()Re)Reyxzjjjj txxmyymzzmj tj txxyyzzE x y z te E ee E ee E eee Ee Ee E eE e式中式中 为电场强度的为电场

35、强度的复矢量复矢量， 它它只是只是空间坐标的函数，与时间空间坐标的函数，与时间t t无关无关。xxyyzzEe Ee Ee E( , , , )Re ( , , )j tE x y z tE x y z e 若要得出瞬时表示，只要将其复矢量乘以若要得出瞬时表示，只要将其复矢量乘以 并取实部即可得并取实部即可得到其相应的瞬时表示。到其相应的瞬时表示。 j te第三章 时 变 电 磁 场 同理可得谐变电磁场的其它场量的复数表示为同理可得谐变电磁场的其它场量的复数表示为( , , , )Re( , , )( , , , )Re ( , , )( , , , )Re ( , , )j tj tj tH

36、 x y z tH x y z eJ x y z tJ x y z ex y z tx y z e第三章 时 变 电 磁 场 例例1 1、将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时表示。、将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时表示。 000(1)(2)(3)sin()jkzjkxxyxEe E eEe jE eEe Ez解解：00(1)( )cos()jkzj texxE tR e E eee Etkz/2002(2)( )cos()jjkxj teyyE tR e E eeee Etkx00(3)( )sin()sin()cosj texxE tR e Ez ee Ezt第三章 时 变 电 磁

37、场 例例 2、 将下列场矢量的将下列场矢量的瞬时形式瞬时形式写为写为复数形式复数形式。 0(1)( )sin()cos()yE te Eztkxd0(2)( )cos()sin()yH te Hxtkzd解解：00(1)( )sin()sin()jkxj tjkxyyE te Ez eeEe Ez edd000(2)( )cos()cos()2cos()cos()2cos()yyjkzyH te Hxtkzde HxtkzdHe jHx ed 第三章 时 变 电 磁 场 2、麦克斯韦方程的复数形式、麦克斯韦方程的复数形式( , , , )Re ( , , )Rexj tjj tE x y z

38、teE x y z ej Eett 采用复数表示时谐变量对时间采用复数表示时谐变量对时间t t的偏导数等价于该谐变量的偏导数等价于该谐变量的复数形式乘以的复数形式乘以 j j ，即，即 ( , , , )( , , )j txxEx y z tj Ex y z et/ tj 对时间对时间t t的偏导数等价地用的偏导数等价地用j 代换即可代换即可 第三章 时 变 电 磁 场 电流连续性方程为电流连续性方程为 Jj 谐变电磁场的麦氏方程复数形式为谐变电磁场的麦氏方程复数形式为0HJj DEj BBD 对于各向同性的线性媒质对于各向同性的线性媒质 0/HJjEEjHHE 第三章 时 变 电 磁 场

39、谐变电磁场的麦氏方程复数形式谐变电磁场的麦氏方程复数形式时变电磁场的麦氏方程瞬时式时变电磁场的麦氏方程瞬时式0DHJtBEtBD 0HJj DEj BBD 比较：比较：第三章 时 变 电 磁 场 麦氏方程的瞬时式与复数形式比较，其形式的不同是明麦氏方程的瞬时式与复数形式比较，其形式的不同是明显的，在以后的表述中场量复数形式上的显的，在以后的表述中场量复数形式上的“ .”去掉。去掉。 谐变场量采用复数表示的好处是：使空间变量与时间谐变场量采用复数表示的好处是：使空间变量与时间变量分离；在场方程中去掉时间变量，使运算简单；便于变量分离；在场方程中去掉时间变量，使运算简单；便于相位的相关运算。相位的

40、相关运算。第三章 时 变 电 磁 场 3、导电媒质的复介电常数、导电媒质的复介电常数 媒质在电磁场作用下呈现三种状态：媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化和传导极化、磁化和传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率。在静态场中这些参数都是实常数；而在时变电磁场作用下，率。在静态场中这些参数都是实常数；而在时变电磁场作用下，反映媒质电磁特性的宏观参数与场的时间变化有关，对于谐变反映媒质电磁特性的宏观参数与场的时间变化有关，对于谐变电磁场与频率有关。电磁场与频率有关。研究表明研究表明：一般情况下一般情况下( (特别在高

