理学材料力学I

1、材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩12-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图屋架结构简图材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2受轴向外力作用的等截面直杆受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆拉杆和压杆桁架的示意图桁架的示意图（未考虑端部连接

2、情况）（未考虑端部连接情况）材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩32-2 内力内力截面法截面法及轴力图及轴力图 材料力学中所研究的内力材料力学中所研究的内力物体内各质点物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。也就是由于外力作用于构件而产生的附加的量。也就是由于外力作用于构件而产生的附加内力。内力。. 内力内力 根据可变形固体的连续性假设，内力在物根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶

3、简称为布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力该截面上的内力( (实实为分布内力系的合成为分布内力系的合成) )。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩4. 截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图(1) 假想地假想地截开指定截面；截开指定截面；(2) 用内力用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；代替另一部分对所取分离体的作用力；(3) 根据分离体的平衡求出内力值。根据分离体的平衡求出内力值。步骤：步骤：FN= F材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩5 横截面横截面m-m上上的内力的内力FN其作用线与杆的轴线重其作用线与杆的轴线重合合( (垂

4、直于横截面并通过其形心垂直于横截面并通过其形心) )轴力。取横截轴力。取横截面面m-m的左边或右边为分离体均可。的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定规定: :当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力指向截面产生缩短变形为负。轴力背离截面轴力背离截面FN=+F材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩6 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力作用于物体上的外力(荷载荷

5、载)不能任意移动或用静力不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。等效的相当力系替代。轴力指向截面轴力指向截面FN= -F材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩7 轴力图轴力图(FN图图)显示横截面上轴力与横截面显示横截面上轴力与横截面位置的关系。位置的关系。F(f)(c)F材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩8试作图试作图a所示杆的轴力图。所示杆的轴力图。例题例题 2-1材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩91. 用截面法分别求各段杆的轴力。用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方为求轴力方便，先求出便，先求出约束

6、力约束力 FR=10 kN。在在AB段用段用1-1截面将杆截面将杆截开，以左端杆为分截开，以左端杆为分离体（图离体（图c），由），由S SFx=0 得得FN1=10 kN(拉力拉力)10kN例题例题 2-1解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩10以图以图d为分离体，由为分离体，由S SFx=0，得，得FN2=50 kN(拉力拉力)10kN40kN例题例题 2-1材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩11取截面取截面33右边为分离体（图右边为分离体（图e e），假设轴力为），假设轴力为拉力。拉力。同理，同理，FN4=20 kN ( (拉

7、力拉力) )由由S SFx=0，得，得FN3= -5 kN （压力）。（压力）。 (e)25kN20kN例题例题 2-1材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩12由轴力图可见由轴力图可见kN502NmaxN, FF2. 以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。的大小，由以上结果作轴力图如图所示。例题例题 2-1材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩13试作图试作图a 所示杆的轴力图。所示杆的轴力图。例题例题 2-2FFFl2lllFq (a)ABCD材料力学材料力学()电

8、子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩141. 用截面法分别求各段杆的轴力用截面法分别求各段杆的轴力 约束反力为约束反力为FR=F例题例题 2-2FR2FFFq11233(b)l2llxABCD解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩15以图以图c为分离体，得为分离体，得FN1=F以图以图e为分离体，得为分离体，得FN3=F例题例题 2-2FN1F(c)11AF3NF33D(e)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩16FxlFFFqxFFx 11N22, 0以图以图d为分离体，得为分离

9、体，得FFlxFFx N21N21,2;, 0例题例题 2-2BqFFFx1N2FA22(d)2FFFqFR11233(b)l2llxABCD材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩17FN 图图FFF+-+(f)2. 由以上结果画出轴力图如图由以上结果画出轴力图如图f所示所示例题例题 2-2FFFl2lllFq (a)ABCD材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩181. 求分布荷载作用的求分布荷载作用的BC段的轴力时，作截面之前段的轴力时，作截面之前不允许用合力不允许用合力2lq2F代替分布荷载。作截面之代替分布荷载。作截面之后，利用平衡方

