测度论基础知识总结

1、测度论基础知识总结1集合论1.1集合与基本运算概念：具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义）。中间含有的对象叫元素。全集：要研究的问题涉及到的最大集合。空集：没有任何元素的集合。表达方法：X （集合元素x）|x应该有的性质元素与集合的关系：xA, x?A集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素 xA, xB则A包含于B （证明就用这个方法），A是B的子集（AB则 为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但AMB集合的运算 单个元素的幕集2X对于一个集合X,它的幕集2X表示所有其子集为元素构成的集合。这种以集合为元素的集合，也叫集合族。 两个

2、集合的运算交：AnB=x| x 6A 且 xB并：A UB=x| x CA 或 x B差：AB （或写成 A-B） =x| x A 且 x?B补：AC=UA （ U是问题要研究的全集）于是有等式 ab=a nBC积：（直积）AX B=（x,y）| x CA且yB （把A、B中元素构成有序对） 多个元素的运算多个交？入giA入表示所有以入为角标的集合的并，要求入 I,称为指标集。类似有多个并注：可以是无穷个1【例】An x| x , A=x| x0，则 A=?n=1 Ann集合的分析相关性质 上限集：一列集合An，定义上限集为？n=1 ?k=n Ak。类似于数列的上极限。 下限集：一列集合An，

3、定义下限集为？n=1 ?k=n Ak。类似于数列的下极限。 集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集）。 单调集合列：若始终有 An包含于An+1，也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有An+1包含于An，则为递减列。若An为递增列，则有极限lim An=? n=1 An ；若为递减列，则有lim An=?n=1 An。nxng1.2映射定义：X、Y是两个集合，对任意x欣，存在唯一的y=f(x) Y与之对应，则对应法则f为X 到Y的一个映射，记为f:X tY。像集：对于X的一个子集A，像集f(x)| x A记为f(A)，显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B

4、,原像集x| x A且f(x) B记为f-1 (B)满射：f(X)=Y,即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应 Y中不同的像双射：既是单射又是满射。双射是一一对应的映射。逆映射：对于双射，建立一种Y到X的双射，将像映射到原像上。记为f-1 ：Yt X复合映射：f：XT Y, g:YT乙它们的复合g o f:XT乙写成g(f(X)函数，一个？(n维实数向量)到 R (实数)上的映射性质(映射与交并运算顺序可交换性)对于f:XTY, X若干个子集Aa, Y若干个子集Baf(UA a)=Uf(Aa)f-1 ( UBa)=Uf-1 (B a)f( nA a包含于(只有这一个不一定等于！ ！)n

5、f(A a)不等于的例子：A=1 , B=-1, f(x)=|x|，则 f(A nB)#f(A) n(B)f-1 (nBa)=nf-1 (B a)用集合相等定义可证明。1.3集合的势对等：如果集合 A和B之间可以建立双射，则 A对等于B。记为AB性质：A到B有单射t A与B子集对等A到B有满射t B与A子集对等 AB, BC,贝U AC (传递性) AC, BD，贝U AX BCX D判定：(康托一伯恩斯坦定理)若集合X与Y的一个真子集对等而且 Y与X的一个真子集对等，则XY基数：有限个元素的集合为元素个数。势：若两个集合对等，则定义它们的势相等。在有限个元素的情况下，势就是基数。无限个元素的

6、情况下，定义自然数集的势是？。(阿列夫0)。A的势用|A|表示。若A与B的一个子集对等，则|A| W|B|，若与B的真子集对等，则1.4可数集可数集：与自然数集对等的称为可列集，元素有限的集合和可列集统称可数集。性质：任何无穷集合都包含可列子集 可数集的子集还是可数集 两个可数集的交、并还是可数集 可数集和可数集的直积还是可数集定理：有理数集是可列集，实数不是可列集。(有理数可列证明就把每一个有理数p/q映射到(p,q)点，则有理数和ZX N对等。实数不可列证明方法有多种，可用闭区间 套定理、有限覆盖定理、十进制小数展开等方法)定义实数的势是 c=?1-定理：单调函数的间断点集是可数集证明思路

7、：不妨设单调递增。间断点x0左右必有界，否则不单调。 f（xO-O）和f（xO+O）之间必有有理数rx0，而且x0不同的话每个区间（f（xO-O）,f（xO+O）不会相交，否则不单 调。所以间断点和有理数子集rxO建立双射，是可数的。不可数集性质：一个集合子集不可数，则它不可数A不可数，B可数，则 AAUB2. n维欧式空间极其简单的性质2.1定义向量与运算：（略）这部分详见线性代数或者解析几何书定义的向量及运算（加、减、模、内积）、距离等。一些常用的集合：开球：B（x,r）（以x为球心，r为半径的球内部）就是y ?l|d（x,y）r （d（x,y）是x、y的距离） 闭球：上面改为 d（x,y

