3.1.1 随机事件的概率

1、 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过数学家的作用超过1010个师的兵力这句话有一个非同个师的兵力这句话有一个非同寻常的来历寻常的来历 1943 1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战潜艇战”搞得盟搞得盟军焦头烂额军焦头烂额 为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率

2、论分析后得出，舰队与敌潜艇家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性一定数量的船（为具有一定的规律性一定数量的船（为100100艘）编队规艘）编队规模越小，编次就越多（为每次模越小，编次就越多（为每次2020艘，就要有艘，就要有5 5个编次），个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大编次越多，与敌人相遇的概率就越大 1名数学家名数学家10个师个师 美国海军接受了数学家的建议，命美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然

3、后各自驶向预定港口危险海域，然后各自驶向预定港口.结结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的的概率由原来的25降为降为1，大大减，大大减少了损失，保证了物资的及时供应少了损失，保证了物资的及时供应在自然界和实际生活中，我们会遇在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象到各种各样的现象如果从结果能否预知的角度来看，如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：可以分为两大类： 另一类现象的结果是无法预知的，即另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为先确定的，这类现象称

4、为随机现象随机现象 一类现象的结果总是确定的，即在一一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预定的条件下，它所出现的结果是可以预知知的，的，这类现象称为这类现象称为确定性现象确定性现象；下面各事件的发生与否，各有什么特点？下面各事件的发生与否，各有什么特点？（1）导体通电时发热；）导体通电时发热；（6）在标准大气压下且温度低于）在标准大气压下且温度低于0时，冰融化时，冰融化（5）抛一枚硬币，正面朝上）抛一枚硬币，正面朝上；（4）在常温下，铁熔化；）在常温下，铁熔化；（3）抛一石块，下落；）抛一石块，下落；（2）李强射击一次，中靶；）李强射击一次，中靶； 必然事件：必然事

5、件：在条件在条件s s下下, ,一定会发生一定会发生的事件的事件, ,叫做必然事件叫做必然事件. . 比如：比如：“（1 1）导体通电时发热）导体通电时发热”，“（3 3）抛一石块，下落）抛一石块，下落”都是必然事都是必然事件件一一. 必然事件、不可能事件、随机事件必然事件、不可能事件、随机事件 不可能事件：不可能事件：在条件在条件s s下下, ,一定不会一定不会发生的事件发生的事件, ,叫做不可能事件叫做不可能事件. . 比如：比如：“（4 4）在常温下，铁能熔）在常温下，铁能熔化化”，“（6 6）在标准大气压下且温度低）在标准大气压下且温度低于于0时，冰融化时，冰融化”，都是不可能事件，都

6、是不可能事件 随机事件：随机事件：在条件在条件s s下可能发生也下可能发生也可能不发生的事件可能不发生的事件, ,叫做随机事件叫做随机事件. . 比如比如“（2 2）李强射击一次，中靶）李强射击一次，中靶”，“（5 5）掷一枚硬币，出现正面）掷一枚硬币，出现正面”都是随机事都是随机事件件 注意：注意：随机事件要搞清楚什么是随机随机事件要搞清楚什么是随机事件的条件和结果。事件的条件和结果。 事件的结果是相应于事件的结果是相应于“一定条件一定条件而言的。因此，要弄清某一随机事件而言的。因此，要弄清某一随机事件必须明确何为事件发生的条件，何为必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果。在此

7、条件下产生的结果。 例例1 1 指出下列事件中，哪些是不可能指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？（2）没有空气，动物也能生存下去；）没有空气，动物也能生存下去；（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0； （6 6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出一个黑球，从中任意摸出1 1个球则为白球个球则为白球 （1）若）若 都是实数，则都是实数，则 ；cba、 cabbca（3）在标准大气压下，水在温度）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；时沸腾；c90（4）直线）直线 过定点过定