10、程求轴力时，方可用合力后，利用平衡方程求轴力时，方可用合力qx1代代替分布荷载。替分布荷载。2. 求轴力时，不允许将力沿其作用线段，例如，求轴力时，不允许将力沿其作用线段，例如，将作用在将作用在D截面的力截面的力F移到移到C截面时，截面时，AB、BC段的轴力不变，而段的轴力不变，而CD段轴力为零。段轴力为零。 例题例题 2-2FFFl2lllFq (a)ABCD材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩192-3 应力应力拉拉(压压)杆内的应力杆内的应力 应力的概念应力的概念 受力杆件受力杆件(物体物体)某一截面的某一截面的M点附近微面积点附近微面积D DA上分布内力的平

11、均集度即上分布内力的平均集度即平均应力平均应力， ，其，其方向和大小一般而言，随所取方向和大小一般而言，随所取D DA的大小而不同。的大小而不同。AFpm 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩20 该截面上该截面上M点处分布内力的集度为点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总总应力应力。AFAFpAddlim0 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩21总应力总应力 p法向分量法向分量切向分量切向分量正应力正应力s s切应力切应力t t某一截面上法向分某一截面上法

12、向分布内力在某一点处布内力在某一点处的集度的集度某一截面上切向分某一截面上切向分布内力在某一点处布内力在某一点处的集度的集度应力量纲：应力量纲：ML-1T-2应力单位：应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩22 拉拉(压压)杆横截面上的应力杆横截面上的应力 AAFdNs s (1) 与轴力相应的只可能是正应力与轴力相应的只可能是正应力s s，与切应力无关；，与切应力无关； (2) s s在横截面上的变化规律横截面上各点处在横截面上的变化规律横截面上各点处s s 相等相等时可组成通过横截面形心的

13、法向分布内力的合力时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力轴力FN ；横截面上各点处；横截面上各点处s s 不相等时，特定条件不相等时，特定条件下也可组成轴力下也可组成轴力FN 。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩23为此：为此： (1) 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。行，且仍垂直于杆的轴线。 (2) 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设平截面假设原

14、为平面的横截面在杆变形后仍原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉为平面，对于拉(压压)杆且仍相互平行，仍垂直于杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。轴线。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩24 (3) 推论：拉推论：拉(压压)杆受力后任意两个横截面之间纵杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长向线段的伸长(缩短缩短)变形是均匀的。根据对材料的变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉均匀、连续假设进一步推知，拉(压压)杆横截面上的杆横截面上的内力均匀分布，亦即内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力横截面上各点处的正应力s s 都都相等相等。 (4) 等截

15、面拉等截面拉(压压)杆横截面上正应力的计算公杆横截面上正应力的计算公式式 。AFN s s材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩25注意：注意： (1) 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。其横截面上的正应力。 (2) 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公

16、式。上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 (3) 圣维南圣维南(Saint-Venant)原理：原理：“力作用于杆端力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响寸的范围内受到影响”。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩26q=F/AqF/2F/2F/2F/2FFFFFFFF(a)(b) 这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南不能

17、随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编原理的例子（详见奚绍中编 材料力学精材料力学精讲讲，P15)。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩27 试求图试求图a所示正方形所示正方形砖柱由于荷载引起的横砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。截面上的最大工作应力。已知已知F = 50 kN。 例题例题 2-3材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩281. .作轴力图如图所示。分别求各段柱的作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。工作应力。段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 段柱横截面上的正应力

18、段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1 AFs s( (压应力压应力) ) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2 AFs s( (压应力压应力) )例题例题 2-3材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩29 结果表明，最大工作应力为结果表明，最大工作应力为 s smax= s s2= -1.1 MPa ( (压应力）压应力） 例题例题 2-3材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩30 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的

19、试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：拉应力。已知：d = 200 mm，d d= 5 mm，p = 2 MPa。 例题例题 2-4材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩31 薄壁圆环薄壁圆环(d )在内压力作用下，径向截面在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力向截面上的法向力FN后，用式后，用式s s FN/(b)求拉应力。求拉应力。 例题例题 2-4解解: :材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩32用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为