41、频场作用特别在高频场作用下下) )， 描述媒质电磁特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是描述媒质电磁特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是频率的函数。但导体的电导率在相当大的频率范围内与频率无频率的函数。但导体的电导率在相当大的频率范围内与频率无关。关。在本课程中一般不考虑介电常数、磁导率随频率的变化问题。在本课程中一般不考虑介电常数、磁导率随频率的变化问题。第三章 时 变 电 磁 场 考虑考虑导电媒质导电媒质，设它的，设它的介电常数为介电常数为 ，电导率为，电导率为 ，在谐变场中有在谐变场中有HEjEjjE 令令 ，称为，称为等效介电常数等效介电常数，它，它是复数。上式可写为是复数。上式可写

42、为 (1)cjjcHjE与理想介质比较：与理想介质比较： ，具有相似的表达式。，具有相似的表达式。HjE第三章 时 变 电 磁 场 *12( )Rej tj tj tE tEeEeE e*12( )Rej tj tj tH tHeHeH e坡印廷矢量瞬时表示可写为坡印廷矢量瞬时表示可写为 *1122*2*211112222*21122( )( )( )ReRej tj tj tj tjtjtjtS tE tH tEeE eH eH eEHEHEHeEH eEHEHe 它在一个周期它在一个周期T T=2/=2/ 内的平均值为内的平均值为 01( )TavSS t dtT200TjtEHedt4、

43、 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 avS第三章 时 变 电 磁 场 *0111ReRe22TavSEH dtEHT*1Re2avSEH式中式中 称为称为复坡印廷矢量复坡印廷矢量,它与时间它与时间t t 无关，表示复无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度功率流密度，其实部为平均功率流密度( (有功功率流密度有功功率流密度) )，虚，虚部为无功功率流密度。部为无功功率流密度。 是是 的共扼复数。的共扼复数。*12SEH*HH 称为称为平均能流密度矢量平均能流密度矢量或或平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量。 avS第三章 时 变 电 磁 场 类似地可得：类似地可得： *2*,0111( )( )(

44、)ReRe24411( )Re4jteTav eew tD tE tE DE Deww t dtE DT平均电场能量密度平均电场能量密度*2*,0111( )( )( )ReRe24411( )Re4jtmTav mmwtB tH tB HB Hewwt dtB HT平均磁场能量密度平均磁场能量密度第三章 时 变 电 磁 场 *2*011( )( )( )ReRe2211( )Re2jtTavp tE tJ tE JE Jepp t dtE JT 平均导电损耗功率密度平均导电损耗功率密度*,1Re4av ewE D平均电场能量密度平均电场能量密度*,1Re4av mwB H平均磁场能量密度平均

45、磁场能量密度*1Re2avpE J 平均导电损耗功率密度平均导电损耗功率密度第三章 时 变 电 磁 场 5、复坡印廷定理、复坡印廷定理 利用矢量恒等式利用矢量恒等式可得可得 *111()()22211()()22EHHEEHHj BEJj D *111122244EHE JjB HE D 上式两端对任一体积上式两端对任一体积V V积分，并应用散度定理可得积分，并应用散度定理可得*111122442VVEHdjB HE DdVE J dV 第三章 时 变 电 磁 场 上式是用复矢量表示的坡印廷定理，上式是用复矢量表示的坡印廷定理， 称为称为复坡印廷定理复坡印廷定理。*2*2,*211114444

46、1122av eav mavwE DEwB HHpE JE *111122442VVEHdjB HE DdVE J dV 导电媒质的电导率为导电媒质的电导率为 ，不考虑介电常数、磁导率随频率的变化，不考虑介电常数、磁导率随频率的变化*,122avav mav eVVEHdp dVjwwdV 第三章 时 变 电 磁 场 *,12()2avav mav eVVEHdp dVjwwdV 式中式中 是单位体积内的导电损耗功率的平均值，为是单位体积内的导电损耗功率的平均值，为有功有功功率；功率； 是电磁场单位体积内的是电磁场单位体积内的平均储能，为平均储能，为无功无功功率功率。 avp,av mav e