8、点 ；1xky0 , 1二二. .概率的定义及其理解概率的定义及其理解 要了解随机事件发生的可能性大要了解随机事件发生的可能性大小，最直接的方法就是试验。小，最直接的方法就是试验。 第一步第一步: : 每人各取一枚同样的硬币，做每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币试验，记录正面向上的次次掷硬币试验，记录正面向上的次数数和比例和比例,填入下表中填入下表中:试验：试验： 做抛掷一枚硬币的试验，观察它落做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时地时 哪一个面朝上哪一个面朝上姓名姓名试验总次试验总次数数正面朝上总次正面朝上总次数数正面朝上的比正面朝上的比例例 思考思考：试验结果与其他同学比较，试验结果与其他

9、同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么你的结果和他们一致吗？为什么? 第二步第二步: 由组长把本小组同学的由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表试验结果统计一下，填入下表:组次组次试验总次试验总次数数正面朝上总次正面朝上总次数数正面朝上的比正面朝上的比例例 思考思考：与其他小组试验结果比较，与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？正面朝上的比例一致吗？为什么？ 第三步第三步 : 把全班实验结果收集起来，把全班实验结果收集起来，也用条形图表示也用条形图表示.班级班级试验总次试验总次数数正面朝上总次正面朝上总次数数正面朝上的比正面朝上的比例例 第四步第四步: 用横轴为实验结果

10、，仅取用横轴为实验结果，仅取两个值：两个值：1（正面）和（正面）和0（反面），纵（反面），纵轴为实验结果出现的频率，画出你个轴为实验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？发现什么？ 思考思考：这个条形图有什么特点？如：这个条形图有什么特点？如果同学们重复一次上面的实验，全班汇果同学们重复一次上面的实验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？么？ 第五步第五步：请同学们找出掷硬币时：请同学们找出掷硬币时“正正面朝上面朝上”这个事件发生的规律性。这个事件发生的规律性。 随机事件随机事件a在每次试

11、验中是否发在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复实生是不能预知的，但是在大量重复实验后，随着次数的增加，事件验后，随着次数的增加，事件a发生发生的频率会逐渐稳定在区间的频率会逐渐稳定在区间0，1中的中的某个常数上。某个常数上。结论结论:演示演示 例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表试验，结果如下表 ：nmnm抛掷次数抛掷次数( )正面向上次数正面向上次数（频数（频数 ）频率频率（ ）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.49

12、9672088361240.50111.频数，频率的定义：频数，频率的定义： 在相同条件在相同条件s下重复下重复n次试验，观察次试验，观察某一事件某一事件a是否出现，称是否出现，称n次试验中事次试验中事件件a出现的次数出现的次数na为事件为事件a出现的出现的频数频数,称事件称事件a出现的比例出现的比例fn(a)=na/n为事件为事件a出现的出现的频率频率。 2. 频率的取值范围是什么？频率的取值范围是什么？ 概率的定义：概率的定义： 对于给定的对于给定的随机事件随机事件a，如果随着实，如果随着实验次数的增加，事件验次数的增加，事件a发生的发生的频率频率fn(a)稳稳定在定在某个常数某个常数上，

13、把这个常数记作上，把这个常数记作p(a)，称为事件称为事件a的的概率概率，简称为，简称为a的概率的概率。0.9510.9540.940.970.920.9优等品频率19029544701949245优等品数2000100050020010050抽取球数nmnm某批乒乓球产品质量检查结果表：某批乒乓球产品质量检查结果表： 当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率 接近于常数0.95，在它附近摆动。nm（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。（2）频率本身是随机的，在试验前不能确定。（3）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。 概率与频率的关系概率与频率的关系：

14、注意以下几点：注意以下几点： （1）求一个事件的概率的基本方法是通）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；过大量的重复试验； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；率的近似值； （2）只有当频率在某个常数附近摆动时，）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件这个常数才叫做事件 的概率；的概率；a （4）概率反映了随机事件发生的可能性）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；的大小； （5）必然事件的概率为）必然事件的概率为1，不可能事件的，不可能事件的概率为概率为0因此因此 10ap3概率的范围：概率的范围： 1随机事件的概念随机事件的概念 在条件s下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件2随机事件的概率的定义随机事件的概率的定义 10ap 对于给定的对于给定的随机事件随机事件