曲线积分与曲面积分知识题目解析

1、第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green公式及其应用1 .利用Green公式，计算下列曲线积分:22(1) xy dy x ydx，其中L为正向圆周L解：由Green公式，得0xy2dyx2ydx2 2 2(x2 y2)dxdy 2 0D3r3dr 810 2其中D为(eyLy)dx(xey2y)dy，其中 L 为以 0(0,0), A(1,2)及 B(1,0)为顶点的三角形负向边界;解：由Green公式，得(ey y)dx (xey 2y)dyL(ey ey 1)dxdy dxdy 1。DD2 2 2 2*(3)x ydx xy dy，其中L为x y 6x的上半圆周从点LA(6,0)到

2、点O(0,0)及x2 y2 3x的上半圆周从点0(0,0)到点 B(3,0)连成的弧AOB ；解：连直线段AB，2 2x ydx xy dyL15 34cos4 d0*(4)l: x2使L与bA围成的区域为D，由Gree n公式，得(y2D154x2)dxdyBAx2ydxxy2dy02d6cos 3r dr 03cos65436.ydx xdy2 2L x y，其中L为正向圆周(y 1)24.Q 笃昱，(x,y) (0,0)。因为x (x2 y2)作足够小的圆周2 2y r ,取逆时针方向，记 L与I围成的闭区域为D，由 Green 公式，得A芈欝0,故幼X y2r2s in2oA ydx

3、xdyV x y代 ydx xdy2 2 r cos2 计算下列对坐标的曲线积分：ex(1 2cosy)dx 2exsinydy,其中 L为曲线 y sinx上由点LA( ,0)到点0(0,0)的一段弧；解：P ex(1 2cos y), Q 2exsiny，2ex sin y故积分与路径无关，取A( ,0)经x轴到点0(0,0)的一条路径,从而原式= ex(1 2cos y)dx 2exsin ydyexdx e 1 。*3 设函数f(u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L，有J(xy)(ydx xdy) 0.P证明：Qf(xy)xyf (xy)，记L围成的闭区域为 D,由Green

4、yx公式，得Lf (xy)( ydxxdy)0dxdy 0.D第四节对面积的曲面积分1 填空题：2 2(1)设为球面xy2z 1 ,贝U dS4: 面密度 (x, y,z) 3的光滑曲面的质量M 3 dS.2 计算下列对面积的曲面积分:(1)(2x y 2z)dS，其中为平面x yz 1在第一卦限的部分;解:Dxy (x,y)|x y 1,x0,y 0, z1 x y, dS . 3dxdy解:dS原式二(2 xDxyzdS,其中Dxy (x, y) |原式y 2(1 xy) 3dxdy3 0dxx(2 y)dy*(3)dS(1 x2，其中y)z 1, x 0, y0,z0围成四面1x2)dx

5、 三2 6为 z (x222 2x y 2x2 y2 dxdy体的整个边界.y2) (z1)的部分;解:(r, )|02,01：z其中y,Dxy ： X1,dS 3dxdy,D”2(x2必厂口幼Q2(r21) 1、.1 r2dr2r3 . 1 r2dr02：x3：y4：z0,Dyz： y0,Dzx： x0, Dxy : x1,dS1,dS1,dSdzdy,dxd z，dxdy o-3/2 _0 (1r2)、1 r2dr2 令虻 1)原式dS(1 x y)21234、3dxdydydz dxdzDxy(1 x y)2 Dyz(1 y)2 Dzx(1 x)2Dxydxdy(1 x y)2(31 1

6、1)0dx 0dy(1 x y)21* 1ydz0 (1 y)2 01 dx0 (1 x)21 xdz0C31)2)dx(.3 1)l n23,32第七节 Stokes公式*环流量与旋度1 利用斯托克斯公式计算下列曲线积分:23222逆时针方向;(1) x y dx dy zdz， 为 xOy 面内圆周 x y a解：取 为平面z 0的下侧被 围成的部分，D为 在xOy面上的投影区域。原式=由Stokes公式,dydzdzdxdxdy (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz，为平面 x y z 1在第一卦限部分三角形的边界，从x轴正向看去是逆时针方向;3x2y2dxdy3x

