《创新设计》数学一轮(文科)人教A配套精品课件第二章第2讲函数的单调性与最值

1、第2讲函数的单调性与最值 夯基释疑y（考点三（例3（训练3 （乞课堂小结夯基释疑判断正误(在括号内打“厂或“ X ”)(1)函数丿=2的单调递减区间是(一8, 0)U(0, +). %)(2) 对于函数于(兀)，xD,若m X2D且(兀1兀2)|/31) f(X2)0,贝!|函数/(x)ft D 是增函数.(3) 函数y = x是R上的增函数.0C)函数j=/(x)4l, +8)上是增函数，则函数的单调递 增区间是1, +) (沟考点突破考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】试讨论函数/*3）=笃H0）在（一1, 1）上的单调性.解设一1X1X219可用定义法或导数法f(x)=aX 1f(

2、xi)f(X2)=a(l1+(兀2兀1)(X1 1)(X21)?由于一10，Xj ICO, x21V0, 故当a0时，/(xj)/(x2)0, P/(x1)/(x2),函数心)在(一1, 1)上递减;当“vO时，/(xj/(x2)0, BP/(x1)0,函数/(x)=x+(x0),证明：函数/(兀) 在(0,也上是减函数，在丽,+8)上是增函数；(2)求函数y=logx24x+3)M单调区间.3X2”2兀20 时，XI兀20, 1 有 /（X1）/*（X2）0,即 /（X1）0）在（0,也上为减函数;x考点突破考点一确定函数的单调性或单调区间厂、【训练1】已知0,函数/(x)=x+(x0),证

3、明：函数/(兀)/V在(0,也上是减函数，在&, +8)上是增函数;求函数J=log1(x24x+3)的单调区间.3当 xxiya时，XiX20,有金1)冷2)0,即金 1)/(*2), 此时，函数/(x)=x+%a0)在&, +)_t为增函数;1=1综上可知，函数/(x)=x+;(a0)4(0,也上深度思考(证明函数的单 调性问题一般 有两种解法： 定义法和导数 法，你不妨都I试一试在&, +8)上为增函数.1=1为减函数;考点突破考点一 确定函数的单调性或单调区间丿【训练1】已知0,函数/（x）=x+（x0）,证明：函数/（兀） 在（0,也上是减函数，在丽,+8）上是增函数；（2）求函数y

4、=logx24x+3）M单调区间.3法二几r）=l一刍，令/（x）0, Ml一令0， 解得xa或x &（舍）令f（x）V0,则1务V0,解得一&V兀0,/.0x0,函数/(x)=x+(x0),证明：函数/(兀) 在(0,也上是减函数，在丽,+8)上是增函数；(2)求函数y=logx24x+3)M单调区间.3解令 w=x24x+3, 原函数可以看作丿=10护与w=x24x+3的复合函数.3令w=x2-4x+30.贝JUV1 或x3：函数 j=log1(x24x4-3)的定义域为(一8, 1)U(3, +).3又“=以_4兀+3的图象的对称轴为兀=2,且开口向上， /.w=x24x+3在(一8,

5、1)上是减函数， 在(3, +8)上是增函数.考点突破考点二 利用函数的单调性求参数范冃厂、【训练1】已知0,函数/(x)=x+(x0),证明：函数/(兀)/V在(0,也上是减函数，在&, +8)上是增函数;求函数J=log1(x24x+3)的单调区间.3接上一页扭=/4兀+3在(一8, 1)上是减函数，在(3, +8)上是增函数.而函数y=logU在(0, +8)上是减函数，3Aj=log1(x24x+3)的单调递减区间为(3, +),3单调递增区间为(一8 , 1).【例2】（1）如果函数递增的，则实数a的一扌+f(x)=ax2-2x3A.若函数/（x）=x+1的取值范C在区间（一8, 4

