山东省烟台市龙口市龙矿学校（五四制）2020中考数学二次函数综合题分类训练--与线段、周长有关的问题2（无答案）

1、2020中考数学二次函数综合题分类训练-与线段、周长有关的问题(二)1. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ABOC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D，将DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标. 第6题图答案：1.解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（

2、3，0），B（1，0），解得,抛物线的解析式为y=x2-4x+3.（2）令x=0,则y=3,点C（0，3），又点A(3,0),直线AC的解析式为y= -x+3,设点P（x,x2-4x+3）,PDy轴，且点D在AC上，点D(x,-x+3),PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+,a=-10,当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，可得：MAMB，由三角形的三边关系，MA-MC-4,当x=-2时，线段PD取得最大值，将x=-2代入y= -x2-x+4中得y=4,线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.过

3、点P作PFOC交AC于点F，如解图.PFOC,PEFOEC,.又=,OC=4,PF=. 由 得PF（-x2-x+4）-(x+4)= .化简得：x2+4x+3=0,解得x1= -1,x2= -3.当x= -1时，y=；当x= -3时，y=.即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.又点P在直线y=kx上，k= -或k= -. 第3题解图4.(1)解：设AC与x轴的交点为M，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直线AC的解析式为y=x-1，直线AC与x轴的交点M(1，0).OM=OA，CAO=45.CAB是等腰直角三角形，ACB=45，BCy轴,又OMA=4

4、5，OAB90，ABx轴,点B的坐标为(4，-1).抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，得,解得，抛物线的解析式为y-x2+2x-1.(2)证明：抛物线y= -x2+2x-1= -(x2-4x)-1= (x2)2+1,顶点P的坐标为(2，1)，抛物线y= -(x2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,平移后的二次函数的解析式为y= -(x-3)2+2，当y=0时，有0= -(x-3)2+2，解得x1=1，x2=5，y-(x-3)2+2过点(1，0)和(5,0)，直线AC的解析式为y=x-

5、1，直线AC与x轴的交点坐标为(1，0)，平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.(3)解：如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由：取AB的中点F，连接FN，FQ，作B点关于直线AC的对称点B，设平移后的抛物线的顶点为P.连接BB，BQ,BQ,则BQBQ,抛物线y= -(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，PA=2,抛物线沿AC方向任意滑动时，PQ=2，A(0，-1)，B(4，-1)，AB中点F(2，-1)，B(4，-1)，C(4，3)，N(4，1)，FN= =2,FNPQ,在ABC中，F、N分别为AB、BC的中点， 第4题解图FNPQ，四边形PNFQ是平行四边形，N

6、P=FQ,NP+BQ=FQ+BQFB=2.当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.5.解：（1）OA=2,点A的坐标为（-2，0）.OC=3,点C的坐标为（0，3）.把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y= -x2+bx+c,得，解得，抛物线的解析式为y-x2+x+3.(2)把y=0代入y= -x2+x+3,解得x1=3,x2=-2,点B的坐标为（3，0），OB=OC=3,ODBC,OE所在的直线为y=x.解方程组,解得,点E在第一象限内， 第5题解图点E的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，QA=QB,BEQ的周长

7、BE+QA+QE,BE为定值，且QA+QEAE,当A、Q、E三点在同一直线上时，BEQ的周长最小，由A(-2,0)、E(2，2)可得直线AE的解析式为y=x+1,由（2）易得抛物线的对称轴为x=,点Q的坐标为（，）,在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得BEQ的周长最小.6.解：(1)由题意得A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a0),将点B、C分别代入得,解得,抛物线的解析式为y= - x2+ x+2.(2)y= -x2+ x+2= -+，设抛物线的顶点为G，则顶点G的坐标为（1，），过G作GHAB，垂足为H，如解图,则AH

8、=BH=1,GH=-2=,EAAB,GHAB,EAGH,GH是BEA的中位线,EA=2GH=.过B作BMOC,垂足为M,如解图,则MB=OA=AB. 第6题解图 第6题解图EBF=ABM=90,EBA=FBM=90-ABF.RtEBARtFBM.FM=EA=.CM=OC-OM=3-2=1,CF=FM+CM=.(3)如解图,要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK,连接CP，根据轴对称求出CP=MP，则CP+BQ最小，CB，QP为定值，四边形BCPQ周长最短.将点C向上平移一个单位，坐标