文科立体几何大题复习

1、文科立体几何大题复习一 解答题(共12小题)1如图1,在正方形ABCD中，点，E, F分别是AB, BC的中点，BD与EF交于点H,点G, R分别 在线段DH, HB上，且匹县.将 AED,ACFD BEF分别沿DE, DF, EF折起，使点A, B, C重GH RH合于点P,如图2所示.(1) 求证：GR!平面PEF(2) 若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥P- DEF的内切球的半径.團1022 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD底面 ABCD是菱形，/ BAD=60 , AB=2, PD=E ,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.(I)证明：平面EACL平面PBD

2、3.如图，在四棱锥中 P-ABCD AB=BC=CD=DA / BAD=60 , AQ=QD, PAD是正三角形.(1)求证:AD丄PB;(2)已知点M是线段PC上, MC2 PM,且PA/平面MQB，求实数 入的值.4.如图，四棱锥S- ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的匚倍，P为侧棱SD上的占八、(I)求证：AC丄SD;(U)若SD丄平面PAC则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的值; 若不存在，试说明理由.5如图所示， ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且 AB丄BC, AB=BC=2 / BCD=60, 点M为BE的中点，点N

3、在线段AC上.(I)若列二入，且DN丄AC,求入的值；NC(U)在(I)的条件下，求三棱锥 B- DMN的体积.6 .如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AC且侧面BBCiC是菱形，/ BiBC=60.(I)求证：ABi 丄 BC;(U)若AB丄AC, ABi=BBi，且该三棱柱的体积为 2，求AB的长.7.如图1,在矩形ABCD中，AB=4, AD=2, E是CD的中点，将 ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥Di- ABCE其中平面DiAE平面ABCE图1(1) 证明：BE!平面DiAE;(2) 设F为CDi的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF/平面DiAE,若存在

4、，求出的AB值；若不存在，请说明理由.8.如图，已知多面体 ABCDEF中, ABDA ADE均为正三角形，平面 ADE1平面 ABCD，AB/ CD/EF, AD: EF: CD=2 3: 4.(I)求证：BD丄平面BFC(U)若AD=2,求该多面体的体积.9.如图，在四棱锥中P-ABCD底面ABCD为边长为讥的正方形，PA! BD.(I)求证：PB=PD(U)若E, F分别为PC, AB的中点，EF丄平面PCD求三棱锥的D-ACE体积.BP10.如图，四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE!平面ABCD(I)证明：平面AECL平面BED(U)若/ ABC=120，AEEC,三棱

5、锥E-ACD的体积为八，求该三棱锥的侧面积.11.如图，四边形 ABCD是正方形，DE丄平面ABCD AF/ DE, AF寺皿*ED=1.(I)求二面角E- AC- D的正切值；(U)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM /平面BEF并证明你的结论.12.如图，在四棱锥 P ABCD中，AB丄平面 BCP CD/ AB, AB=BC=CP=BP=2CD=1.(1) 求点B到平面DCP的距离；(2) 点M为线段AB上一点(含端点)，设直线MP与平面DCP所成角为a,求sin a的取值范围.文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一 解答题（共12小题）GH RH1如图1,在正方形

6、ABCD中，点，E, F分别是AB, BC的中点，BD与EF交于点H,点G, R分别 在线段DH, HB上，且匹型.将 AED,ACFD BEF分别沿DE, DF, EF折起，使点A, B, C重合于点P,如图2所示.（1）求证：GR!平面PEF（2）若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥P- DEF的内切球的半径.【解答】证明：（I）在正方形ABCD中，/ A、/ B、/ C均为直角,在三棱锥P- DEF中，PE, PF, PD三条线段两两垂直， PD丄平面PEF二二，即 ；： ,在厶 PDH 中，RG/ PD,GH RH GH RH GR!平面 PEF解：（U）正方形ABCD边长为4,由题意

7、 PE=PF=2 PD=4 EF=2 匚,DF=2 二,- Spe=2 , Spfc=Sdpe=4,:二，| - h:=6,设三棱锥P- DEF的内切球半径为r,则三棱锥的体积：解得r=,三棱锥p-DEF的内切球的半径为.2 .如图，在四棱锥 P-ABCD中，PD丄平面 ABCD底面 ABCD是菱形，/ BAD=60 , AB=2 PD=E ,O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点.(I)证明：平面EACL平面PBDP- EAD的体积.【解答】(I)证明：PD丄平面ABCD AC?平面ABCD AC丄PD.v四边形 ABCD是菱形，二AC丄BD,又 PDA BD=D, AC丄平面 PBD.而A

