高中数学正余弦定理教案模板（精选4篇）_高中数学余弦定理教案

1、高中数学正余弦定理教案模板（精选4篇）_高中数学余弦定理教案word文档可编辑高中数学正余弦定理教案模板（精选4篇）_高中数学余弦定理教案 中学数学正余弦定理教案模板（精选4篇）由我整理，希望给你工作、学习、生活带来便利，猜你可能喜爱“中学数学余弦定理教案”。 第1篇：中学数学余弦定理 中学数学余弦定理 教学设计说明 一、教案说明： 在进入21世纪的当前，教化正在由应试教化向素养教化转变，实施素养教化就要求每位老师加强素养教化课堂教学模式和教学策略的探讨，这是历史给予我们这一代教化工作者的重任，也是一种机遇和挑战。 余弦定理一课教学模式和策略设计就是想让素养教化如何落实在课堂教学的每一个环节上

2、进行一些探究和探讨。旨在通过学生自己的思维活动获得数学学问，提高学生基础性学力(基础实力)，培育学生发展性学力(培育终身学习实力)，诱发学生创建性学力(提高应用实力)，最终达到素养教化目的。为此，我在设计这节课时，采纳开放式课堂教学模式，以学生参加为主，老师启发、点拨的课堂教学策略。 开放式教学模式是充分建立在学生学习过程相识上的一种模式，其充分注意“人”的学习心理，通过设置开放性问题，问题的层次性推动和老师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学实力，达到上述三种学力的提高、培育和诱发。以学生参加为主，老师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教化观，在开放式探讨过程中，提高学生的数学基础

3、实力，发展学生的各种数学须要，使其获得终身受用的数学基础实力和创建才能。 依据上述的体会、想法，我在余弦定理第一节教学课的设计上进行一些探究，用图解说明如下： 二、教学目标： 1驾驭余弦定理及其多种推导过程。 2通过一题多解，培育学生思维的敏捷性，提高数学沟通实力。 3综合运用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题。 三、教学重点、难点： 重点是余弦定理的推导及其应用。难点是综合运用正弦定理和余弦定理解决有关解斜三角形的应用题。 教学过程 一、借助直观，激发爱好，提出问题。 问题一：判别给出的四个三角形模型的形态(不用测角工具) 。 学生在回答过程中发觉，有些三角形是很难凭自己阅历学问和直观感觉

4、就能做出推断。明显，我们可测出三角形的三边长，这个问题就可归纳到这样的问题：已知三角形三边长，求三个角(只需求最大角)大小问题。 二、学生思索，小组沟通，解决问题。 问题二：在abc中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。 学生不同的解法简录： 方法一(方程思想)：如图，bc=cd+bd 即a=：(b-ccosa)十(csina) 方法二(解析法)：如图建立直角坐标系，b(ccosa，csina) c(b，0)，由bc=a可得。 方法三(三角法)：如图，设cad=,bad= ad=x, cd=y，则c-(a-y)=b-y， 2ay：b+a-c，x+y=b cosa：cos(a十)：cosac

5、ossinasin 老师巡察，启发点拨学生参加一题多解解法探求，组成四人小组沟通发言，形成开放性求解探讨的趣味，结果发觉学生有三种不同的解法。有利于发展学生思维的广袤性，优化学生思维的品质，提高数学沟通实力。 三、让学生在实践中归纳整理得到余弦定理。 归纳得： 并把这些数学表达式叙述成数学语言。 让学生驾驭由特别到一般，类比、抽象和归纳等数学思想方法，并探求出一般结论余弦定理。 四、使学生相识到数学源于实践，服务实践。 问题三：如何用余弦定理判别abc形态(已知三边长a、b、c)。 解:不妨设a a2十b2，c2 abc为锐角三角形，a2十b2=c2abc为直角三角形，a2十b2abc为钝角三