20、分离用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图体，如图b所示。分布力的合力为所示。分布力的合力为pbddpbF )sind2(0RMPa 40Pa 1040 m) 102(5m) Pa)(0.2 102(2)2(163-6N d dd ds spdpbdbAF由由S SFy=0，得，得22RNpbaFF 径向截面上的拉应力径向截面上的拉应力为为例题例题 2-4材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩33. 拉拉(压压)杆斜截面上的应力杆斜截面上的应力FF 斜截面上的内力：斜截面上的内力： 变形假设：两平行的斜截面在杆受拉变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压压)

21、而而变形后仍相互平行。变形后仍相互平行。 两平行的斜截面之间的所两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。有纵向线段伸长变形相同。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩34斜截面上的总应力：斜截面上的总应力： 推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力即斜截面上各点处的总应力p 相等。相等。 s s coscoscos/0 AFAFAFp式中，式中， 为拉为拉(压压)杆横截面上杆横截面上( =0)的正应力。的正应力。 AF 0s s材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩

22、35斜截面上的正应力斜截面上的正应力(normal stress)和切应力和切应力(shearing stress)： s s s s 20coscos p s s t t 2sin2sin0 p正应力和切应力的正负规定：正应力和切应力的正负规定： )(s)(t)(s)(t材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩36思考：思考：1. 写出图示拉杆其斜截面写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力上的正应力s s 和切应力和切应力t t 与横截面上正应力与横截面上正应力s s0的关系。并示出它的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。上的指向。

23、 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？什么样的截面上？ FF45Fkk材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩37 3. 对于拉对于拉(压压)杆知道了其横截面上一点处正应力杆知道了其横截面上一点处正应力s s0(其上的切应力其上的切应力t t0= 0)，是否就可求出所有方位的，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况位截面上应力的全部情

24、况该点处的该点处的应力状态应力状态(state of stress)？ FF材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩382-4 拉拉(压压)杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律 拉拉(压压)杆的纵向变形杆的纵向变形 基本情况下基本情况下(等直杆，两端受轴向力等直杆，两端受轴向力)： 纵向总变形纵向总变形D Dl = l1-l （反映绝对变形量）（反映绝对变形量） 纵向线应变纵向线应变 （反映变形程度）（反映变形程度） ll 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩39x 截面处沿截面处沿x方向的纵向平均线应变为方向的纵向平均线应变为 xxd d 图

25、示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。轴力不同，故不同截面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布沿杆长均匀分布的荷载集度为的荷载集度为 ffl轴力图轴力图)(xxfDfxxDxdD微段的分离体微段的分离体材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩40线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。 一般情况下，杆沿一般情况下，杆沿x方向的总变形方向的总变形 lxxl0d x截面处沿截面处沿x方向的纵向线应变为方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0d dd d lxf

26、沿杆长均匀分布沿杆长均匀分布的荷载集度为的荷载集度为 ffl轴力图轴力图)(xxfDfxxDxdD微段的分离体微段的分离体材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩41横向变形横向变形与杆轴垂直方向的变形与杆轴垂直方向的变形 在基本情况下在基本情况下 dd ddd-1 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩42AFll 引进比例常数引进比例常数E，且注意到，且注意到F = FN，有，有 EAlFlN 胡克定律胡克定律(Hookes law),适用于拉适用于拉(压压)杆。杆。 式中：式中：E 称为弹性模量称为弹性模量(modulus of elas

27、ticity)，由实，由实验测定，其量纲为验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为单位为Pa；EA 杆杆的拉伸的拉伸(压缩压缩)刚度。刚度。胡克定律胡克定律(Hookes law) 工程中常用材料制成的拉工程中常用材料制成的拉(压压)杆，当应力不超过杆，当应力不超过材料的某一特征值材料的某一特征值(“比例极限比例极限”)时，若两端受力时，若两端受力材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩43胡克定律的另一表达形式：胡克定律的另一表达形式： AFEllN1 Es s 单轴应力状态下的单轴应力状态下的胡克定律胡克定律 ss低碳钢低碳钢(Q235)： GPa210GPa200P

