数控技术及应用项目3数控机床插补原理

1、数控技术及应用工程数控技术及应用工程3 3数控机床数控机床插补原理插补原理目 录1数控机床基础知识2数控机床机械结构3数控机床插补原理4计算机数控系统5数控机床加工工艺与编程6位置检测技术7数控机床伺服系统任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补X-Y平面第一象限有直线段OA，以原点为起点，以A(Xe，Ye)为终点，假设刀具位于第一象限内的任一点P(Xi，Yi)，有如图3.2所示三种情况：动点P在直线OA上。动点P在直线OA上方。动点P在直线OA下方。当动点P在直线OA上时，直线OP的斜率等于直线OA的斜率，那么下式成立：即 当动点P在直线OA上方时，直线OP的斜率大于

2、直线OA的斜率，那么下式成立：即 当动点P在直线下方时，直线OP的斜率小于直线OA的斜率，那么下式成立：即任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补由上可知，公式 的正负号可以反映刀具和直线之间的偏离关系，为此取偏差函数为：如图3.2所示，通常将F=0归入F0的情况，根据“靠近曲线，指向终点的进给方向确定原那么，当刀具点P处于直线上方包括直线即满足Fm0时，向X轴的方向发出一个正向运动进给脉冲+X，使刀具沿X轴坐标移动一步，逼近直线。同理，当刀具点P位于工件的下方满足Fm0时，刀具沿着Y轴坐标移动一步，逼近直线。根据上述原那么，刀具从原点0，0点开始，每进给一步，计算一次

3、F，判断F符号，再进给一次，再计算一次F，不断循环，直到终点E。这样通过逐点比较法，控制刀具走出一条近似零件轮廓的轨迹，如图3.3所示。当每次的进给步长脉冲当量很小时，可以将这条折线近似地看成是直线段。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补假设现在刀具位于加工点PXi，Yi处，偏差函数为：如果Fi0，刀具位于直线上方或直线上，那么刀具沿+X方向进给一步，此时新加工点的坐标值为P(Xi+1，Yi+1)，坐标值为：所以新加工点的偏差函数为：即如果Fi0，刀具位于直线下方，那么刀具沿+Y方向进给一步，此时新加工点的坐标值为P(Xi+1，Yi+1)，坐标值为：任务任务3.2

4、3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补所以新加工点的偏差函数为：即综上所述，第一象限偏差函数与进给方向的对应关系如下：当Fi0时，刀具沿+X方向进给一步，新的偏差函数为Fi+1=FiYe。当Fi0时，刀具沿+Y方向进给一步，新的偏差函数为Fi+1=Fi+Xe。刀具每前进一步，都需要进行一次终点判别，假设已到达终点，插补运算结束，发出停机或者程序结束信号，否那么就继续进行插补循环。直线插补终点判别的方法主要有两种：总步长法。求出两个坐标轴插补所需要的脉冲数总和。即=|Xe|+|Ye|，刀具每进给一次，执行一次-1运算，直到=0为止。终点坐标法。刀具每进行一次进给，就将动点坐标和终点坐标

5、进行一次比较，即判断Xi-Xe=0和Yi-Ye=0是否成立，如果成立，插补结束，如果不成立，那么继续进行插补。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补逐点比较法直线插补的软件流程如图。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限直线插补【例题3.1】用逐点比较法加工第一象限直线OA，起点为原点，终点A坐标6，5，写出计算过程并画出刀具插补轨迹。解：总步数=6+5=11，开始时刀具处于起点O0，0，F0=0，插补计算过程见表，刀具插补轨迹如图。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法2.四个象限的直线插补计算第一象限的直线插补方法经适当处理后可以推广到其他

6、几个象限的直线插补。为了适应四个象限的直线插补，在偏差计算时无论哪个象限直线，都采用坐标的绝对值计算。由此可得的偏差符号如图3.6所示。当动点位于直线上时偏差F=0，动点不在直线上且偏向Y轴一侧时F0，偏向X轴一侧时F0。由图3.6所知，当F0时应沿X轴方向进给，第一、四象限向+X方向进给，第三、二象限向-X方向进给；当F0时应沿Y轴方向进给，第一、二象限向+Y方向进给，第三、四象限向-Y方向进给。四个象限直线插补的偏差计算公式与进给方向见表3.2。表中L1、L2、L3、L4分别表示第一、二、三、四象限的直线。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限逆圆插补如图3.7所示要加工