8、C?平面EAC,二平面EAC1平面PBD.(U)解：PD/平面 EAC，平面 EACA平面 PBD=OE PD/ OE,v O是BD中点，二E是PB中点.取AD中点H,连结BH,v四边形ABCD是菱形，/ BAD=60 , BH丄 AD, 又 BH丄 PD, ADA PD=D, BH丄平面PAD三工二# r ri I ， 1= .3.如图，在四棱锥中 P-ABCD AB=BC=CD=DA / BAD=60 , AQ=QD, PAD是正三角形.(1) 求证：AD丄PB;(2) 已知点 M是线段PC上, MC2 PM,且PA/平面MQB，求实数 入的值.【解答】证明：(1)如图，连结BD,由题意知

9、四边形ABCD为菱形，/ BAD=60 , ABD为正三角形，又 AQ=QD,二 Q 为 AD 的中点，二 AD丄 BQ, PAD是正三角形，Q为AD中点， AD丄 PQ,又 BQA PQ=Q /. AD丄平面 PQB, 又 PB?平面 PQB 二 AD丄 PB.解：(2)连结AC,交BQ于N,连结MN, AQ/ BC, PN/平面 MQB, PA?平面 PAC平面MQBG平面PAC=MN根据线面平行的性质定理得 MN / PA,“-PL综上，得-4- , MC=2PM, Mg PM,：实数入的值为2.4如图，四棱锥S- ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的匚倍，P为侧棱SD上的

10、 占八、(I)求证：AC丄SD;(U)若SD丄平面PAC则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的值; 若不存在，试说明理由.*nf J f J fBC【解答】解：(I)连BD,设AC交BD于O,由题意SOX AC,在正方形ABCD中, AC丄BD,所以AC丄面SBD所以AC丄SD.(U)若SD丄平面PAC贝U SDX OP,设正方形ABCD的边长为a, 则SD二，OD三.，w则 ODPD/SDSD 4故可在SP上取一点N,使PN=PD 过N作PC的平行线与SC的交点即为E,连BN.心 BDN中知BN / PO,又由于NE/ PC,故平面BEN/面PAC得 BE/

11、面 PAC由于 SN: NP=2: 1,故SE EC=2 1.5.如图所示， ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且 AB丄BC, AB=BC=2 / BCD=60, 点M为BE的中点，点N在线段AC上.(I)若H=入，且DN丄AC,求入的值；NC(U)在(I)的条件下，求三棱锥 B- DMN的体积.【解答】解：(I)取BC的中点0,连接ON, OD，四边形BCDE为菱形，/ BCD=60, DO丄 BC, ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直， DO丄平面ABC, v AC?平面 ABC,： DO 丄 AC,又 DN丄AC,且 DNA DO=D, AC丄平面DON,v ON?

12、平面 DON,： ON 丄 AC,由O为BC的中点，AB=BC可得NCAC,：J 即入=3NC s戏(U)由平面 ABC丄平面BCDE AB丄BC,可得 AB丄平面BCDE由:,可得点N到平面BCDE的距离为.一卄丄由菱形BCDE中，/ BCD=60,点M为BE的中点，可得 DM丄BE且, BDM 的面积一 -|,h . v ,三棱锥N- BDM的体积又 Vn- bdm=VB-dmn,三棱锥B- DMN的体积为.126 .如图，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，AB=AC且侧面BBCiC是菱形，/ BiBC=60.(I)求证：AB1 BC;(U)若AB丄AC, ABi=BBi，且该三棱柱的体

13、积为 2 :，求AB的长.【解答】解：(I)取BC中点M，连结AM , B1M ,v AB=AC M是BC的中点， AM 丄 BC,v侧面BBGC是菱形，/ BiBC=60, BiM 丄 BC,又 AM?平面 ABiM , BiM?平面 ABiM , AMA BiM=M , BC丄平面 ABiM , v ABi?平面 ABiM , BC丄 ABi.(II)设 AB=x,贝U AC=x BC= =x,) M 是 BC的中点，二 AM二：, BiM= ”，2 2 又T ABpBB,. AB1?x, AB!2=BM2+AM2,.BiM 丄 AM .由(I)知 BiM 丄 BC, AM?平面 ABC,

14、 BC?平面 ABC, AM A BC=M, BiM 丄平面 ABC,-V=:-h 工=- : - , x=2,即 AB=27.如图1,在矩形ABCD中 , AB=4, AD=2, E是CD的中点,将厶ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥Di- ABCE其中平面DiAEX平面ABCEDECS1(1) 证明：BE!平面DiAE;(2) 设F为CDi的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF/平面DiAE,若存在，求出工的 值；若不存在，请说明理由.【解答】(I)证明：连接BE, ABCD为矩形且 AD=DE=EC=2 AE=BE=2 二,AB=4, aW+bEaB2 , BE!AE,又 D