6、角形。 解决起先提出的问题，使学生相识到，通过自己主动参加而能自行获得数学学问，并能学到摄取学问的数学思想方法，逐步形成发觉、探讨、解决问题的方法，诱发创建才能。 问题四：请你设计一种方法，在河的一侧测量出对岸某两点间距离(工具有尺和测角器)。 学生方案实录： 方案一：如图一，在a、b所在对岸取点c，使a、b、c三点共线，再测出acd=90，cd=a，cda=，cdb=，即可求ab=a(tgtg) 方案二：如图二，在a、b所在对岸取三点p、c、d，测出apc=bpd=90，pc=a，pd=b，apb=，acp=，pdb=，则ap=atg，bp=btg，再由余弦定理可求得ab长。 方案三：如图三

7、，在a、b所在对岸取c、d两点，测出bcd=，cdb=，cd=a，由正弦定理得再测出acd= ,adc=，由正弦定理得 在abd中, 再由余弦定理求得ab=ad2+bd2-2ad.bdcos(-) 以四人小组绽开探讨、沟通，老师巡察、启发、点拨，最终出现三种解决问题的方法。通过开放性应用数学问题的解决，让学生思维得到升华，并在问题解决中感悟到探究价值，发展创建性思维。 五、小结。 增加学生记忆，加深理解，发展思维，培育数学沟通实力。在老师启发、点拨下，让学生参加完成小结。1驾驭余弦定理表达式、各种变形表达式及语言叙述。2余弦定理适用范围，重视正、余弦定理的综合应用。 第2篇：中学数学教案 1.

8、1.2 余弦定理 课题:112余弦定理 授课类型：新授课 【教学目标】 1学问与技能:驾驭余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算驾驭运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3情态与价值：培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等学问间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重、难点】 重点：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发觉和证明过程中的作用。 【教学过程】 创设情景c如图1

9、1-4，在dabc中，设bc=a,ac=b,ab=c, 已知a,b和c，求边 (图11-4) 探究探讨 联系已经学过的学问和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发觉因a、b均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来探讨这个问题。a uurruurruurrrrrrr如图11-5，设cb=a，ca=b，ab=c，那么c=a-b，则bc rrrrrr=cc=a-ba-brrrrrr=abb-r2arbcar2a+r2=a+b-2abr2()() 从而c2=a2+b2-2abcosc(图11-5) 同理可证a2=b2+c2-2bccosa b2=a2+c2-2a

10、ccosb 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosa b2=a2+c2-2accosb 思索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： b2+c2-a 2cosa=a2+c2-b2 cosb=b2+a2-c2 cosc=理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的随意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之

11、间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若dabc中，c=900，则cosc=0，这时c2=a2+b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 【典例分析】 例1在dabc 中，已知a =cb=600，求b及a 解：b2=a2+c2-2accosb =2+2-2cos450 =12+2-1) =8 b= 求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： b2+c2-a21解法一： cosa=,a=600.asin450, 解法二： sina=sinb2.4+1.4= 3.8, 21.8=3.6, ac，即00a900

12、, a=600. 评述：解法二应留意确定a的取值范围。 【变式训练1】 在abc中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则a= 解： a-c=b+bc,b+c-a=-bc,cosa=-2222221,a=1200 2 例2在dabc中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形 （见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） 例3.例2.在abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x-2x+2=0的两根，2 2cos(a+b)=1。 （1） 求角c的度数； （2） 求ab的长； （3）求abc的面积。 解：(1) cosc=cosp-(a+b) 2=-cos(a

13、+b)=-1c=1200 2（2）因为a，b是方程x-23x+2=0的两根，所以a+b=2ab=2 ab2=b2+a2-2abcos1200 =( a+b)-ab=10ab=（3）sdabc=21 absinc=22 评析：在余弦定理的应用中，留意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必干脆求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。 【变式训练2】 在abc 中，a=1200,cb,a=svabc=b,c。 解：sdabc= 21bcsina=bc=4, 222a=b+c-2bccosa,+b 所以b=1,c= 4【课堂演练】 =c，而5cb 1边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角