7、的第一象限逆圆圆弧AB，起点A坐标为X0，Y0，终点B坐标为Xe，Ye，圆心在原点，半径为R，假设刀具位于第一象限内的任一点P(Xi，Yi)，有如图3.7所示三种情况：当动点P点位于圆弧上时，那么有下式成立：当动点P点位于圆弧内时，那么有下式成立：当动点P点位于圆弧外时，那么有下式成立：所以定义圆弧插补的偏差函数表达式为：当Fi0时，动点在圆上或者圆外，按照进给方向确定原那么，刀具沿-X方向进给一步；当Fi0时，动点在圆内，刀具沿+Y方向进给一步。假设现在刀具位于加工点PXi，Yi处，其偏差函数为：如果Fi0，刀具位于圆弧外侧或圆弧，那么刀具沿-X方向进给一步，此时新加工点的坐标值为P(Xi+

8、1，Yi+1)，坐标值为：任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限逆圆插补所以新加工点的偏差函数为：即如果Fi0，刀具位于圆弧内侧，那么刀具沿+Y方向进给一步，此时新加工点的坐标值为P(Xi+1，Yi+1)，坐标值为：所以新加工点的偏差函数为：即 任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限逆圆插补综上所述，第一象限逆圆弧插补公式与进给方向的对应关系如下：当Fi0时，刀具沿-X方向进给一步，新的偏差函数为：当Fi0时，刀具沿+Y方向进给一步，新的偏差函数为：同理第一象限顺圆弧插补公式与进给方向的对应关系如下：当Fi0时，刀具沿-Y方向进给一步，新的偏差函数为：当Fi

9、0时，刀具沿+X方向进给一步，新的偏差函数为:圆弧插补的终点判别方法和直线插补的方法根本相同，具体如下：总步长法。求出两个坐标轴插补所需要的脉冲数总和。即=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，刀具每进给一次，执行一次-1运算，直到=0为止。终点坐标法。刀具每进行一次进给，就将动点坐标和终点坐标进行一次比较，即判断Xi-Xe=0和Yi-Ye=0是否成立，如果成立，插补结束，如果不成立，那么继续进行插补。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限逆圆插补圆弧插补过程分为偏差判别、坐标进给、偏差计算、坐标计算及终点判别五个步骤。逐点比较法第一象限逆圆弧插补的软件流程如图。任务任务3.2 3

10、.2 逐点比较法逐点比较法1.第一象限逆圆插补【例题3.2】用逐点比较法加工圆弧AB，起点A的坐标为5，0，终点B的坐标为0，5，写出计算过程并画出插补轨迹。解：总步数= 5+5=10，开始时刀具处于起点A5，0，F0=0，插补运算过程见表，刀具插补轨迹如图。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法2.其他象限圆弧插补为了表达方便，用SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第一、二、三、四象限的顺圆弧，用NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第一、二、三、四象限的逆圆弧。从图3.10可以看出，SR1、NR2、SR3、NR4的插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值增加、Y轴坐标绝对值减小，这几种圆弧

11、的插补计算是一致的，以SR1为代表。NR1、SR2、NR3、SR4的插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值减小、Y轴坐标绝对值增加，这四种圆弧插补计算是一致的，以NR1为代表。如图3.10所示，与第一象限逆圆NR1相对应的其他四个象限的圆弧有SR2、NR3、SR4。其中，第二象限顺圆SR2与第一象限逆圆NR1是关于Y轴对称的。从图3.10可知，两个圆弧从各自起点插补出来的轨迹关于Y轴对称，即Y方向的进给相同，X方向进给相反。插补计算时完全按第一象限逆圆偏差计算公式进行计算，所不同的是将X轴的进给方向变为正向，那么走出的就是第二象限顺圆SR2。任务任务3.2 3.2 逐点比较法逐点比较法2.其他象限圆

12、弧插补8种圆弧的插补计算公式和进给方向，见表。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法数字积分法插补是脉冲增量插补的一种，它是用数字积分的方法计算刀具沿各坐标轴的移动量，从而使刀具沿着设定的曲线运动。实现数字积分插补计算的装置称为数字积分器，或数字微分器Digital Differential Analyzer, DDA，数字积分器可以用软件来实现。下面先介绍数字积分插补法的工作原理。如图3.11所示，设有一函数y=ft，求此函数在t0tn区间的积分，即求函数曲线与横坐标t在区间t0，tn所围住的面积，此面积可近似地认为曲线下许多小矩形面积之和。假设将0t的时间划分成时间间隔为t的有限区间