15、iAEX平面 ABCE 平面 DiAEA 平面 ABCE=AE BE!平面 DiAE.(2)讥-.AB 4取DiE中点N,连接AN, FN, FN/ EC EC/ AB, FN/ AB,且 FN二=AB,2rC 4 M , F, N, A共面，若 MF / 平面 ADiE，贝U MF / AN. AMFN为平行四边形,AM=FN= t:,.-:.8.如图，已知多面体 ABCDEF中, ABDA ADE均为正三角形，平面 ADE1平面 ABCD AB/ CD/EF, AD: EF: CD=2 3: 4.(I)求证：BD丄平面BFC(U)若AD=2,求该多面体的体积.【解答】解：(I)因为AB/

16、CD,所以/ ADC=120,A ABD为正三角形，所以/ BDC=60.设 AD=a,因为 AD: CD=2 4=1: 2,所以 CD=2a在 BDC中，由余弦疋理，得- - -: r _-ll ,-所以 BD2+B=CD2,所以 BD丄 BC.取AD的中点0,连接E0,因为 ADE为正三角形，所以E0丄AD,因为平面 ADE1平面 ABCD 所以E0丄平面ABCD取BC的中点G,连接FG, 0G,贝上二十，且EF/ OQ所以四边形OEFG为平行四边形,厶所以FG/ E0,所以FG丄平面ABCD所以FG丄BD.因为FGG BC=G 所以BD丄平面BFCEF(U)过G作直线MN / AD,延长

17、AB与MN交于点M , MN与CD交于点N,连接FM, FN.因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG/ OA,所以四边形AOGM为平行四边形，所以 AM=OG.同理 DN=OG 所以 AM=OG=DN=EF=3又AB/ CD,所以AM/ DN,所以AM/ DN / EF,所以多面体 MNF-ADE为三棱柱.过M作MH丄AD于H点,因为平面 ADE1平面 ABCD所以MH丄平面ADE,所以线段MH的长即三棱柱MNF-ADE的高，在厶AMH中，:i -,所以三棱柱MNF- ADE的体积为:工-422因为三棱锥F- BMG与F- CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为1 .9.如图，在四棱锥中

18、P-ABCD底面ABCD为边长为 二的正方形，PAL BD.(I)求证：PB=PD(U)若E , F分别为PC, AB的中点,EF丄平面PCD求三棱锥的D-ACE体积.B【解答】解：(I)连接AC交BD于点O , 底面ABCD是正方形， ACL BD且O为BD的中点.又 PAI BD, PAG AC=A BD丄平面PAC 又PO?平面PAC BD丄 PO.又 BO=DO, Rt PBC RtA PDO, PB=PD(U)取PD的中点Q,连接AQ, EQ,贝U EQ丄CD,2又 AZ : AFEQ为平行四边形，EF/ AQ,v EF丄平面PCD, AQ丄平面PCD v PD?平面PCD AQ丄P

19、D,v Q是PD的中点， AP=AD=匚.v AQ丄平面PCD CD?平面PCD, AQ丄 CD,又 AD丄 CD,又 AQA AD=A, CD丄平面PAD CD丄 PA 又 BD丄 PA CDA BD=D, PA!平面 ABCDVD-ACE -堆-ACD=fxiPAX Wd 4_x7xV2x7V2XV2 j/2_ 6故三棱锥D-ACE的体积为二.GP10如图，四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE!平面ABCD(I)证明：平面AECL平面BED(U)若/ ABC=120，AEEC,三棱锥E-ACD的体积为土求该三棱锥的侧面积.【解答】证明：(I)：四边形ABCD为菱形， AC!

20、BD，：BE!平面 ABCD AC! BE,则AC丄平面BED,：AC?平面 AEC平面AECL平面BED解: (U)设 AB=x,在菱形 ABCD中，由/ ABC=120,得 AG=GC= - x，GB=GD=，：BE!平面 ABCD BE! BG,则 EBG为直角三角形，EG= AC=AG= x,2 2则 BE=：匚；=一x,三棱锥 E-ACD的体积 V=一 -： =.,：=” ,解得x=2,即AB=2,ABC=120,.aCABF+BC?-2AB?BCcosABC=+4- 2X .:=12,2即 AC=-二，在三个直角三角形 EBA EBG EBC中，斜边AE=EC=EDAE EC, . EAC为等腰三角形，则 aW+e6=AC?=12,即 2AW=12, AE2=6,则 AE=；,从而得 AE=EC=ED=, EAC的面积 S=3，在等腰三角形EA