7、2 y2dxdya6D8z)dS(x y213y2 2 z x43 dS的单位法向量dSl 5sin x tan ydx x3dy1设L是以点(0,0) , (0,1) , (1,1)为顶点的三角形正向边界，则2Lxy dx 2xydy 0；曲线积分l F(x, y)(ydx xdy)与路径无关，则可微函数F (x, y)应满第十一章综合练习题1 填空题：2 2(1)已知L为椭圆X 1，其周长为a，则：(2xy 3x2 4y2)ds43L12a；已知L为直线x 1上从点(1,2)到点(1,3)的直线段，则足条件_xFx yFy；*(5)设为平面x(y2 z2)dydzy z 1在第一卦限的部分

8、，取上侧，则2 2 22(z x )dzdx 3(xy2)dxdy0 .2 .求下列曲线积分：2(1)x ds，其中为球面x2 y2 z22a被平面x y z0所截得的圆周；解：在的方程中，由于x, y, z循环对称，故x2dSy2dSz2dS,x2dS2 2 2 1(x y z)dS 3_2a2dS*(2)ydx2y，其中L是以(1,0)为圆心，2为半径的正向圆周;解:y2七，(x, y) (0,0)。y )(4x作足够小的椭圆l :4x2取顺时针方向，由格林公式,33I (a) o 1 a sin x (2x asin x)acosxdx所以 I (a)4(a2 1)在a 1取得最小值，从

9、而0所以得驻点a 1。又I (1)L 为 y sin x(0 x )。*4 .设曲线积分xy2dxL(1,1) 20,计算 xy dx y (x)dy.(0,0) JJ / Jy (x)dy与路径无关，其中且(0)解：-Py2xy， yx(x),由于积分2xyLdx4a -a3。3具有连续的导数，(x)dy与路径无关,xdy ydxJl IL 1 4x所以-PyQ，即 2xyxy (x)，从而(x)x2所以；浊守4xydx2 2yxdy ydxxdy ydxl1*3 在过点0(0,0)和A( ,0)的曲线族y asin x(a 0)中，求一条曲线3L ,使该曲线从 O到A积分l(1 y )dx

10、 (2x y)dy的值最小.(1)20,所以(x) x。(1,1) 2(0,0) xy dx y (x)dy计算下列曲面积分:x2dS，其中为圆柱面x21ydyy21介于z0与z 2之间的部解：在的方程中，由于x与y循环对称，故dSy dS，于是, 22L3: x 2y22 , L4 : 2xy22为四条逆时针方向的平面曲线,2 1 2 2 1x2dS 丄(x2 y2)dS 丄2 2dS 2记Ii(y(2x323)dy(i1,2,3,4)，则 maxl1,l2,l3,l4*(2)2xdydz (z 1) dxdy1X2其中为下半球面,1 x2 y2 的上侧;解：设平面0,( x, y)D (

11、x, y) | x21，取下侧。(A)I1(B)(C)(D)I4(2012 年)2.设(x, y,z)| xy z 1,x 0,y0,z0，则围成的下半球体为。由格林公式得:2xdydz (z 0 dxdy xdydz (z 1)2dxdy222X y z2xdydz (z 1) dxdy xdydz (z1)2dxdy(32z)dy dxdyD2 1 0d rdr , zdz001 r2近三年考研真题22(2013 年)1设 L1 : x y 1 ,y2 2,y2ds（2011年）3.设L是柱面方程x2轴正向往z轴负向看去为y2xzdx xdy dzu22y 1与平面z x逆时针方向，y的交

12、线，从z则曲线积分2 2（2011年）4.已知L是第一象限中从点（0, 0）沿圆周x y 2x到 点（2, 0），再沿圆周x2 y2 4到点（0, 2）的曲线段，计算曲线积分J3x2ydx （x3 x 2y）dy。L近三年考研真题解析（2013年）1.解析： 由格林公式:2卡)dxdy33工)dx (2x )dy (1 x263d；Di2D4，在 D4 内 1x2 y 0,因此 Ii I4 。22I2(1 x2 l)dxdy(1 x2D22D42)dxdy(1 x22D2 D42y)dxdy2而在在 D4外1 x2 L 0，因此丨2丨4。2可得I3 I4。（利用极坐标分别计算出 13和I 4 ）（2012年）2解析：由曲面积分的计算公式可知:y2dsy2 . 1 ( 1)2 ( 1)2 dxdy G y2dxdy，DD其中 D ( x, y) |x 0, y0,x y 1，故原式=.31dy 1yy2dx0 0、3；y2（1y)dy12（2011年）3解析：由斯托克斯公式得:yxzdx