14、的和是（） a90b120c135d1500000 52+82-721=,q=600,1800-600=1200为所求 解： 设中间角为q，则cosq=2582 答案：b 2.以 4、 5、6为边长的三角形肯定是（） a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形 d.锐角或钝角三角形 解：长为6的边所对角最大，设它为a， 则cosa= 0a0 2458518b.373c.d.48 2解：设顶角为c，因为l=5c,a=b=2c， a2+b2-c24c2+4c2-c27= 由余弦定理得：cosc=2ab22c2c8 答案：d 4.在dabc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若(a2+c2-b2

15、)tanb=3ac，则角b的值为（） a.p 6 2 2 2 b.pp5pc.或636 d.p2p或33 (a2+c2- b2)cosbcosb解：由(a+ c-b)tanb=3ac得即cosb= 2ac2sinb2sinb sinb= 答案：dp2p又b为abc的内角，所以b为或 3313，则最大角的余弦是（） 14 1111a-b-c-d-5867 1222解： c=a+b-2abcosc=9,c=3，b为最大角，cosb=- 75在abc中，若a=7,b=8,cosc= 答案：c 6.在dabc中，bcosa=acosb，则三角形为（） a.直角三角形b.锐角三角形 c.等腰三角形d.等

16、边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为 b2+c2-a2a2+c2-b2 =ab 2bc2ac 即2b2=2a2，a=b 答案：c 课堂小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 作业：第11页习题1.1a组第3（1），4（1）题。 第3篇：北师大版中学数学必修5余弦定理 北师大版中学数学必修 52.1.2余弦定理教学设计 一、教学目标 认知目标：引导学生发觉余弦定理，驾驭余弦定理的证明，会运用余弦定解三角形中的两类 基本问题。 实力目标：创设情境，构筑问题串，在引导学生发觉并探

17、究余弦定理过程中,培育学生视察、 类比、联想、迁移、归纳等实力；在证明定理过程中，体会向量的思想方法；在 解决实际问题过程中，逐步培育学生的创新意识和实践实力。 情感目标：通过自主探究、合作沟通，使学生体会到“发觉”和“创建”的乐趣，培育学生 学习数学爱好和酷爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点：探究和证明余弦定理；初步驾驭余弦定理的应用。 难点：探究余弦定理，利用向量法证明余弦定理。 三、学情分析和教法设计： 本节课的重点和难点是余弦定理的发觉和证明，教学中，我实行”情境问题”教学法,从情境中提出数学问题,以”问题”为主线组织教学,从特别到一般，引导学生在解决问题串的过程中，既归纳

18、出余弦定理，又完成了用几何法对余弦定理的证明，以分散难点；用向量证明余弦定理时，我首先引导学生利用向量证明勾股定，让学生体会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，然后激励学生证明余弦定理，最终通过二组例题加深学生对余弦定理的理解，体会余弦定理的实际应用。 四、教学过程 环节一 【创设情境】 1、复习引入 让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。 2、情景引入 浙江杭州淳安千岛湖 (图片来自于)，a、b、c三岛位置如图所示，依据图中所给的数据，你能求出a、b两岛之间的距离吗？ 启发学生主动思索，尝试转化为直角三角形,利用已学学问解决问题解决问题。 在三角形abc中，作adbc

19、，交bc延长线于d， 由acb=120o，则acd=60o ，在rtadc中， cad=30o，ac=6则cd=3,ad=3.在rtadb中,由勾股定理得: ab2=ad2+bd2，ab2=67.96ab8.24km 答：岛屿a与岛屿b的距离为8.24 km 探究2:若把上面这个问题变为： 在abc中，bc=a，ac=b，ab=c，已知a ，b，c（c为钝角）求 c.在探究1的解法基础上，把详细数字用字母替换，结合三角函数学问，不难得出 c2= a2+b22abcosc 探究3:若把上面这个问题变为： 在abc中，bc=a，ac=b，ab=c，已知a ，b，c（c为锐角）求 c. 如右图，当c

