数学软件选讲(Mathematica、Matlab)

1、数 学 软 件 选 讲 Mathematica Matlab SAS第 一 篇Mathematica基础知识作为一门新的编程语言图形处理（二维、三维及其参数方程的形式）极限、微分与积分求解方程（组）、微分方程（组）在线形代数方面的应用数值处理文件及其它高级操作第一章 基础知识一、Mathematica3.0 界面及运行介绍二、基本数值运算1. 整数运算：加、减、乘、除、幂、阶乘2. 数学常量：E、Pi、I、Degree、Infinity3. 函数及数学函数4. 浮点数及复数运算：N函数三、变量及表达式1. 变量的定义及清除 变量的特点(1)变量的默认作用域是全局的(2)全局变量不需事先定义或声

2、明(3)尽量避免使用下划线定义变量2. 多项式及其操作 (1) 定义、替换符操作 (2) 常用操作：Expand、Factor、Together、PartSimplify、Collect、Coefficient、Exponent四、序列及其操作1. 序列的定义2. 序列的生成：Table函数3. 序列的操作 (1) 添加删除：Append、Prepend、Insert、Delete、DeleteCases (2) 取元素：Part、Take、Drop、Select (3) 检测：Length、Count、Position五、表达式“头”的概念：Head及Apply函数六、自定义函数 1. 一元

3、函数例： Clearf,xfx_:= x2+4x-2 2. 多元函数例： fx_,y_:= x2+y2-3 3. 迭代函数例：fn_:= fn-1+fn-2;f0= 1; f1=1;1 条件语句 逻辑判断符=!=!=第二章 编程语言 逻辑运算符!|& /；运算符x = a /;test仅当test为True时才执行赋值语句 If 语句语法：If test, then, else若test为 True，则执行then，若test为False，则执行else. Which 语句语法：Which test1, value1, test2,依次计算testi，给出对应第一个test为True 的val

4、ue Switchexpr,form1,value1,form2,比较expr与formi，给出与第一个form值匹配的value例1. 定义如下的函数：220002xxxxx使用 /; 定义：f x_:= 0 /;x0&x2 使用 If 定义：f x_:= If x2, x2, x 使用Which定义：f x_:= Which x2, x2, True, x 2 输出语句Print3 循环语句 Do 语句语法：Doexpr, i, imin, imax, di计算expr，i=imin,imax，步长为di While 语句语法：Whiletest, body当test为True时，计算bo

5、dy For 语句语法：Forstart, test, incr, body以start为起始值，重复计算body和incr，直到test为False时为止 循环控制语句Break和ContinueBreak退出最里面的循环Continue转入当前循环的下一步1. 基本二维图形 Plot f, x, xmin, xmax，用于绘制形如y =f (x)的函数的图形。当将多个图形绘制在同一坐标系上时，形如： Plot f1, fn,x, xmin, xmax注意：有时需要使用Evaluate函数。第三章 图形处理例：在同一坐标系下绘出sinx, sin2x, sin3x, sin4x, sin5x

6、的图形。常用的选项：PlotStyleHuea设置线条颜色PlotRangea,b控制显示范围DisplayFunction控制图形显示AspectRatio图形的宽、高比AxesOrigin设置原点坐标形为间隔时，绘出这组图，以变化到从当，157515)2008 . 9(2sec)(tan02022vgvgxxy程序：Cleara,y,xv=200;g=9.8;ya_,x_:=Tana*x-g*x2*Seca2/(2v2)PlotEvaluateTableyi,x,i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12,x,0,4000例：有如下的抛物线簇： ListPlot List，用于绘制散点图。

7、注意，List的形式应为：, ,1100nnyxyxyx例：在同一坐标系下绘制下列两组散点图p1=0,0,0,45,5.3,89.6,22.6,131.2;p2=0,0,2.68,44.8,12.57,88.28,27,130.3;程序：g1=ListPlotp1,PlotJoined-True,DisplayFunction - Identity;g2=ListPlotp2,PlotJoined - True,DisplayFunction - Identity;Showg1,g2,DisplayFunction - $DisplayFunction; ParametricPlot fx ,

8、 fy,t,tmin,tmax 用于绘制形如x = fx(t) , y = fy(t)的参数方程图形。例：绘制以点（3,4）为圆心，半径为2的圆。ParametricPlot3+2Cost,4+2Sint,t,0,2Pi可增加如下选项：AspectRatio-1, AxesOrigin-0,02. 其它二维图形 ContourPlot f, x,xmin,xmax, y,ymin,ymax，用于绘制形如z =f (x, y)的函数的等高线图。 DensityPlot f, x,xmin,xmax, y,ymin,ymax，用于绘制形如z =f (x, y)的函数的密度图。例：绘制函数 f=si

