基于主成分的武汉市房价影响因素的研究

1、基于主成分分析的武汉市房价影响因素的研究摘要：近年来武汉市房地产价格不断上涨，虽然政府等相关部门采取各种措施控制房地产价格，但房价仍然持续上涨，给武汉市人民生活造成了巨大影响。为了解房价的影响因素，本文在国内外学者对房地产价格影响因素研究的基础上，对影响房价的因素进行归纳总结。同时，统计武汉市2007年至2014年住宅房地产价格与影响房地产价格因素的相关数据，利用主成分分析法，经过对相关矩阵，解释的总方差以及成分矩阵的分析，将多个相互关联的影响因素转化为几个互补相关的综合指标。对于因地制宜的采取措施来控制武汉市的房价，具有重要的实用价值。关键词：房地产价格；主成分分析；房价影响因素Abstra

2、ct: In recent years, the price of real estate in Wuhan has been rising continuously. Although the government and other related departments have taken various measures to control the real estate prices, the price of housing has continued to rise, which has a great impact on the life of Wuhan. In orde

3、r to understand the influence factors of house price, this paper summarizes the influencing factors of house price on the basis of domestic and foreign scholars research on the influence factors of real estate price. At the same time, the statistical data of residential real estate prices and real e

4、state price factors in Wuhan city from 2007 to 2014 are analyzed by using principal component analysis and correlation matrices, total variance of explanations and component matrix, and the interrelated effects Factors into several complementary-related indicators. It is of great practical value to

5、take measures to local conditions to control the housing prices in Wuhan.Keywords: real estate price; principal component analysis; housing price influencing factors1、问题提出与分析1.1 研究背景1998年住房商品化制度改革以来，我国城镇居民的住房消费比例出现了较大的变化，其占比越来越高。城镇居民的住房观念发生了很大的转变，有效地增加了居民的住房消费需求，房地产市场的快速发展刺激着投资的迅速发展，居民的居住条件和生活水平有了很大

6、的提高和改善，从而促进了我国国民经济的增长。但在国民经济增长的同时，我国住宅房地产的价格也持续上涨。2007年，武汉市住宅房地产销售平均价格为4685.32元/平方米，2008年，武汉市商品房平均价格为5780.5元/平方米，同上一年相比增加23.37%，随后几年里房地产价格一直处于上升状态，2012年，武汉市商品房平均价格为8500元/平方米，2013年，武汉市商品房平均价格为8823元/平方米，2014年，武汉市商品房平均价格为9132元/平方米，相对于2007年增加了94.91%1。其武汉市商品房平均价格的趋势如图1-1所示。图1-1 武汉市商品房价格折线图由此折线图可知，从整体而言，武

7、汉市商品房价格处于上升趋势。2009年，由于金融危机的发生，武汉市商品房价格有所下降，但是下降幅度不大，比上一年下降1.15%。住宅房地产价格的不断上涨，使购房难等问题日渐突出，引起了政府部门的高度重视，为了抑制住宅房地产价格的上升，维护房地产价格的发展秩序，武汉市政府开始对房地产市场进行政策上的调控，例如，“汉六条”，“汉七条”，“限购令”以及“公积金管理新政”等相关政策2。尽管如此，但抑制房地产价格上涨的作用并不明显，基于此背景，对武汉市住宅房地产价格的影响因素分析具有十分重要的意义。1.2 研究意义角度不同，房地产价格的组成往往不同，故其影响因素以及影响的程度不同。首先，本文通过文献研究

8、来确定住宅房地产价格的影响因素，然后，通过收集武汉市住宅房地产价格及其影响因素的相关数据，利用主成分分析法，经过对相关矩阵，解释的总方差以及成分矩阵的分析，将多个相互关联的影响因素转化为几个互补相关的综合指标。从学术研究方面来说，本文中的研究方法在研究房地产市场时均可使用，同时本文的研究思路不仅仅适用于武汉市，若需要对其他城市房地产价格的影响因素进行分析，甚至是整个地区，本文的研究思路仍适用，可为以后研究房地产价格的影响因素奠定基础。从适用性方面来说，对武汉市住宅房地产价格的影响因素进行研究分析，掌握住宅房地产价格变动的实质，能够为政府提供适当的调控建议，引导消费者对房地产市场的投资及消费进行

