《误差基本知识》 (2)ppt课件

1、第五章第五章 丈量误差根本知识丈量误差根本知识1 1、偶尔误差与系统误差的定义？、偶尔误差与系统误差的定义？2 2、偶尔误差的特性？、偶尔误差的特性？3 3、等精度观测值中误差的计算？、等精度观测值中误差的计算？4 4、误差传播定律？、误差传播定律？ 5-1 丈量误差概述 先作两个前提假设： 观测条件一样. 对某一量进展一系列的直接观测在此根底上分析出现的误差的数值 、符号及变化规律。 先看两个实例：先看两个实例：例例1：用名义长度为：用名义长度为30米而实践长度为米而实践长度为30.04米的钢尺量距。米的钢尺量距。 丈量结果见下表丈量结果见下表5-1： 表表5-1 可以看出：可以看出： 从个

2、别误差来调查，其符号、数值一直变化，无任从个别误差来调查，其符号、数值一直变化，无任 何规律性。何规律性。 多次反复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。多次反复观测，取其平均数，可抵消一些误差的影响。引进如下概念：引进如下概念： 在观测过程中，系统误差和偶尔误差总是同时产生。在观测过程中，系统误差和偶尔误差总是同时产生。 系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽能够地加以矫系统误差对观测结果的影响尤为显著，应尽能够地加以矫正、抵消或减弱。正、抵消或减弱。 对能够存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多对能够存在的情况不明的系统误差，可采用不同时间的多次观测，消弱其影响。次观测，消弱其影响

3、。 消除系统误差的常用的有效方法：消除系统误差的常用的有效方法： 检校仪器：使系统误差降低到最小程度。检校仪器：使系统误差降低到最小程度。 求矫正数：将观测值加以矫正，消除其影响。求矫正数：将观测值加以矫正，消除其影响。 采用合理的观测方法：如对向观测。采用合理的观测方法：如对向观测。 研讨偶尔误差是丈量学的重要课题。研讨偶尔误差是丈量学的重要课题。 消除或减弱偶尔误差的有效方法：消除或减弱偶尔误差的有效方法： 适当提高仪器等级。适当提高仪器等级。 进展多余观测，求最或是值。进展多余观测，求最或是值。 假设假设i= Li X i= Li X i=1,2,3,358i=1,2,3,358 负 误

4、 差 正 误 差 合 计 误差区间 d（） 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91 12 2 1 12 21 15 5 1 15 51 18 8 1 18 82 21 1 2 21 12 24 4 2 24 4 4 45 5 4 40 0 3 33 3 2 23 3 1 17 7 1 13 3 6 6 4 4 0 0 0 0. .1 12 26 6 0 0. .1 11 12 2 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 06 64 4 0 0. .0 04 47 7 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0

5、01 17 7 0 0. .0 01 11 1 0 0 4 46 6 4 41 1 3 33 3 2 21 1 1 16 6 1 13 3 5 5 2 2 0 0 0 0. .1 12 28 8 0 0. .1 11 15 5 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 05 59 9 0 0. .0 04 45 5 0 0. .0 03 36 6 0 0. .0 01 14 4 0 0. .0 00 06 6 0 0 9 91 1 8 81 1 6 66 6 4 44 4 3 33 3 2 26 6 1 11 1 6 6 0 0 0 0. .2 24 45 5 0 0. .2 22 27

6、 7 0 0. .1 18 84 4 0 0. .1 12 23 3 0 0. .0 09 92 2 0 0. .0 07 72 2 0 0. .0 03 31 1 0 0. .0 01 17 7 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1 1. .0 00 00 0 从表从表5-25-2中可以归纳出偶尔误差的特性中可以归纳出偶尔误差的特性 在一定观测条件下的有限次观测中，偶尔误差的在一定观测条件下的有限次观测中，偶尔误差的绝对值不会超越一定的限值；绝对值不会超越一定的限值； 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；