13、，当t足够小时，可得近似公式：式中yi为t=ti时的f(t)值，上式表示求积分时的过程可以用累加的方法来近似。如果t取根本单位时间“1即一个脉冲周期时间，那么上式可以化简为：设置一个累加器，而且令累加器的容量为一个面积单位。如图3.12所示是实现这种累加运算的根本逻辑框图。它是由函数存放器、与门、累加器及面积存放器等局部组成。其工作原理为每来一个t脉冲，与门翻开一次，将函数存放器中的函数值送往累加器进行累加一次。当累加和超过累加器的容量时，便向面积存放器发出溢出脉冲。面积存放器累计此溢出脉冲，累加结束后面积存放器的计数就是面积积分近似值。点击返回点击返回任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积

14、分法直线插补设在平面中有一直线OA，其起点为原点坐标O，终点为Axe，ye，那么直线的方程为：将公式3.16化为对时间t的直线参数方程：式中K为比例系数。式3.17对参数t求微分：对式3.18进行积分可得x、y：对式3.19积分用累加的形式表达近似为：任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法直线插补式中t=1，写成近似微分形式为：动点从原点出发走向终点的过程，可以看作是各坐标轴每隔一个单位时间t，分别以增量Kxe、Kye同时对两个累加器累加的过程，当累加值超过一个坐标单位脉冲当量时产生溢出，溢出脉冲驱动伺服系统进给一个脉冲当量，从而走出给定直线。假设经过m次累加后，x和y分别到达终点xe，

15、ye时下式成立： 由此可见，比例系数K和累加次数之间有如下的关系：即K的数值与累加器的容量有关。累加器的容量应大于各坐标轴的最大坐标值，一般两者的位数相同，以保证每次累加最多只溢出一个脉冲。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法直线插补设累加器有n位，那么各坐标轴的最大坐标值为2n-1即取所以累加次数m可得：上述关系说明，假设累加器的位数为n，那么整个插补过程要进行2n次累加才能到达直线的终点。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法直线插补如图为平面直线的插补运算框图。它由两个数字积分器组成，每个坐标轴的积分器由累加器和被积函数存放器组成。被积函数存放器存放终点坐标值。每隔一个时间

16、间隔t，将被积函数的值向各自的累加器中累加。X轴的累加器溢出的脉冲驱动X轴进给，Y轴的累加器溢出的脉冲驱动Y轴进给。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA直线插补实例【例题3.3】设有一直线OA，起点为原点，终点A的坐标为7，11，累加器和存放器的位数为四位，最大容量为2n=16，试用DDA进行插补该直线，并画出插补轨迹。解：累加器为4位的，累加次数为24=16。直线插补计算过程见表，插补轨迹如图。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA圆弧插补如图，以第一象限逆圆为例，圆弧的圆心在原点，起点AX0,Y0，终点BXe,Ye,半径为r0的圆弧加工时沿弧的切线方向的进给速度V

17、恒定。圆的参量方程：对t微分求得x、y方向上的速度分量：写成微分形式：用累加和来近似积分：任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA圆弧插补第一象限逆圆弧数字积分近似表达式：这说明圆弧插补时，X轴的被积函数值等于动点Y坐标的瞬时值，Y轴的被积函数值等于动点X的瞬时函数值。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA圆弧插补与直线插补相比较可知：直线插补为常数累加，圆弧插补为变量累加。圆弧插补时，x方向的位移是对y坐标的累加，y方向的位移是对x坐标的累加。圆弧插补时，被积函数x、y随时由溢出脉冲x，y进行修改。因为x、y方向插补的速度不同，两个方向到达终点的时间不同，故m=2n并不

18、代表已到达终点，需要分别设X、Y两个方向终点计数器。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA圆弧插补 与逐点比较法类似，将进给方向的正负直接由进给驱动程序处理，而用动点坐标的绝对值进行累加，那么插补程序相对简单。插补程序的任务，一是进行累加，二是根据溢出调用进给驱动程序和修改动点坐标值被积函数值)。因为插补时用坐标的绝对值，坐标值的修改要看动点运动使该坐标绝对值是增还是减来确定是加1修改还是减1修改。圆弧插补的坐标修改及进给方向见表3.6。任务任务3.3 3.3 数字数字积分法积分法DDA圆弧插补实例 【例题3.4】加工第一象限逆圆弧，其圆心在原点，起点A坐标6，0，终点为B坐标为0