28、a1010. 2Pa1000. 21111 E材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩44FF0s0sst90s90tss20cosst2sin20注意：注意：(1) 单轴应力状态单轴应力状态受力物体内一点处取受力物体内一点处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。面上有应力的情况。 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩45 (2) 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力力s s方向的线应变方向的线应变 与正应力之间的关系，不适用与正应力之

29、间的关系，不适用于求其它方向的线应变。于求其它方向的线应变。 FF0s0s0E00sst90s90t90ss20cosEsst2sin20E9090s材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩46单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：单轴应力状态下，应力不超过比例极限时： EE090 s s s s st90s90t90ss20cosEsst2sin20E9090s材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩47低碳钢低碳钢(Q235)： = 0.240.28。 亦即亦即 -横向变形因数横向变形因数(泊松比泊松比)(Poissons ratio) 单轴

30、应力状态下，当应力不超过材料的比例单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变极限时，某一方向的线应变 与和该方向垂直的与和该方向垂直的方向方向(横向横向)的线应变的线应变 的绝对值之比为一常数，此的绝对值之比为一常数，此比值称为比值称为横向变形因横向变形因数数或泊松比或泊松比(Poissons ratio)：材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩48 (2)横截面横截面B,C及端面及端面D的纵向位移与各段杆的纵向的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面

31、积A和和材料的弹性模量材料的弹性模量E。 (1)列出各段杆的纵向总变形列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以以及整个杆纵向变形的表达式。及整个杆纵向变形的表达式。 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩49FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB)3/( )3/( EAlFllllBCCDAB)3/( )3/( 0 )3/(EAlFllllllEAlFlCDBCABDBCABCABB d dd dd d位移：位移：变形：变形：材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩50 (3) 图图(b)所示杆，所示杆，其各段的纵向总变其

32、各段的纵向总变形以及整个杆的纵形以及整个杆的纵向总变形与图向总变形与图(a)的的变形有无不同？各变形有无不同？各横截面及端面的纵横截面及端面的纵向位移与图向位移与图(a)所示所示杆的有无不同？何杆的有无不同？何故？故？材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩51FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB)3/( )3/( EAlFllllBCCDAB)3/( )3/( )3/( 0 EAlFllllEAlFlllABBCCDACDCBCCDB d dd dd d位移：位移：变形：变形：材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩52 求例

33、题求例题2-4中所示薄壁圆环的直径改变量中所示薄壁圆环的直径改变量D Dd。已。已知知E=210GPa，d=200mm，d d=5mm，p=2MPa。例题例题 2-5材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩53解解: 1. 由例题由例题2-4已求出圆环径向截面上的正应力为已求出圆环径向截面上的正应力为MPa40N d ds sbF例题例题 2-5材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩542. 因为因为ps s，所以在计算变形时可忽略内压力的，所以在计算变形时可忽略内压力的影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变 （周

34、向应（周向应变）与径向截面上的正应力变）与径向截面上的正应力s s 的关系符合单轴应的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即力状态下的胡克定律，即 496109 . 1Pa10210Pa1040- Es s 例题例题 2-5材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩55mm038. 0m108 . 3m2 . 0109 . 154- -ddd 圆环直径的改变量圆环直径的改变量( (增大增大) )为为ddddddd -)(3. 圆环的周向应变圆环的周向应变 与圆环直径的相对改变量与圆环直径的相对改变量 d 有如下关系：有如下关系：例题例题 2-5材料力学材料力学()电子教案电

35、子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩56 图示杆系中，荷载图示杆系中，荷载 P = 100 kN。试求结点试求结点A的位的位移移D DA。已知：。已知： = 30 ，l = 2 m，两杆直径均为，两杆直径均为d = 25 mm，材料的弹性模，材料的弹性模量为量为 E = 210 GPa。 例题例题 2-6材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩57 求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链点的位置。本例中，解除铰链A 的约束，设的约束，设1，2 杆的伸长量分别为杆的伸长量分别为D Dl1和和D Dl