7、误差出现的频率小； 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率； 当观测次数无限增大时，偶尔误差的实际平均值当观测次数无限增大时，偶尔误差的实际平均值趋近于零。趋近于零。 用公式表示为：用公式表示为： 实际阐明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，实际阐明：观测误差必然具有上述四个特性。而且，当观测的个数愈大当观测的个数愈大 时，这种特性就表现得愈明显。时，这种特性就表现得愈明显。 0limlim21 nnnnn-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 图5-1 频率直方图dnk /)(/频

8、率nk 为了直观地表示偶尔误差的正负和大小的分布情况，可以按表5-2的数据作误差频率直方图(见以下图)。 假设误差的个数无限增大假设误差的个数无限增大(n)，同时又无限减少误，同时又无限减少误差的区间差的区间d，那么图，那么图5-1中各小长条的顶边的折线就逐渐成中各小长条的顶边的折线就逐渐成为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为为一条光滑的曲线。该曲线在概率论中称为“正态分布曲线正态分布曲线，它完好地表示了偶尔误差出现的概率，它完好地表示了偶尔误差出现的概率P。 即当即当n时，时，上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的上述误差区间内误差出现的频率趋于稳定，成为误差出现的概率。概率

9、。 正态分布曲线的数学方程式为正态分布曲线的数学方程式为 : (5-3) 为规范差，规范差的平方为为规范差，规范差的平方为 方差。方差。 方差为偶尔误差平方的实际平均值：方差为偶尔误差平方的实际平均值：efy221)(222efy221)(22f()+-11121-+f()2+-221221v 观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数观测条件较好，误差分布比较密集，它具有较小的参数 ；v 观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数观测条件较差，误差分布比较分散，它具有较大的参数 ；v 具有较小具有较小 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较陡的趋

10、势迅速下降；陡的趋势迅速下降；v 具有具有 较大较大 的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较的误差曲线，自最大纵坐标点向两侧以较平缓的趋势伸展。平缓的趋势伸展。最大纵坐标点：efy221)(225-2 5-2 衡量观测值精度的规范衡量观测值精度的规范一一. .中误差中误差 误差的概率密度函数为：误差的概率密度函数为： 规范差规范差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在丈量任务中，观测个数总是有限的，为了评定精度，普通采用下述在丈量任务中，观测个数总是有限的，为了评定精度，普通采用下述误差公式：误差公式： 规范差规范差中误差中误差 m m 的不同在于观测个数的不同在于观测个数 n n

11、 上；上； 规范差表征了一组同精度观测在规范差表征了一组同精度观测在(n)(n)时误差分布的分散特时误差分布的分散特征，即实际上的观测目的；征，即实际上的观测目的； 而中误差那么是一组同精度观测在为而中误差那么是一组同精度观测在为 n n 有限个数时求得的观测有限个数时求得的观测精度目的；精度目的； 所以中误差是规范差的近似值估值；所以中误差是规范差的近似值估值； 随着随着 n n 的增大，的增大，m m 将趋近于将趋近于。 nm 根据正态分布曲线，误差在微小区间根据正态分布曲线，误差在微小区间d d中的概率：中的概率： p( p()=f()=f() d) d 设以设以k k倍中误差作为区间，

12、那么在此区间误差出现的概率为：倍中误差作为区间，那么在此区间误差出现的概率为： 分别以分别以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P( P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0.997=99.7 由此可见：偶尔误差的绝对值大于由此可见：偶尔误差的绝对值大于2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的55，而大于，而大于3 3倍的误差倍的误差仅占误差总数的仅占误差总数的0.30.3。 由于普通情况下丈量次数有限，由于普通情况下丈量