9、nxsiny的等高线图和密度图3. 三维图形 Plot3D f,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax绘制形如Z = f (x, y)的三维图形。例：绘制以下的函数图形： Z = 10sin(x+siny)命令：Plot3D10 Sinx+Siny,x,-10,10,y,-10,10可增加选项：PlotPoints-40 ParametricPlot3D fx , fy , fz,t,tmin,tmax ,u,umin,umax 用于绘制形如x = fx(t) , y = fy(t) , z = fz(t)的参数图形。)200, 8 . 9(60)0, 0(22022020vgyyxx

10、vggvy所得的图形。轴旋转绕例：画出抛物线202022,2, 0,32, 0sincosvgbgvabarbrayrzrx其中，其中参数方程为：解：旋转所得的抛物面4. 利用函数包绘制特殊图形载入图形函数包的方法：类名类名包名包名例：例：GraphicsGraphics PolarPlotr,t,tmin,tmax绘制极坐标图形 LogPlotf,x,xmin,xmax画对数线性图 BarChartlist画出list的条形图 PieChartlist画出list的百分图例：例： xo 求 x 逼近 xo时expr的极限某些函数在一点处的极限随逼近方向不同而不同，可用Direction选择方

11、向： Limitexpr, x- xo, Direction - 1 左极限 Limitexpr, x- xo,Direction- -1 右极限例：求1/x 的左右极限xxxsinlim0 xxxx32lim例：3. 微分D f ,x,n求f 的n阶偏微分 Dt f 求f 的全微分例：Dxn,x,3 Dtx2+y2例：y = xarctgx，求其100阶导数及其在0 点的值4. 积分Integrate f , x求f 的不定积分Integrate f ,x,xmin,xmax求 f 的定积分Integrate f ,x,xmin,xmax, y,ymin,ymax求 f 的多重积分例：ax2

12、1)sin(sin x2121ax20)sin(sin x第三章 线性代数1. 构造矩阵和向量Table f ,i,m ,j,n构造mn矩阵，f 是i, j的函数，给出i, j项值Array f ,m, n构造mn矩阵，i, j项的值是 f i, jDiagonalMatrix List生成对角线元素为List的对角矩阵IdentityMatrixn构造n阶单位阵2. 截取矩阵块 Mi取矩阵M的第 i 行Map#i&, M取矩阵M的第 i 列 Mi, j 取矩阵M的i, j 位置的元素 Mi1,ir, j1,js矩阵M的rs子矩阵，元素行标为ik，列标为jk MRangei0,i1, Rang

13、ej0,j1 矩阵M的从 i0到i1行， j0到j1列元素组成的子矩阵3. 矩阵及向量的运算M.N对M、N做矩阵乘法（向量内积）M*N将M、N的对应位置元素相乘OuterTimes,M,N 求M、N的外积Dimensions M 给出矩阵M的维数Transpose M 转置Inverse M 求逆Det M 方阵M的行列式值MatrixPowerM,nn阶矩阵幂MatrixExpM矩阵指数Eigenvalues M M的特征值EigenvectorsMM的特征向量第四章求解方程（组）、微分方程（组）1. 求解多项式方程（组）Solve eqns ,vars求解多项式方程Solveeqn1,eq

14、nn, var1,varn求解多项式方程组注：Solve只能给出多项式方程（组）的解，因此它们只适用于幂次不高、规模不大的多项式方程（组）。21yxbyaxNSolve eqns ,vars 求多项式方程的数值解NSolveeqn1,eqnn, var1,varn求多项式方程组的数值解对于数值解，可以直接用NSolve求解例：求解以下方程（组）x2+ax=2x3+34x+1=0 x5-1331x+11= 0133xyyxxyyx2. 求解微分方程（组）DSolve eqns ,yx, x求解yx的微分方程DSolve eqns ,y, x 以纯函数的形式给出y的解DSolveeqn1, eqn

15、2, y1, y2, , x 求解微分方程组例：求解以下微分方程（组）y = y y k y =1xyyx的值时函数并求yxyyy8 . 21)0(2第五章 数值处理1. 数值积分NIntegrateexpr , x,xmin,xmax注意，NIntegrate直接计算数值积分，不先给出符号结果，而Integrate/N会尽可能的先求精确解的形式。2. 数值根求解FindRootlhs=rhs , x, x0 以x0为初始点求方程的数值解FindRootlhs=rhs , x, x0 ,x1给出两个初值求数值根（方程的符号导数无法求出时，必须使用此形式）FindRooteqn1, eqn2,

16、x, x0,y, y0 , 对联立方程 eqni 求数值解例：求解下列方程（组） cosx =xx600+5x+3=01cossinyxyx3. 微分方程数值解NDSolveeqn1, eqn2, y,x,xmin,xmax求函数y的数值解，x的范围为xmin,xmaxNDSolveeqn1, eqn2,y1, y2, ,x,xmin,xmax求函数yi的数值解注：以上两种形式用于求解常微分方程（组） NDSolve以InterpolatingFunction目标生成函数yi的解。 InterpolatingFunction目标提供独立变量x在xmin到xmax范围内yi的近似值。上在区间 1