36、2， 分别以分别以B和和C为圆心，以为圆心，以l1 +D Dl1 和和l2 +D Dl2为半径画圆弧，为半径画圆弧， 两圆弧的交点两圆弧的交点A为变形后为变形后A点点 的精确位置。但在小变形时，的精确位置。但在小变形时， D Dl1l1， D Dl25%的材料称为的材料称为塑性材料塑性材料)材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩83注意：注意： (1) 低碳钢的低碳钢的s ss，s sb都还是以相应的抗力除以试都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是显著缩小，因而它们是名义应力名义

37、应力。 (2) 低碳钢的强度极限低碳钢的强度极限s sb是试样拉伸时最大的名是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。义应力，并非断裂时的应力。 (3) 超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得，伸长量除以试样的原长而得， 因而是因而是名义应变名义应变(工工程应变程应变)。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩84 (4) 伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。

38、标准试样所以规定标内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积距与横截面面积(或直径或直径)之比，原因在此。之比，原因在此。 思考：思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（两种标距（l = 10d 和和 l = 5d），试问所得伸长率），试问所得伸长率d10和和d5哪一个大？哪一个大？ 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩85. 其他金属材料在拉伸时的力学性能其他金属材料在拉伸时的力学性能 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩86由由s s 曲线可见：曲线可见： 伸长率伸长率局

39、部变形局部变形阶段阶段强化阶段强化阶段屈服阶段屈服阶段弹性阶段弹性阶段退火球墨退火球墨铸铁铸铁强铝强铝锰钢锰钢材料材料%5 %5 %5 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩87s sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料用于无屈服阶段的塑性材料 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩88铸铁拉伸破坏试验铸铁拉伸破坏试验材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩89割线弹性模量割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶用于基本上无线弹性阶段的脆性材料段的脆性材料 脆性材料拉伸

40、时的唯一脆性材料拉伸时的唯一强度指标：强度指标： s sb基本上就是试样拉基本上就是试样拉断时横截面上的真实应断时横截面上的真实应力。力。 铸铁拉伸时的应力应变曲线铸铁拉伸时的应力应变曲线材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩90. 金属材料在压缩时的力学性能金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢拉、压时的低碳钢拉、压时的s ss基本相同。基本相同。 低碳钢压缩时低碳钢压缩时s s- 的曲线的曲线 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩91低碳钢材料轴向压缩时的试验现象低碳钢材料轴向压缩时的试验现象材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压

41、缩轴向拉伸和压缩92铸铁压缩时的铸铁压缩时的s sb和和d 均均比拉伸时大得多；比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。只近似符合胡克定律。灰口铸铁压缩时的灰口铸铁压缩时的s s- 曲线曲线材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩93 试样沿着与横截试样沿着与横截面大致成面大致成5055的的斜截面发生错动而斜截面发生错动而破坏。破坏。 材料按在常温材料按在常温(室温室温)、静荷载、静荷载(徐加荷载徐加荷载)下由拉下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性

42、材料。 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩94铸铁压缩破坏断口铸铁压缩破坏断口铸铁压缩破坏铸铁压缩破坏材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩95 几种非金属材料的力学性能几种非金属材料的力学性能 (1) 混凝土压缩时的力学性能混凝土压缩时的力学性能 使用标准立方体试块测定使用标准立方体试块测定端面润滑时端面润滑时的破坏形式的破坏形式端面未润滑时端面未润滑时的破坏形式的破坏形式材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩96 压缩强度压缩强度s sb及破坏形式与端面润滑情况有关。及破坏形式与端面润滑情况有关。以以s s-