19、，6，累加器为3位，试用DDA进行插补该圆弧，并画出插补轨迹图。解：插补计算过程见表，为加快插补，将两个累加器的初值置为容量半数，插补轨迹如图。知识拓展随着CNC系统的开展，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的出现，为提高现代数控系统的综合性能创造了有利条件。相应的，现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量插补法，而是更多地采用数据采样插补法。数据采样插补法就是将被加工的一段零件轮廓曲线用一系列首尾相连的微小直线段去逼近。由于这些小线段是通过将加工时间分成许多相等的时间间隔插补周期Ts)而得到的，所以又称之为“时间分割。数据采样插补一般分两步来完成插补。第一

20、步是粗插补，即计算出这些微小直线段；第二步是精插补,它对粗插补计算出的每个微小直线段再进行脉冲增量插补。在每个插补周期内，由粗插补计算出坐标位置增量值；在每个采样周期Ts内由精插补对反响位置增量值以及插补输出的指令位置增量值进行采样，算出跟随误差。由位置伺服软件根据当前的跟随误差算出相应的坐标轴进给速度指令，输出给驱动装置。数据采样插补适用于以直流或交流伺服电动机作为驱动元件的闭环数控系统中。数据采样插补中的插补般指粗插补，通常由软件实现。精插补既可以由软件实现,也可以由硬件实现。由于插补周期与插补精度、速度等有直接关系，因此，数据采样插补最重要的是正确选择插补周期。1插补周期的选择 1插补周

21、期与插补运算时间的关系根据某种插补运算法所算的最大指令条数，可以大致确定插补运算所占用的CPU时间，通常插补周期Ts必须大于插补运算时间与CPU执行其他实时任务如显示、监控和精插补等所需时间之和。知识拓展1 1插补周期的选择插补周期的选择 2 2插补周期与位置反响采样的关系插补周期与位置反响采样的关系插补周期插补周期TsTs与采样周期与采样周期TcTc可以相等，也可以是釆样周期的整数倍。可以相等，也可以是釆样周期的整数倍。3 3插补周期与精度、速度的关系插补周期与精度、速度的关系直线插补时，插补所形成的每段小直线与给定直线重合，不会造成轨迹误差。直线插补时，插补所形成的每段小直线与给定直线重合

22、，不会造成轨迹误差。圆弧插补时，动点在一个插补周期内运动的直线段以弦线或切线、割线逼近圆弧。圆弧插补时，动点在一个插补周期内运动的直线段以弦线或切线、割线逼近圆弧。圆弧插补常用弦线逼近的方法。如图圆弧插补常用弦线逼近的方法。如图3.173.17所示，用弦线逼近圆弧，会产生逼近误差所示，用弦线逼近圆弧，会产生逼近误差erer，设，设为在一个插补周期为在一个插补周期内逼近弦所对应的圆心角、内逼近弦所对应的圆心角、r r为圆弧半径，那么为圆弧半径，那么将上式中的将上式中的cos(/2)cos(/2)用幂级数展开，得用幂级数展开，得知识拓展1 1插补周期的选择插补周期的选择设设T T为插补周期，为插补

23、周期，F F为刀具移动速度进给速度为刀具移动速度进给速度) )，那么进给步长为：，那么进给步长为：用进给步长代替弦长，有用进给步长代替弦长，有将式将式(3.31)(3.31)代入式代入式(3.30)(3.30)中，得中，得知识拓展1 1插补周期的选择插补周期的选择从式从式(3.32)(3.32)可以看出，逼近误差与速度、插补周期的平方成正比，与圆弧半径成反比。在固定数控机床上，允可以看出，逼近误差与速度、插补周期的平方成正比，与圆弧半径成反比。在固定数控机床上，允许的插补误差是一定的，它应小于数控机床的分辨力，即应小于一个脉冲当量。那么，较小的插补周期，可以许的插补误差是一定的，它应小于数控机

24、床的分辨力，即应小于一个脉冲当量。那么，较小的插补周期，可以在小半径圆弧插补时允许较大的进给速度。从另一角度讲，进给速度、圆弧半径一定的条件下，插补周期越短，在小半径圆弧插补时允许较大的进给速度。从另一角度讲，进给速度、圆弧半径一定的条件下，插补周期越短，逼近误差就越小。但插补周期的选择受计算机速度的限制。首先，插补计算比较复杂，需要较长时间。此外，逼近误差就越小。但插补周期的选择受计算机速度的限制。首先，插补计算比较复杂，需要较长时间。此外，计算机除执行插补计算之外，还必须实时完成其他工作，如显示、监控、位置采样及控制等，所以插补周期应计算机除执行插补计算之外，还必须实时完成其他工作，如显示