20、为锐角时，作adbc于d，bd把abc分成两个直角三角形： a 在rtabd中，ab2=ad2+bd2； 在rtadc中，ad=acsinc=bsinc，dc=accosc=bcosc 简单求得：c2=a2+b22abcosc 探究4: :若把上面这个问题变为： c b 在abc中，bc=a，ac=b，ab=c，已知a ，b，c（c为直角）求 c. 结合前面的探究，你有新的发觉吗？ 222此时，abc为直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以写成c2=a2+b22abcos900 环节三【总结规律，发觉新知】 探究1：总结规律。 结合前面的探究，我们简单发觉，在abc中，无论c是锐角、直角还

21、是钝角，都有 c2=a2+b22abcosc 同理可以得到a2=b2+c22bccosa b2=c2+a22accosb 这就是余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍。 探究2：余弦定理的证明： 余弦定理是三角学中一个重要的定理，上一环节中的探究2探究4是该定理的一种传统的方法几何证法，历史上有许多人对余弦定理的证明方法进行探讨，建议同学们登陆，在百度文库中查阅有关三角学的历史，了解余弦定理证明的一些经典方法，如爱因斯坦的证法、坐标法、用物理的方法以及张景中的绕来绕去的向量法和仁者无敌面积法等等。其中向量法是最简洁、最明白的方法之一。 问题:用

22、向量的方法能证明勾股定理吗? 222在abc中已知a=900，bc=a，ab=c,ca=b, 求证：a=b+c b uuurruuurruuurur证明：如右图，在abc中，设ac=b,ab=c,cb=a.uuuruuuruuurrrr由向量的减法运算法则可得，ab-ac=cb,即c-b=a uuruurrruura 222 等式两边平方得，c+b-2cb=a， uuurru2202222由向量的运算性质得c+b-2cbcos90=a即c+b=a 所以a2=b2+c 2问题:如何用向量的方法证明余弦定理？ 0把问题的证明中cos90换为cosa即可。 老师点评：利用向量来证明勾股定理,让学生体

23、会向量解题基本思路、感受到向量方法的便捷，激发学生爱好，在此基础上，可以很简洁的证明余弦定理，让学生切身体会到向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用。 探究3：余弦定理的分析 问题：在abc中，当c=90时，有c2=a2+b2若a，b边的长度不变，变换c的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思索。 首先，可借助于多媒体动画演示，让学生直观感受，a，b边的长度不变时，c越小， ab的长度越短，c越大， ab的长度越长 222其后，引导学生，由余弦定理分析： c=a+b2abcosc。 当c=90时，cosc=0，则有c2=a2+b2，这是勾股定理，它是余弦定理的特例。 当c为锐

24、角时，cosc0，则有c2 2当c为钝角时，cosc 问题余弦定理作用？ 从以上的公式中解出cosa,cosb,cosc,则可以得到余弦定理的另外一种形式： b2+c2-a2 cosa=2bca2+c2-b2cosb=2aca2+b2-c2cosc=2ab 即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边； 知三求一已知三角形的三条边，求角。 已知三角形的两边和其中一边的对角，可求另一边；（方程的思想） 环节四【刚好练习，巩固提高】 下面，请同学们依据余弦定理的这两种应用，来解决以下例题。 o例1在abc中，已知a=5,b=4,c=120,求c.在abc中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个内

25、角的大小及其 面积。 q 环节五【应用拓展，提高实力】 例2：如图所示，有两条直线ab和cd相交成800角，交点是o，甲、 乙两人同是从点o分别沿oa，oc方向动身，速度分别是4km/h、4.5km/h ， b o p 3小时后两个相距多远（结果精确到0.1km）? 分析：经过3时，甲到达点p，op=43=12（12km）乙到达点q， oq=4.53=13.5(km).问题转化为在opq，已知op=12km.，oq=13.5km,poq=800,求pq的长。 例3 下图是公元前约400 的图形（可登陆 查阅具体资料），试计算图中线 段bd的长度及dab的大小. 1b a 环节六 【课堂反思总结