43、 - 曲线上曲线上s s = = 0.4s sb的点与原点的连线确定的点与原点的连线确定“割线弹性模量割线弹性模量”。 混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如C20混凝土是指经混凝土是指经28天养护后立方体强度不低于天养护后立方体强度不低于20 MPa的混凝土。的混凝土。 压缩强度远大于拉伸强度。压缩强度远大于拉伸强度。 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩97 木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两

44、个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是认为木材是正交异性材料正交异性材料。 松木在顺纹拉伸、压缩和松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的横纹压缩时的s s - 曲线如图。曲线如图。(2) 木材拉伸和压缩时的力学性能木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低木材的横纹拉伸强度很低(图中未示图中未示)，工程中也避免，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影拉伸强度受木节等缺陷的影响大。响大。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩98(3) 玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而

45、成的复玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）合材料） 纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s s- - 曲线如图中曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。维尚有碳纤维、硼纤维等。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩992-7 强度条件强度条件安全因数安全因数许用应力许用应力. 拉拉(压压)杆的强度条件杆的强度条件 强度条件强度条件保证拉保证拉(压压)杆在使用寿命内不发生杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件：强度破坏的条件： 其中：其中：s smax拉拉(压压)杆的最大

46、工作应力，杆的最大工作应力，s s材料拉伸材料拉伸(压缩压缩)时的许用应力。时的许用应力。maxs ss s 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩100 材料的拉、压许用应力材料的拉、压许用应力塑性材料：塑性材料： ,s2 . 0pssnns ss ss ss s 或或脆性材料：许用拉应力脆性材料：许用拉应力 ，许用压应力，许用压应力bbccbbtnnssss其中，其中，ns对应于屈服极限的安全因数对应于屈服极限的安全因数其中，其中，nb对应于拉、压强度的安全因数对应于拉、压强度的安全因数材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩101常用材料

47、的许用应力约值常用材料的许用应力约值( (适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆）170230160200710.31017023034540.440.66.4Q23516MnC20C30低碳钢低碳钢低合金钢低合金钢灰口铸铁灰口铸铁混凝土混凝土混凝土混凝土红松（顺纹）红松（顺纹） 许用应力许用应力 / /MPa 牌号牌号 材料名称材料名称轴向拉伸轴向拉伸轴向压缩轴向压缩材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩102. 关于安全因数的考虑关于安全因数的考虑 (1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应考虑强度条件中一

48、些量的变异。如极限应力力(s ss，s sp0.2，s sb，s sbc)的变异，构件横截面尺寸的的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载徐加荷载)下，下，0 . 35 . 25 . 225. 1bs nn，材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉

49、伸和压缩103 强度计算的三种类型强度计算的三种类型 (3) 计算许可荷载计算许可荷载 已知拉已知拉(压压)杆材料和横截面尺杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。而计算许可荷载。FN,max=As s ，由，由FN,max计算相应计算相应的荷载。的荷载。 (2) 截面选择截面选择 已知拉已知拉(压压)杆材料及所受荷载，杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。max,Ns sFA (1) 强度校核强度校核 已知拉已知拉(压压)杆材料、横截面尺寸杆材料、横截面尺寸及所受荷载，

50、检验能否满足强度条件及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为对于等截面直杆即为max,Nmaxs ss s AF;maxs ss s 材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩104 试选择如图试选择如图 ( (a) )所示桁架的钢拉杆所示桁架的钢拉杆DI的直径的直径d。已知已知：F =16 kN，s s=120 MPa。例题例题 2-8材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1051. 用用m-m截面将桁架截开截面将桁架截开由图中由图中( (b) )所示分所示分离体的平衡方程离体的平衡方程S SMA=0，即，即kN82N FF0m3m

51、6N FF例题例题 2-8材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1062. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径mm2 . 9m102 . 9)m107 .66(44m107 .66Pa10120N1083262693N AdFAs s 由于圆钢的最小直径为由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆，故钢拉杆DI采采用用f f10的圆钢。的圆钢。例题例题 2-8材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩107 图图( (a) )所示三角架中，所示三角架中，AC杆由两根杆由两根 80 mm 80 mm 7 mm等等边角