9、正确的决策，从而实现房地产市场良好的秩序和稳定健康的发展。2、数学模型原理及算法2.1 主成分分析的原理主成分分析的基本思想是：将多个相互关联的指标（X1,X2,X3Xp） (P个指标)，重新组合成一组少数且不相关的综合指标Fn来代替原来指标。设F1表示原变量经过线性组合以后的第一个主成分指标，即F1=a11x11+a12x12+a1px1p，由数理统计知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，F1包含的信息越多。本文希望第一主成分F1所含的信息量最大，故称F1为第一主成分。若第一主成分指标不足以代表原P个指标信息，应要考虑选取第二个主成分指标F2，更为有

10、效、合理地反映原始信息，在选取F2时，F1中已有的信息无需出现在F2中，即F1与F2要保持独立性，Cov(F1,F2)=0，且F2是与F1不相关的X1,X2,X3Xp的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分。如果F1和F2依然不能有效表达原变量，以此类推构造出一组变量F1, F2，F3Fm,本文称他们是原始变量X1,X2,X3Xp的第一，第二第m个主成分。表达式如下：F1=a11x1+a12x2+a1pxpF2=a21x1+a22x2+a2pxp Fm=am1x1+am2x2+a1pxp根据以上分析可知：（1）Fi与Fj互不相关，即Cov(Fi,Fj)=0；（2）F1是X1,X2,X3

11、Xp的一切线性组合中方差最大最大的，以此类推，Fm是与F1，F2，F3，Fm-1都不相关X1,X2,X3Xp的、所有线性组合中方差最大你的。F1，F2，F3，Fm-1属于构造的新变量指标，即原变量指标的第一、第二、第m个主成分。2.2 主成分分析的步骤已知多组已经标准化的样本数据矩阵，x11x12x13x1px21x22x23x2pxn1xn2xn3xnp，计算它的主成分分析的具体步骤如下：（1）计算协方差矩阵计算样本数据的协方差：=(Sij)pp，其中Sij=1n-1k=1nxki-xi(xkj-xj)其中：i j=1,2,P（2）求出协方差矩的特征值i，及相对应的正交化单位特征向量ai协方

12、差矩阵的前m个较大特征值12m0，是前m个主成分对应方差，i对应单位特征向量i是主成分Fi关于原变量的线性变换系数，原变量的第i个主成分Fi，表达式用公式表示如下：Fi=aiX反映信息量的大小用主成分的方差贡献率，表达式为ai=ii=1mi（3）选择主成分最终需要选择几个主成分，依据所选主成分的累计贡献率来衡量，主成分F1，F2，F3，Fm（mp）的累计贡献率G(m)表示为：Gm=i-1mix-1px当累计贡献率G(m)大于85%时，认为能足够反映原来变量的信息，所对应的m表示要抽取的前m个主成分。（4）计算主成分荷载主成分荷载是：反映主成分Fi与原变量Xj间相互关联程度，原来变量Xj (j=

13、1,2,，p)，在主成分Fi (i=1,2,3,m)上的荷载表达式为：lZiXj=iaij(i=1,2;m,j=1,2,L,p)（5）计算主成分得分计算样品在m个主成分上的得分：Fi=a1iX1+a2iX2+apiXp,i=1,2,L,p实际应用时，指标的量纲不同，所以在主成分计算之前，应先消除量纲的影响。常用方法是将原始数据标准化，即做以下数据变换：xij*=xij-xjSj i=1,2,3n；j=1,2,p其中：xj=1ni=1nxijSj2=1n-1i=1n(xij-xj)2根据数学公式，（1）任何随机变量，对其作标准化变换后，其协方差与其相关系数一样。（2）另一方面，根据协方差的公式，

14、可推得标准化之后的协方差，是原变量的相关系数。即，在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。根据以上论述，为消除量纲的影响，将变量标准化后，再计算其协方差矩阵，也就是直接计算原变量相关系数矩阵。因此，主成分分析计算步骤如下：（1）计算相关系数矩阵；（2）求出相关系数矩阵的特征值i，及相应的正交化单位特征向量ai；（3）选择主成分；（4）计算主成分得分；总结：原指标相关系数、矩阵相应的特征值i为：主成分方差的贡献，方差的贡献率为i=ii=1pii越大，说明相应的主成分反映综合信息的能力越强，可根据i大小提取主成分，每个主成分的组合系数i是相应特征值i所对应的单位特征向量。3、实验数据收集及预处理3.