26、】 通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法？你对此 有何体会？（先由学生回答总结，老师适时的补充完善） 1、余弦定理的发觉从直角三角形入手，分别探讨了锐角三角形和钝角的三角形状况，体现了由特别到一般的相识过程，运用了分类讨 论的数学思想； d c 2、用向量证明白余弦定理，体现了数学学问的应用以及数形结合数 学思想的应用； 3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。 环节七 【布置课后作业】 1、若三角形abc的三条边长分别为a=2，b=3，c=4， 则2bccosa+2ca

27、cosb+2abcosc=。 2、在abc中,若a7,b8,cosc=13,则最大内角的余弦值为 1 43、已知abc中，acosb=bcos a，请推断三角形的形态（用两种不同的方法）。 4、p52教材习题2-1第6,7题。 五、教学反思 1、余弦定理是解三角形的重要依据。本节内容支配两节课相宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简洁应用；其次节复习定理内容，加强定理的应用。 2、当已知两边及一边对角须要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应留意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在其次课时处理。 3、本节课的重点首

28、先是定理的发觉和证明，教学中，我实行”情境问题”教学模式,沿着”设置情境提出问题解决问题总结规律-应用规律”这条主线,从情境中提出数学问题,以”问题”为主线组织教学,形成以提出问题与解决问题携手并进的”情境问题”学习链,目的使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为学问的”发觉者”和”创建者”,使教学过程成为学生主动获得学问,发展实力,体验数学的过程.5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛。 6、在实际的教学中，发觉学生对于所学的学问（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类探讨、数形结合）也不能敏捷的应用，这在以后的教学中还应当加强。 第4篇：中学数学 余弦定理教案1 苏教版必修5

29、 第 3 课时：1.2余弦定理（1） 【三维目标】： 一、学问与技能 1.通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处学问间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算驾驭运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 三、情感、看法与价值观 1.培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算实力； 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等

30、学问间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：余弦定理的发觉和证明过程及其基本应用； 难点：向量方法证明余弦定理.【学法与教学用具】： 1.学法： 2.教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时支配】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理的内容？ 2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知 1余弦定理的向量证明： 方法1：如图，在dabc中，ab、bc、ca的长分别为c、a、bac=ab+bc， acac=(ab+bc)(ab+bc)=ab2+2abbc+bc 2b=ab2+2|ab|bc|cos(180

31、0-b)+bc2222=c2-2accosb+a2 即b=c+a-2accosb； 同理可证：a=b+c-2bccosa，c=a+b-2abcosc 222222 方法2：建立直角坐标系，则a(0,0),b(ccosa,csina),c(b,0)所以 a2=(ccosa-b)2+(csina)2=c2cos2a+c2sin2a-2bccosa+b2=b2+c2-2bccosa，同理可证 1b2=c2+a2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc 留意：此法的优点在于不必对a是锐角、直角、钝角进行分类探讨 于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与

32、它们夹角的余弦的积的两倍，即 b2+c2-a 2a=b+c-2bccosacosa= 2bc222 c2+a2-b2 b=c+a-2accosbcosb= 2ca222 a2+b2-c2 c=a+b-2abcosccosc= 2ab222 思索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 用符号语言表示：a2=b2+c2-2bccosa，等； 2.理解定理 留意：（1）熟识定理的结构，留意“平方”“夹角”“余弦”等 （2）余弦定理的应用：已知三边，求三个角；已

33、知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2 （4）变形：cosa=cosb=cosc= 2bc2ac2ac 思索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若dabc中，c=900，则cosc=0，这时c2=a2+b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材p在dabc中，（1）已知b=3,c=1,a=600，求a；（2）已知a=4,b=5,c=6，14例1） 求a 7，8的三角形中，求最大角与最小角的和 例2 边长为5， 例3 在dabc中，最大角a为最小角c的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值 例4 在dabc中，a