13、次数有限，3 3倍中误差很少遇到，倍中误差很少遇到， 故以故以2 2倍中误差作为允许的误差倍中误差作为允许的误差极限，称为极限，称为“允许误差，或允许误差，或 称为称为“限差即容限差即容=2m=2mkmkmdfkmP)()( 在某些丈量任务中，对观测值的精度仅用中误差来衡量在某些丈量任务中，对观测值的精度仅用中误差来衡量还不能正确反映观测的质量。还不能正确反映观测的质量。 例如例如: 用钢卷尺量用钢卷尺量200米和米和40米两段间隔，量距的中误差都米两段间隔，量距的中误差都是是2cm，但不能以为两者的精度是一样的，由于量距的误差，但不能以为两者的精度是一样的，由于量距的误差与其长度有关。与其长

14、度有关。 为此，用观测值的中误差与观测值之比的方式来描画观测的为此，用观测值的中误差与观测值之比的方式来描画观测的质量。即质量。即m/L来评定精度，通常称此比值为相对中误差。来评定精度，通常称此比值为相对中误差。 相对中误差又可要求写成分子为相对中误差又可要求写成分子为1的分式，即的分式，即 。 上例为上例为 K1= m1/L1=1/10000, K2= m2/L2=1/2000 可见可见: 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 与相对误差相对应，真误差、中误差、允许误差都称为绝对与相对误差相对应，真误差、中误差、允许误差都称为绝对误差。误差。N1 5-3 误差传播定律 在实践任务中有许多

15、未知量不能直接观测而求其值，需求由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA加上从A点到B点间进展了假设干站水准丈量而得来的观测高差h1hn求和得出的。这时未知点B的高程H。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？ 论述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、倍数的函数 设有函数： Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。 设x和z的真误差分别为x和z那么： 假设对x 共观测了n次，那么： 将上式平方，得： 求和，并除以n，得kxz xzk)2 , 1(nikxizi

16、)2 , 1(222nikxizi nknxz222nmnmxxzz22xzxzkmmmkm222nmnmxxzz22 例： 在1：500比例尺地形图上，量得A、 B两点间的间隔SAB=23.4mm，其中误差msab=土0.2mm，求A、B间的实地间隔SAB及其中误差msAB。 解：由题意： SAB=500Sab=50023.4=11700mm=11.7m mSAB500mSab500士0.2 =土100mm土0.1m 最后答案为：SAB=11.7m士0.1m 二、和或差的函数二、和或差的函数 设有函数：设有函数： Z为为x、y的和或差的函数，的和或差的函数，x、y为独立观测值，知为独立观测值

17、，知其中误差为其中误差为mx、my，求，求Z的中误差的中误差mZ。 设设x、y和和z的真误差分别为的真误差分别为x、y和和z那么那么 假设对假设对x、y 均观测了均观测了n次，那么次，那么 将上式平方，得将上式平方，得yxzyxz)2 , 1(niyixizi )2 , 1(2222niyii xyixizi 由于x、y均为偶尔误差，其符号为正或负的时机一样，由于x、y为独立误差，它们出现的正、负号互不相关，所以其乘积xy也具有正负时机一样的性质，在求xy时其正值与负值有相互抵消的能够；当n愈大时，上式中最后一项xy/n将趋近于零，即求和，并除以求和，并除以n，得，得 nnnnyxyxz222

18、20limnnyx 将满足上式的误差x、y称为相互独立的误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测值。对于独立观测值来说，即使n是有限量，由于 式残存的值不大， 普通就忽视它的影响。根据中误差定义，得222yxzmmm 即，两观测值代数和的中误差平方，即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。等于两观测值中误差的平方之和。0limnnyx 当当z是一组观测值是一组观测值X1、X2Xn代数和差的函代数和差的函数时，即数时，即nxxxz 21可以得出函数可以得出函数Z的中误差平方为：的中误差平方为： 式中式中mximxi是观测值是观测值xixi的中误差。的中误差。即，即，n

19、n个观测值代数和差的中误差平方，等于个观测值代数和差的中误差平方，等于n n个观测值中误差平方之和。个观测值中误差平方之和。222221xnxxzmmmm 当诸观测值当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为为同精度观测值时，设其中误差为m，即即 mx1=mx2=mxn=m那么为那么为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和差的中这就是说，在同精度观测时，观测值代数和差的中误差，与观测值个数误差，与观测值个数n的平方根成正比。的平方根成正比。 例设用长为例设用长为L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n个尺段，知每个尺段，知每尺段量距的中误差都为尺段量距的中误差都为m，求全长，求全长S的中