6、）上是单调可用定义法或导数法o1-/DB.-扌，+ 阪主（一8, 1）上是减函数,1- 4围是借助二次函数的对称轴和区间关系1x=a9解析（1）当“=0时，f（x）=2x3,在定义域只上是单调递增的， 故在（-00, 4）上单调递增； 当时，二次函数金）的对称轴为 因为/在（一，4）上单调递增， 所以0,且一4,解得一扌WaV0 综合上述得一WaWO.CLX 1【例2】若函数金）=丁帀在（一口一1）上是减函数，则a的。+ 1Ul9取值范围是9、亠ax1法则 f(Xl)f(X2)=1_1 _ (a + 1) (xiX2) X2+I xi + 1 (xi + 1) (x2+l) 又函数/（r）在（

7、一oo, 1）上是减函数，所以/E）/（兀2）。由于。产一1,/.Xjx20,工i + lvO, x2+l0, a + l 4. CJ实数。的取值范围是（）A. (-OO, 1 B. 1, 4C. 4, +8) D. (-oo, 1U4, +oo)即aWl或故选D.答案Dy= -x2 +4 兀 代4)解析 作出函数fd）的图象如图所示， 由图象可知/仗）在（a, +1）上单调递增, 需满足或a + lW2,丿考点突破考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知函数加:)对于任意兀，yER,总有/(x)+/(y)2=/(兀+丿)，且当兀0 时，/(X)兀2，贝疗（心）f（x2）=f（x1x2+x2）

8、 /（x2）=f（x1 X2） +/（兀 2）f（X2）又当兀o时，/(x)0，/(兀1一兀2)0,SP/(x1)/(x2),丿/(兀)在R上为减函数【例3】已知函数加:)对于任意兀，yER,总有/(x)+/(y)2=/(兀+丿)，且当兀0 时，/(X)0, /(1)=y(1) 求证：/(兀)在R上是减函数；(2) 求沧)在一3, 3上的最大值和最小值.(2)解 T/d)在R上是减函数， 冷)在一3, 3上也是减函数,丁(兀)在3, 3上的最大值和最小值分别为(3)与/.耐(3)=#(1)=_2,又函数/仗)对于任意兀，yWR，总有/(兀)+/00=/(兀+丿)， 令r=y=0,得f(0)=0

9、,再令y = r,x) = /(x),V(-3)=-/(3)=2.Rd)在一3, 3上的最大值为2,最小值为一2考点突破考点三利用函数的单调性求最值规律方法利用函数的单调性求函数的最大（小）值，即如果函数尸 于（对在区间仪，盯上单调递增，在区间方，C上单调递减， 则函数y =/*（*）在区间a, c上的最大值是f（）；如果函数y =/3）在区间a,方上单调递减，在区间b, c上单调递 增，则函数丁=/*3）在区间a, c上的最小值是勉）.丿考点突破考点三利用函数的单调性求最值兀=3对*称. 扌，+J上单调递增，11一00, 2z7、【训练3】如果函数/(兀)对任意的实数兀，都有/(l+x)=/

10、(-x), 且当兀易时，/(x)=log2(3x1),那么函数ZU)在2, 0上的 最大值与最小值之和为()A. 2 B. 3 C. 4 D. -1解析 根据广(1+兀)=，/*(*), 可知函数/(兀)的图象关于直线 又函数/(兀)在上单调递减，贝11函数/在一2, 0上的最大值与最小值之和为 /(-2)+/(0)=/(l+2)+/(l+0)=/(3)+/(l)=log28+log22=4. 答案C课堂小结思想方法丿1. 利用定义判断或证明函数的单调性 设任意兀1，x2a9方且xi0呵（兀）在0列上是增函数;f（兀1）/ （兀2）X1X2vog/d）在0刃上是减函数.(2)(X1-/(x2)

11、 O(x)ft ,方上是增函数;（X1 X2）1/（x1） /（X2）0=V*（x）4a,方上是减函数.函数的单调 性是对某个区间而言的.2. 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的 子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、 利用导数的性质.3. 复合函数的单调性=1对于复合函数若t=g(x)在区间(a, b)上是单调函 数，且y=/(t)在区间(g), g(“)或者(方)，g)上是单调函 数，若t=gb)与y=/(t)的单諭隹箱同(向盼为曾兪减)，则y= /1以兀)为增函数；若t=g(x)鸟y =/(t)的单调性相反9贝!y = /kd)为减函薮.简称：同增异减.课堂小结易错防范1. 函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变 化趋势，“任意”两个字是必不可少的.如果只用其中两点