25、、监控、位置采样及控制等，所以插补周期应大于插补运算时间与完成其他实时任务所需的时间之和。插补周期一般是固定的，例如，日本的大于插补运算时间与完成其他实时任务所需的时间之和。插补周期一般是固定的，例如，日本的FANUC-7MFANUC-7M系统系统和美国的罗克韦尔和美国的罗克韦尔A-BA-B公司的公司的7360CNC7360CNC系统。在系统。在7M7M系统中，插补周期为系统中，插补周期为8 ms8 ms，位置反响采样周期为，位置反响采样周期为4 ms4 ms，即，即插补周期为位置采样周期的插补周期为位置采样周期的2 2倍，它以内接弦进给代替圆弧插补中的弧线进给。在倍，它以内接弦进给代替圆弧插

26、补中的弧线进给。在A-BA-B公司的公司的7 3007 300系列中，插系列中，插补周期与位置反响采样周期相同，都是补周期与位置反响采样周期相同，都是10.24 m/s10.24 m/s。插补周期确定之后，一定的圆弧半径，应有与之对应的最。插补周期确定之后，一定的圆弧半径，应有与之对应的最大进给速度限制，以保证逼近误差大进给速度限制，以保证逼近误差erer不超过允许值。不超过允许值。知识拓展2.2.时间分割插补法直线插补时间分割插补法直线插补 时间分割插补法是典型的数据采样插补方法。它首先根据加工指令中的进给速度时间分割插补法是典型的数据采样插补方法。它首先根据加工指令中的进给速度F F，计算

27、出每一插补周期的轮，计算出每一插补周期的轮廓步长廓步长l l。即用插补周期为时间单位，将整个加工过程分割成许多个单位时间内的进给过程。以插补周期为时。即用插补周期为时间单位，将整个加工过程分割成许多个单位时间内的进给过程。以插补周期为时间单位，那么单位时间内的移动的路程等于速度，即轮廓步长间单位，那么单位时间内的移动的路程等于速度，即轮廓步长l l与轮廓速度与轮廓速度f f相等。插补计算的主要任务是算出相等。插补计算的主要任务是算出下一插补点的坐标下一插补点的坐标, ,从而算出轮廓速度在各个坐标轴的分速度，即下一插补周期内各个坐标的进给量从而算出轮廓速度在各个坐标轴的分速度，即下一插补周期内各

28、个坐标的进给量xx、yy。控制控制x x、y y坐标分别以坐标分别以xx、yy为速度协调进给，即可走出逼近直线段，到达下一插补点。在进给过程中，对实为速度协调进给，即可走出逼近直线段，到达下一插补点。在进给过程中，对实际位置进行采样，与插补计算的坐标值比较，得出位置误差，位置误差在后一采样周期内修正。采样周期可以际位置进行采样，与插补计算的坐标值比较，得出位置误差，位置误差在后一采样周期内修正。采样周期可以等于插补周期，也可以小于插补周期，如插补周期的一半。等于插补周期，也可以小于插补周期，如插补周期的一半。设进给速度设进给速度F F，其单位为，其单位为mm/min,mm/min,插补周期插补

29、周期8 ms8 ms，f f的单位的单位m/8msm/8ms，l l的单位为的单位为mm。那么。那么 无论进行直线插补还是圆弧插补，都要必须先用上式无论进行直线插补还是圆弧插补，都要必须先用上式3.333.33计算出单位时间插补周期的进给量，计算出单位时间插补周期的进给量，然后才能进行插补点的计算。然后才能进行插补点的计算。 设要加工设要加工XOYXOY平面上的直线平面上的直线OAOA，如图，如图3.183.18所示。直线起点在坐标原点，终点所示。直线起点在坐标原点，终点A Axexe，yeye。当刀具从。当刀具从O O点移动到点移动到A A点时点时X X轴和轴和Y Y轴移动的增量分别为轴移动的增量分别为xexe和和yeye。要使动点从。要使动点从O O到到A A沿给定直线运动，必须使沿给定直线运动，必须使X X轴和轴和Y Y轴的运动轴的运动速度始终保持一定比例关系，这个比例关系由终点坐标速度始终保持一定比例关系，这个比例关系