15、1 数据的来源根据对国内外文献的梳理和分析，发现房地产价格的影响因素主要为土地价格，利率，收入，通货膨胀，供需，房地产自身的原因等等，故本文选取了十一个具有代表性的影响住宅房地产价格的因素进行讨论，即土地价格，家庭人均可支配收入，商品房竣工面积，住宅租赁价格指数，通货膨胀率，生产总值，人民币贷款利率，商品房销售面积，房地产开发商投资额和人口数量3-7。在收集武汉市住宅房地产价格的影响因素相关数据时，首先必须设定每个因素的度量尺度，除了通货膨胀外，其他的因素均可直接作为度量尺度。在许多国家，通用的通货膨胀曲线一般是居民消费价格指数的年度性变化百分比，故本文用武汉市居民消费价格指数来对通货膨胀进行

16、度量8。通过查阅武汉市统计年鉴9，武汉市土地价格，武汉市人均可支配收入，武汉市人口数量，武汉市商品房销售面积，武汉市房地产开发投资额，武汉市生产总值和武汉市居民消费价格指数的相关数据均可直接得出。人民币贷款利率5的相关数据可通过中国银行网上提供的数据直接得到。3.2 数据的处理武汉市住宅租赁价格10指在中国指数网只能查到2012年至2014年每月的数据，2007年至2011年的相关数据无法获知。本文采用替代法来进行其他数据的收集。首先成都和武汉的地理环境均属于内陆，其次两者均属于二线城市，最后两个城市的生产总值相近，故2007年至2011年的武汉市租赁价格指数相关数据由成都市住宅租赁价格指数相

17、关数据来替代。由于得到的租赁价格指数以月为单位，故本文采用加权平均法得到每年的住宅租赁价格指数。考虑到本文调查的是武汉市住宅房地产价格的影响因素，故应收集武汉市商品房均价。由于武汉市商品房均价没有权威性的网站或者书籍来规定，本文考虑算术加权平均法来确定此数据。首先，把武汉各地区的商品房均价收集起来，如光谷区，武昌中心区，汉阳中心区，关山片，东西湖片，白沙洲片，汉口中心区，沌口片等等地区，其次把各个区域的商品房均价利用算术加权平均法计算得到武汉市商品房的价格。设因素武汉市土地价格，人民币贷款利率，住宅租赁价格指数，武汉市商品房竣工面积，武汉市人均可支配收入，通货膨胀率，武汉市人口数量，武汉市商品

18、房销售面积，武汉市房地产开发商投资额，武汉市生产总值和武汉市商品房的价格分别为X1，X2X11，具体的数据如表3-1所示。表3-1 各因素的相关数据X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X1120071511.897.83%699911.6214357.64554.6828.21567.3132953863209.474685.3220081917.575.94%780.25768.2316712.44586.2833.24683.2441496874115.515780.520094542.45.94%887.17824.5818385.02582.7835.551041.3949804

19、014620.865714.0520107992.256.40%1002.42733.4820806.32600.2836.731091.4959532505565.936646.62201111357.47.05%1115921.9823738.09631.4827.241169.2673731386762.27579.9320125414.066.55%1054.4898.5727061649.1821.711390.4799140528003.82850020135488.716.55%1139.42529.729821.22664.7822.051750.43125078399051.