52、钢组成，边角钢组成，AB杆由两根杆由两根10号工字钢组成。两种型号工字钢组成。两种型钢的材料均为钢的材料均为Q235钢，钢， s s =170 MPa。试求许用。试求许用荷载荷载 F 。例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1081. 由结点由结点 A ( (图图b) )的平衡方程的平衡方程030sin 0030cos 0N1N1N2 FFFFFFyxFF21N （拉）拉）（压）（压）FF732. 12N 解得解得例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1092. 计算各杆的许用轴力计算各杆的许用轴力 先由型钢表

53、查出相应等边角钢和工字钢的横截先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以面面积，再乘以2得得由强度条件由强度条件 得各杆的许可轴力：得各杆的许可轴力：Ns ss s AFkN20.486N1020.486)m102860()Pa10170(kN24.369N1024.369)m102172()Pa10170(32662N32661N FF221mm17222)mm0861( A杆杆AC的横截面面积的横截面面积222mm86022)mm4301( A杆杆AB的横截面面积的横截面面积例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1103. 求三角架的许

54、用荷载求三角架的许用荷载先按每根杆的许用轴力求各自相应的许用荷载先按每根杆的许用轴力求各自相应的许用荷载kN6 .1842kN24.36921N1 FFkN7 .280732. 1kN20.486732. 1N22 FF 该三角架的许用荷载应是该三角架的许用荷载应是 F1 和和 F2 中值小中值小的一个，所以的一个，所以kN6 .184 F例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩111 F=F2=280.7kN时时 结构是不安全结构是不安全的的1s ss s 2s ss s 1. F=F1=184.6kN时时 结构是安全的结构是安全的2s ss s 1s

55、 ss s 例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1122. 试分析下述解法是否正确？并说明原因。试分析下述解法是否正确？并说明原因。kN6 .18421, 0N1 FFFy得得由由 这种解法是不正确的，尽管这种解法是不正确的，尽管 F 的答案与以上解法的结果的答案与以上解法的结果相同，这仅是巧合，不是普遍规律，也不满足相同，这仅是巧合，不是普遍规律，也不满足S SFx0的条件。这是因为认为设定两杆的应力同的条件。这是因为认为设定两杆的应力同时达到许用应力，一般情况这是不可能的。该题时达到许用应力，一般情况这是不可能的。该题中，中，F184.6kN时，

56、时，s s2s s。例题例题 2-9材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1132-8 应力集中的概念应力集中的概念应力集中（应力集中（stress concentration）：）：由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。增大。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩114 按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局按线弹性理论或相应的数值方法得出的最大局部应力部应力s smax与该截面上名义应力与该截面上名义应力s snom之比，即之比，即nommaxts ss ss s K理论应力集中因数：

57、理论应力集中因数： 其中其中Kts s的下标的下标ts s表示是对应于正应力的理论应力表示是对应于正应力的理论应力集中因数。名义应力集中因数。名义应力s snom为截面突变的横截面上为截面突变的横截面上s smax作用点处按不考虑应力集中时得出的应力作用点处按不考虑应力集中时得出的应力(对于对于轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力轴向拉压的情况即为横截面上的平均应力)。具有小孔的均匀受拉平板，具有小孔的均匀受拉平板， Kts s3。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩115应力集中对强度的影响应力集中对强度的影响塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：塑性材料制成的杆件受

58、静荷载情况下：荷载增大进荷载增大进入弹塑性入弹塑性极限荷载极限荷载jsuAF s s材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩116 均匀的脆性材料或塑性差的材料均匀的脆性材料或塑性差的材料( (如高强度钢如高强度钢) )制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中的影响。影响。 非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部气孔等引起应力集中的内部因素，故可不考虑外部因素引起的应力集中。因素引起的应力集中。 塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可不考虑应力集中的影响。考虑应力集中的影响。材料力学材料力学()电子教案电子教案轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩117均匀的脆性材料均匀的脆性材料或塑性差的材料或塑性差的材料非均匀的脆性材非均匀的脆性材料，如铸