8、）wr有界集：包含于一个开球的集合。2.2分析相关的概念点列的极限点：风在k趋于g时与定点x的距离趋向于0,则x为Xk极限点。聚点和导集：若对于xk，点xo为圆心的任何开球内都有无数个 xk中的点，则xo为xk聚 点。一个集合A的所有聚点构成的集合叫A的导集，记为A若xo 3且不是A的聚点则为A的孤立点，孤立点集记为 AA注：聚点未必属于集合，比如0,1所有有理数构成的集合聚点是 0,1中所有数，包括无理数。 但是定义孤立点属于集合。定理：若x0是点集A的聚点，则A中存在一个点列趋向x0。内点和边界点内点（记为A）:存在一个以它为球心有一个开球包含在A中边界点（记为？A）:以它为圆心有一个所有

9、开球不包含在A中，但都有A中的点（用几何图像很好理解）定理：AAA=?AA （用集合相等的定义证出）A=A U （?A AA）（用几何图像很好理解）闭包A的闭包定义为 A与A的并。称A在A的闭包中稠密。（闭包在几何图像上可以理解为一个 图形加上它的边界组成的封闭图形）有若干性质，略2.3 n维欧式空间中的集合闭集：闭包等于自己的集合。开集：闭集的补集。闭集性质：有限个闭集并还是闭集，任意个闭集交还是闭集。无限个闭集并可能是开集，比如？莒：，1专=(0,1)开集类似：有限个开集交还是开集，任意个开集并还是开集。為集和Gg集。F。集：可数个闭集的并。Gg集：可数个开集的交。性质：F。集的补集是Gs

10、集注意：一个集合有可能既是Gg集又是F。集！比如半开半闭区间。与矩体的关系矩体：若干个R上的区间直积。半开半闭矩体就是若干个前开后闭区间的直积。性质：开集一定是可列个互不相交的半开半闭矩体的并。康托集C。开始是0,1区间，然后挖掉中间的三分之一开区间得到0,1/3U2/3,1，再把每个区间挖掉中间1/3的开区间，如此往复，无数次的极限就是康托集。康托集对应三进制小数 0.XXXXX中只有0,2数字，没有1数字的小数。(这个结论可以从每 次区间的端点都保留在集合里来得到)性质：康托集是非空有界闭集。 势是?i。 是完全集C=C 没有内点。代数和博雷尔集 H弋数：设F是X的一些子集构成的集合，而且

11、 ？ F;若A F则XA F;若一列 集合A. F，则？Q An F。则称F是X的一个o代数。 博雷尔集：n维欧式空间的一切开集的最小。代数中的集合。2.4连续函数定义：设f是集合E上面的实值函数，若对任一点x0 E，任何? 0,均存在g使得x B(x0 g时|f-f( x)|t , xE(记为E(ft)是开集，则f在E上连续。大于号可换为大于等于、小于、小于等于。 若R任意开集在f的原像是开集，则f在E上连续。“开集”可换为“闭集”。2.5 n维欧式空间的完备性定理有柯西收敛准则、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理，类似于R的情况，不详细叙述。3. 勒贝格测度3.1勒贝格外侧度勒贝格测度的定

12、义开矩体的体积n 维欧式空间中的开矩体I=(X1,X2 Xn )|X1 (a1,b1),X2 (a2,b2)Xn (a n,bn)= (a1,b1)X (a2,b2)x-x (an,bn) (an,bn)都是 R 中的开区间)定义它的体积 |I| = | 引-b 1| X | a2 - b2| X-X |an- bn|勒贝格外侧度对于任意n维欧式空间的集合 E,总有可数个开矩体可以将其覆盖。定义E外侧度为可数个覆盖它的开矩体体积和的下确界，记为m?(E)。性质： 非负性：m?(E)A 0 平移不变性：m?(E)= m?(E+x), E+x为把集合E向右平移 子集的外侧度：若Ei包含于E2，则m

13、?(Ei)w m?(E2) 集合的并的外侧度：n维欧式空间中，m?(?k=1 Ek) 一些集合外侧度的例子： m?(?)=0 单个点构成的集合外侧度为 可数集的外侧度是 0 定义：外侧度为0的集合称为零测集。 平面(2为欧式空间)上的任意直线外侧度为 开矩体与它的闭包外侧度相等，都等于它的体积。 侧度)可测集勒贝格测度可测集：如果对于一个 n维欧式空间中的集合 m?(T)= m?(EAT)+ m?(EC AT),则称 E 为可测集。M(?)。理解：就是用任意一个集合 T去“检验”这个E, 侧度加起来还等于原来 T的外测度，那么E就是一X。=1 m (Ek)0 (即直线面积是 0)(而且还等于有