17、 , 040)(0222xyydxdy例：求解以下微分方程（组）并画出函数y的图形上在区间10, 012002ttyxyxdtdyxydtdxNDSolveeqn1, eqn2, y,x,xmin,xmax, t,tmin,tmax 求由函数y构成的偏微分方 程的数值解NDSolveeqn1, eqn2,y1, y2, ,x,xmin,xmax ,t,tmin,tmax求由函数yi构成的偏微分方程组的数值解例：求下面微分方程的数值解并绘图。5 , 0,5 , 5,0055022222txtyyyeyxytytxxxt4. 极大极小值ConstrainedMax f, inequalities,

18、 x, y, ConstrainedMax f, inequalities, x, y, 求由目标函数 f 和不等式约束inequalities构成的线形规划例：ConstrainedMaxx+y,x1,y=isequal函数2逻辑运算符&| 3条件语句 if-else语句 switch-case语句4循环语句 for语句 while语句三、编程技巧1.调试程序2.输入输出参数nargin、nargout第三章 Matlab图形处理一、二维图形 1. 基本二维图形Plot用法如下：a.Plot (X)b.Plot (X,Y)c.Plot (X1,Y1,X2,Y2,) d.Plot (X1,Y1

19、,LineSpec1,X2,Y2, X3,Y3, )其中参数LineSpec定义线条的属性。Matlab中可以对线条定义如下的特性：a.线型： -(实线) - (划线) :(点线) -. (点划线)b.线条宽度： LineWidthc.颜色d.标记类型e.标记大小：Markersize fPlot在指定的范围limits内画出一元函数y=f (x)的图形用法：fplot(function,limits)注意：函数function必须是一个M文件函数或者是一个包含变量 x，且能用函数eval计算的字符串。例：在同一坐标系下绘制tgx和的sinx图形fplot(tan(x),sin(x),-1,1

20、,0,2*pi)注意坐标系调整函数axis的作用和用法2. 图形标注title为图形添加标题xlabel为x轴加标注ylabel为y轴加标注text在指定位置上添加文本字符串gtext用鼠标在图形上放置文本legend为图形添加图例3. 特殊二维图形polar 画极坐标形式函数r = f ()的极坐标图用法如下：polar(theta,rho,LineSpec) 例：t = 0:.01:2*pi;polar(t,sin(3*t).*cos(2*t),-r)4. 其它二维图形pie用x中的数据画一饼形图semilogxx轴对数图形loglog 双对数图形bar 用二维垂直条形显示向量或矩阵中的值

21、barh 用二维水平条形显示向量或矩阵中的值hist 二维条形直方图，可以显示出数据的分 配情形二、三维图形 1. 曲面与网格图形命令mesh生成由X，Y和Z指定的网线面在使用该命令前应先用meshgrid函数生成可用 于计算函数值的矩阵网格。通常用法如下：X,Y =meshgrid(a)Z= f (X,Y)mesh(X,Y,Z) 2. 三维图形的其它形式contour曲面的等高线图pie3三维饼图surf 在矩形区域内显示三维带阴影曲面图quiver 矢量图或速度图surfnorm 计算与显示三维曲面的法线 第四章 Matlab应用一、多项式运算二、极限limit (F, x, a, rig

22、ht ) x趋向于a时F的极限三、导数diff (S, v, n)四、积分 1. 符号积分a. 不定积分 int (S, v)b. 定积分 int (S, v, a,b) 2. 数值积分a. 一元函数 quad ( fun,a,b)自适应Simpson法 trapz ( X, Y )梯形法 b. 二元函数dblquad ( fun,xmin,xmax,ymin,ymax)在矩形区域xmin,xmax,ymin,ymax上计算二元函数z=f (x,y)的二重积分quad2ggen ( fun,xlower,xupper,ylower,yupper)在任意区域xlower,xupper,ylowe

23、r,yupper上计算二元函数z=f (x,y)的二重积分五. 插值a. interp1( X,Y,xi,method) 一维数据插值b. interp2( X,Y,Z,xi, yi,method) 二维数据插值例：已知1900年到2010年每隔十年的数据如下：75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697179.323 203.212 226.505 249.633 256.344 267.893用插值法求1995年的数据。六、方程（组）求解 1. 方程（组）的符号解solve (eq)求方程的符号解solve (eq1,eq2,eqn) 求方程组

24、的符号解例：solve(x2+3x-6)solve(-x2*y+3*x-6,x+y2-1) 2.方程（组）的数值解fzero (fun,x0)用数值方法求方程根fsolve(fun,x0)用数值方法求方程根 例：求下列方程的根21x21x21ex2xexx2解：先建立方程函数文件，并保存为解：先建立方程函数文件，并保存为myfun.mfunction F = myfun(x)F = 2*x(1) - x(2) - exp(-x(1); -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2);然后调用优化程序然后调用优化程序x0 = -5; -5; % 初始点初始点x,fval = fsolve(myfun,x0,options) 七、积分变换 1. Fourier积分变换F = fourier( f )对符号单值函数 f 中的缺省变量 x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式例：syms