20、278823201414167.36.15%1255.33645.9833270.39677.3827.311978.961560552610069.489132注：a武汉市土地价格的单位为万元；武汉市商品房竣工面积的单位为万平方米；武汉市每年人均可支配收入的单位为元；武汉市人口数量的单位为万人；武汉市商品房销售面积的单位为万平方米；武汉市房地产开发投资额的单位为万元；武汉市生产总值的单位为万元；武汉市商品房价格的单位为元。b 以上数据来源见图表前文字叙述。4、实验通过IBM SPSS Statistics 19统计软件对收集的数据进行处理分析得到下表：表4-1 标准化X1X2X3X4X5X6

21、X7X8X9X10-1.1412.02-1.540.948-1.303-1.4533-0.139-1.322-1.075-1.306-1.049-1-1.11-0.079-0.949-0.73210.741-1.083-0.879-0.938-0.454-1-0.550.3246-0.697-0.8121.1452-0.345-0.688-0.7330.3268-0.20.057-0.328-0.333-0.41261.3516-0.242-0.464-0.3491.08890.790.651.02220.10820.29957-0.309-0.082-0.1380.137-0.257-00.

22、3310.85450.6080.70355-1.2760.37360.44630.6412-0.24-00.779-1.7881.02321.05961-1.2171.11491.04251.06651.7252-0.61.39-0.9551.5421.34719-0.2971.58551.75461.48表4-2 相关矩阵aX1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11.000-.166.862-.225.724.696-.132.715.689.710X2-.1661.000-.270.452-.265-.281-.353-.329-.253-.253X3.862-.2701.000-.

23、478.949.944-.450.938.900.947X4-.225.452-.4781.000-.564-.532.113-.639-.617-.560X5.724-.265.949-.5641.000.988-.612.982.985.999X6.696-.281.944-.532.9881.000-.644.950.957.991X7-.132-.353-.450.113-.612-.6441.000-.517-.605-.632X8.715-.329.938-.639.982.950-.5171.000.978.977X9.689-.253.900-.617.985.957-.605

24、.9781.000.981X10.710-.253.947-.560.999.991-.632.977.9811.000表4-3 公因子方差初始提取X11.000.561X21.000.832X31.000.921X41.000.574X51.000.996X61.000.973X71.000.842X81.000.976X91.000.967X101.000.995表4-4 解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %17.13971.39071.3907.13971.39071.39021.49914.99386.3831.49914.99386.3

25、833.8508.49994.8824.4064.05798.9395.063.62899.5676.036.35999.9267.007.074100.00085.375E-165.375E-15100.00094.142E-174.142E-16100.00010-3.273E-17-3.273E-16100.000表4-5 成分矩阵a成份12X1.746-.064X2-.297.863X3.960-.014X4-.603.458X5.997.054X6.984.072X7-.565-.723X8.986-.055X9.982.042X10.995.073表4-6 特征向量矩阵成份12X1

26、.279-.052X2-.111.705X3.359-.011X4-.226.374X5.373.044X6.368.059X7-.211-.590X8.369-.045X9.368.034X10.372.0605、结果分析根据以上分析可得出如下结论：（1）表4-1是进行量纲标准化的数据；（2）由表4-2可知，许多变量之间直接的相关性比较强，说明影响房价的因素中存在信息重叠；（3）由表4-3可知，此次主成分分析从每个原始变量中提取的信息百分数；（4）由表4-4可知，前三个主成分的方差贡献率达到90.837%，因此选择前两个主成分已足够描述影响武汉市房价的因素；（5）由表4-5和表4-6可知各个

27、主成分的表达式，设提取的主成分分别为F1，F2，则：F1=0.279X1-0.111X2+0.359X3-0.226X4+0.044X5+0.368X6-0.211X7+0.3698X8+0.368X9+0.372X10F2=-0.052X1+0.705X2-0.011X3+0.374X4+0.044X5+0.059X6-0.590X7-0.045X8+0.034X9+0.060X10第一主成分F1对武汉市房价的影响最大。从其负荷量的正负来看，其中人民币贷款利率，武汉市商品房竣工面积，武汉市人口数量的为负数，其余的为正数，可以认为人民币贷款利率，武汉市商品房竣工面积，武汉市人口数量与第一主成分成反比，其余因素为正比；根