14、一部分边界的矩体的外E,任意n维欧式空间中的集合 T,都有 维欧式空间中的所有可测集的全体记为与E相交的部分外侧度和 E以外部分的外 个“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，这样的集合E叫做可测集。这个概念不要记错注1:不可测集一定是存在的，但是要举出不可测集的例子非常麻烦，要有很多铺垫，所以 略去。注2:条件可以减弱，只要把任意集合T换成任意开矩体I成立即可。证明略。可测集例子： 零测集可测，显然测度为0 开矩体可测勒贝格测度：当一个集合E是可测集的时候，它的外侧度定义为它的勒贝格测度，简称测度，记为m(E)。可测集族M(?)是n维欧式空间上的(代数 空集可测 若E可测，则EC可测 若

15、一列集合An可测，则？ An可测勒贝格测度的性质可列可加性：若一列可测集合 An两两不交，则 m(?n=i An)=石=i m(A n)上连续：若递增集合列 An都可测则m (limA n)=limm(An) nxn下连续：若递减集合列 An都可测，而且？3测度有限，则m (limA n)=lim m( An)nx nx注：A1无测度无限时候不一定成立，比如注：康托集可测，测度为 0。(证明很容易，因为康托集是一些区间的极限) 故测度为 0 的集合不一定可数，康托集不可数却测度为0。可测集的性质 若E是可测集，则任给？ 0存在一个开集 G包含E,且m(E/F) 0存在一个闭子集 F且m(E/F

16、) ?证明思路：分情况讨论(有界与无界)证明，有界时用定义的开矩体证明，无界时En = E nB(0, n)，开集Gn包含En且差集测度任意小，G=? n=i G。对于取补集再用证。 若E是可测集，则存在包含E且与E差集测度为0。这个集称为E的包。 若E是可测集，则存在F。包含于E且与E差集测度为0。这个F。集称为E的F 核。 证明较简单，用直接证。取 ？=1/n构造集合列。3.2 测度的公理化定义 概率测度空间设X是非空集，F是X上的。代数，若存在把 F子集映射为非负实数的函数耳满足： 解)=0 ； 若F中集合列An两两不交，就有 (? n=i An)=忘1卩(A 则称 內(X,F上的一个测

17、度，称(X,F，M为一个测度空间。 很容易验证勒贝格测度满足上述性质，故是一个特殊的测度。性质 单调性：若A包含于B则“)W KB) 次可加性：M?k：iEk)wli卩际) 上、下连续性(同勒贝格测度)概率若上述测度迅满足卩(F=1，则称为一个概率测度，简称概率，记为P。上述集合X记为Q,称为样本空间，实际表示随机试验结果构成的集合；Q内的元素为基本事件。概率满足测度的所有性质。在下面的讨论中不涉及一般测度空间的性质，只涉及勒贝格测度和少量概率的相关问题。4. 勒贝格可测函数4.1 广义实数将看成两个数加入实数系中，称为广义实数。定义土*的性质和运算 任意实数X, aXt)是可测集，则称f在E

18、 上可测。E可测函数全体记为 M(E)。还有一些等价定义,即把上述大于号改成大于等于、小于、小于等于都等价。注：概率论中的“随机变量”实际上就是样本空间上对于概率测度来说的可测函数。而上述 的可测函数是n维欧式空间中相对于勒贝格测度而言的。定理：可测集上定义的连续函数可测。 可测集上的指示函数x E可测。（x E即E上恒为1,其余为0的函数） R上的单调函数可测。 E若为零测集则E上任何函数可测。 a,b上定义的间断点集为零测集的函数可测。性质：f为E上可测函数，则 E（f=旳、E（ft等价于任意有理数 r, fr且gt-r;对于fg先证f2可(f+g) 2 -(f-g)2f/g只证1/g可测

19、。测，再用fg=来做;44.3可测函数列极限的可测性对于一列E上的可测函数fk, supfk、inffk均可测进而fk上下极限都可测。几乎处处成立的命题：指在集合E上，除去零测集E。以外，其他地方处处成立的命题（若E= ?则处处成立），记为a.e.E。注：一个函数几乎处处等于一个连续函数，未必几乎处处连续，反例是狄利克雷函数。由于有理数集可数所以有理数集测度为0,狄利克雷函数几乎处处等于0。但是狄利克雷函数不但不是几乎处处连续，而且是处处都不连续。可测函数列的三种收敛 fk在 E上几乎处处收敛到f，记为fk t f a.e.E。注：若探讨概率测度，则是随机变量序列Xk t X的问题，称为几乎必然收敛（不