20、误差的中误差ms。解：由于全长解：由于全长S=LLL式中共有式中共有n个个L。而而L的中误差为的中误差为m。 量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。的平方根成正比。nmmznmmS 例如以例如以 30m长的钢尺丈量长的钢尺丈量 90m的间隔，当的间隔，当每尺段量距的中误差为每尺段量距的中误差为5mm时，全长的中误时，全长的中误差为差为nmmSmmm7 . 83590 当运用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，那么每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的间隔丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的

21、单位是公里。即：在间隔丈量中，间隔S的量距中误差与长度S的平方根成正比。kmsmsm 例例: 为了求得为了求得A、B两水准点间的高差，今自两水准点间的高差，今自A点开点开场进展水准丈量，经场进展水准丈量，经n站后测完。知每站高差的中误站后测完。知每站高差的中误差均为差均为m站，求站，求A、B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。 解：由于解：由于A、B两点间高差两点间高差hAB等于各站的观测高等于各站的观测高差差hii=l，2n之和，之和， 即即: hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 那么那么 即水准丈量高差的中误差，与测站数即水准丈量高差的中误差，与测站数n的平方根的平方根成正比。成

22、正比。 站mnmABh 在不同的水准道路上，即使两点间的道路长度一样，设站数不同时，那么两点间高差的中误差也不同。但是，当水准道路经过平坦地域时，每公里的水准丈量高差的中误差可以以为一样，设为mkm。当A、B两点间的水准道路为S公里时，A、B点间高差的中误差为22222kmSkmkmkmhmSmmmmAB 个或或kmhmsmAB 在水准丈量作业时，对于地形起伏不大的地域或平坦地域，可用 式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地域，那么用 式计算高差的中误差。 kmABmSmh站mnmABh 例如，知用某种仪器，按某种操作方法进展水准丈量例如，知用某种仪器，按某种操作方法进展水准丈量时，每公里高差

23、的中误差为时，每公里高差的中误差为20mm，那么按这种水准，那么按这种水准丈量进展了丈量进展了25km后，测得高差的中误差为后，测得高差的中误差为 mm1002520nnxkxkxkz 221122222112)()()(nnzxkxkxkm 321141149144xxxzmmmmmmmmmxxx6,2,3321mmmz6 . 1614121493144222 式中式中 xi (i=1，2n)为独立观测值，知其中误差为独立观测值，知其中误差为为mi(i=1 2n)，求，求z的中误差。的中误差。 当当xi具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z相应地产生真误差相应地产生真误差z。这些真误差都是一

24、个小值，由数学分析可知，变量的这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。全微分来表达。nxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121式中式中 i=l，2n是函数对各个变量所取的偏是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为：因此上式是线性函数可为：ixfnnzmxfmxfmxfm22222212212 例 设有某函数z=Ssin 式中S=150.11m，其中误差ms=士005m； =119

25、4500，其中误差m=20.6；求z的中误差mz。解：由于z=Ssin，所以z是S及a的普通函数。mmmmsmmzsz44cossin22222 ixfnxxxfz 21,xnnxxzxfxfxf 2121nnzmxfmxfmxfm22222212212 5-3 算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差 设在一样的观测条件下对未知量观测了设在一样的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为次，观测值为L1、L2Ln，如今要根据这，如今要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。个观测值确定出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为设未知量的真值为X，写出观测值的真误差，写出观测值的真误差公式为公式为i= Li-X (i=1,2n)将上式相加得将上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX 设以设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，表示上式右边第一项的观测值的算术平均值， 即即以以X表示算术平均值的真误差，即表示算术平均值的真误差，即 代入上式，那么得代入上式