47、ww第三章 时 变 电 磁 场 例、例、已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中式中k k、E E0 0为常数。求：为常数。求：(1) (1) 磁场强度复矢量；磁场强度复矢量； (2) (2) 坡印廷矢量的瞬时值；坡印廷矢量的瞬时值；(3) (3) 平均坡印廷矢量。平均坡印廷矢量。 0( )jkzyE ze E e)/(mV第三章 时 变 电 磁 场 解解： (1) 000001( )( )1jk zjk zzyxH zE zjkEeeE eeejz 由由 得得 0EjH 第三章 时 变 电 磁 场 (2) 电场、电场、 磁场的瞬时值

48、为磁场的瞬时值为 0( , )Re ( )cos()j tyE z tE z ee Etkz00( , )Re( )cos()j txkEH z tH z eetkz 坡印廷矢量的瞬时值为坡印廷矢量的瞬时值为 2200( , )( , )( , )cos ()zkES z tE z tH z tetkz第三章 时 变 电 磁 场 (3) 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量： *0002200001Re ( )( )21Re211Re22avjkzjkzyxzzSE zHzkEe E eeekEkEee 第三章 时 变 电 磁 场 3.7 波波 动方程动方程 介质无耗、均匀且各向同性的无源区域介质无耗

49、、均匀且各向同性的无源区域( ( J J =0, =0, = 0= 0， =0 =0 ）(1)(2)0(3)0(4)EHHEttHE 对方程（对方程（2 2）两边取旋度有）两边取旋度有EHt 22()EEEEEHt 20EEtt 1、波动方程、波动方程第三章 时 变 电 磁 场 2220(6)HHt2220(5)EEt同理可得同理可得上两式为关于场量上两式为关于场量 、 的矢量波动方程，表示时变电磁场的矢量波动方程，表示时变电磁场以波的形式在空间存在和传播，其波速为以波的形式在空间存在和传播，其波速为EH1rrcv 在真空中为在真空中为80013 10/cm s 第三章 时 变 电 磁 场 0

50、00222222222222222222222222tEzEyExEtEzEyExEtEzEyExEzzzzyyyyxxxx在直角坐标系中，对在直角坐标系中，对E E 的矢量波动方程可为三个标量波动方程的矢量波动方程可为三个标量波动方程 第三章 时 变 电 磁 场 对于谐变电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形对于谐变电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程式的波动方程222200Ek EHk H式中式中 ，上两式又称为亥姆霍兹方程，上两式又称为亥姆霍兹方程 k2、谐变场的波动方程（亥姆霍兹方程、谐变场的波动方程（亥姆霍兹方程 ）222t 代换：代换：第三章 时 变 电

51、磁 场 例例1、在无源区求、在无源区求均匀导电均匀导电媒质中电场强度和磁场强度媒质中电场强度和磁场强度满足的波动方程。满足的波动方程。 解解：导电媒质为均匀、导电媒质为均匀、各向同性，涉及区域中各向同性，涉及区域中无源，无源，由麦由麦克斯韦方程克斯韦方程 HEt 2()EEHt 对上式两端取旋度对上式两端取旋度()HEt 0EHEEt第三章 时 变 电 磁 场 所以，电场强度满足的波动方程为所以，电场强度满足的波动方程为 2220EEEtt同理，可得磁场强度满足的波动方程为同理，可得磁场强度满足的波动方程为 2220HHHtt对于谐变电磁场，其复数形式为对于谐变电磁场，其复数形式为2222(1)EEjEEjE 220cEE 同理同理220cHH 第三章 时 变 电 磁 场 3.8 时变电磁场中的动态位函数时变电磁场中的动态位函数 1 1、关于动态位函数、关于动态位函数 、 的定义的定义( , )A r t( , )r tBA（1 1）矢量动态位）矢量动态位 ：A（2 2）标量动态位）标量动态位 ：()0BAEAEttt 令令 AEt 即即 AEt 第三章 时 变 电 磁 场 称为矢量位，单位为称为矢量位