chapt幂级数解法本征值问题学时实用PPT学习教案

1、会计学1chapt幂级数解法本征值问题学时实用幂级数解法本征值问题学时实用2021-9-1第1页/共47页2021-9-1)(zp)(zq0z和在选定的点的邻域 中是解析的，则点0z方程（9.1.1）的常点. 如果选定的点 0z)(zp)(zq是或的奇点，则点 0z叫作方程（9.1.1）的奇点 叫作第2页/共47页2021-9-1)(zp)(zq0zRzz0和为点的邻域中的解析函数， 则方程在这圆中存在唯一的解析解 ( ) zw满足00()zCw01()zCw01CC，初始条件，其中是任意给定的复常数，第3页/共47页2021-9-10zRzz0既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解

2、析解， 00( )()kkkzazzw（9.1.2）其中012,ka a aa为待定系数 第4页/共47页2021-9-1分别为零，找出系数012,ka a aa之间的递推关系， 0C1C最后用已给的初值，来确定各个系数 ), 2 , 1 , 0(kak从而求得确定的级数解 下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤 l第5页/共47页2021-9-1由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在 00 x邻域上求解l阶勒让德方程 0) 1(2)1 (2 yllyxyx第6页/共47页2021-9-101) 1(1222 yxllyxxy212)(xxxp21) 1()(xllxq在 00 x，

3、单值函数 0)(0 xp) 1()(0llxq，均为有限值，它们必然在00 x解析 第7页/共47页2021-9-100 x是方程的常点根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式：0)(kkkxaxy（9.1.3） 泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系2()(1), 0,1,2,(1)(2)kklk lkaakkk （9.1.4）第8页/共47页2021-9-110,aa, 3 , 2,kak偶次项的系数:20(2)(22)(1)(3)(21)( 1)(2 )!mml llmlllmaam 奇次项的系数 211(1)(3)(21)(2)(4)(2 )( 1)(21)!mmll

4、lmlllmaam 第9页/共47页2021-9-1240351(1)(2)(1)(3)( )12!4!(1)(2)(1)(3)(2)(4) 3!5! = ( )( )lll ll llly xaxxlllllla xxxp xq x其中( )lp x( )lq x分别是偶次项和奇次项组成的级数第10页/共47页2021-9-1l不是整数时 ( )lp x( )lq x无穷级数，容易求得其收敛半径均为1 1x时， ( )lp x( )lq x发散于无穷 ln是非负整数 042nnaa递推公式（9.1.4） n是偶数时， ( )lp x是一个n次多项式，但函数 ( )lq x1x为在 处发散至无

5、穷的无穷级数 是奇数时， ( )lq xn( )lp x1x是次多项式，而仍然是在处无界的无穷级数 ( )lp x( )lq x一个是多项式，另一个是无界的无穷级数 第11页/共47页2021-9-1l是非负整数n（因在实际问题中一般总要求有界解） 把系数递推公式（9.1.4）改写成 2(1)(2) (2)()(1)kkkkaaknnk nk (9.1.8)于是可由多项式的最高次项系数na来表示其它各低阶项系数第12页/共47页2021-9-1nnannna)12(2)1(2nnnannnnnnannna) 32)(12 ( 42) 3)(2)(1() 32 ( 4) 3)(2(242(2 )

6、!, 1,2,3,2 ( !)nnnann (9.1.9)第13页/共47页2021-9-1这样取主要是为了使所得多项式在 1x处取值为1，即实现归一化. 可得系数的一般式为2(22 )!( 1), (2)2!()!(2 )!knknnkaknk nknk (9.1.10)因此，我们得出结论：第14页/共47页2021-9-12ln是非负偶数时，勒让德方程有解 22(2 )!(22)!( )2 ( !)2 (1)!(2)!lllllllp xxxlll220(22 )!( 1)2!()!(2 )!lklklklkxklklk （9.1.11）21ln是正奇数时，勒让德方程有解第15页/共47页

7、2021-9-1(1) 220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkp xxklklk (9.1.12)对上述讨论进行综合，若用 2l表示不大于 2l的整数部分，用大写字母P写成统一形式解 220(22 )!P( )( 1)2!()!(2 )!lklkllklkxxklklk（9.1.13）第16页/共47页2021-9-1ln是非负整数时，勒让德方程的基本解组 )(xpn)(xqn中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式 P ( )nx，也称为第一类勒让德函数； 另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数， 记为大写的 Q ( )nx可以得出它们的关系22d

8、Q ( )P ( )(1-) ( )lllxxxxP x（9.1.14）第17页/共47页2021-9-1经过计算后， Q ( )lx可以通过对数函数及勒让德多项式 P ( )lx表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为 221011243Q ( )P( )lnP( )21(21)(1)llllkkxlkxxxxklk (9.1.15)特别地2012111113Q ( )ln; Q ( )ln1; Q ( )(31)ln2121412xxxxxxxxxxxx第18页/共47页2021-9-1可以证明这样定义的 Q ( )lx，其递推公式和 P ( )lx的递推公式具有相同的形式而且在一般情况

9、下勒让德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx的通解为两个独立解的线性叠加12( )P ( )Q ( )lly xcxcx第19页/共47页2021-9-1但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）Q ( )lx的形式容易看出，它在端点 1x处是无界的，故必须取常数 20c 从而勒让德方程的解就只有 第一类勒让德函数即勒让德多项式： P ( )lx第20页/共47页2021-9-1综合可得如下结论：（1）当 l不是整数时，勒让德方程在区间1 , 1上无有界的解 （2）当 ln为整数时，勒让德方程的通解为 12( )P ( )Q ( )nny xcxcx，其中 P ( )nx称为第一

10、类勒让德函数（即勒让德多项式）， Q ( )nx称为第二类勒让德函数. 第21页/共47页2021-9-1ln为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在 有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一 类勒让德函数即勒让德多项式P ( )nx因为第二类勒让德函数 Q ( )nx在闭区间 1 , 1上是无界的第22页/共47页2021-9-19.1.3 奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法按惯例，仍以 x表示自变量，以 y表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为22222dd()0ddyyxxxyxx (9.1.18)第23页/

11、共47页2021-9-1其中， 为任意复数， 但在本节中 由于方程的系数中出现 只限于取实数。2 项，不妨暂先假定 0221( ), ( ) 1p xq xxx 故 0 x为 ( ), ( )p x q x的奇点。 下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解第24页/共47页2021-9-1设方程（9.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式： )(2210kkcxaxaxaaxy0kkckxa00a (9.1.19）其中，常数 c和 ), 2 , 1 , 0(kak可以通过把 y和它的导数 yy ,代入（9.1.18）来确定 第25页/共47页2021-9-1将（9.1.19）及其导数代入

12、（9.1.18）后，得 22010c kkkckckckxa x化简后写成2222212012210ccc kkkkca xca xckaax要使上式恒成立，必须使得各个 x次幂的系数为零， 从而得下列各式： 第26页/共47页2021-9-1220()0a c (9.1.20)22110ac (9.1.21)2220,(2,3,)kkckaak(9.1.22)由（9.1.20） 得 c ；代入（9.1.21），得 01a现暂取 c，代入（9.1.22）得 第27页/共47页2021-9-12(2)kkaakk (9.1.23)因为 01a，由（9.1.23）知： 07531aaaa,642a

13、aa都可以用 0a表示，即第28页/共47页2021-9-1020406022(22)2 4(22)(24)2 4 6(22)(24)(26)( 1)2 4 62 (22)(24)(22 )mmaaaaaaaamm 02( 1)2!(1)(2)()mmamm第29页/共47页2021-9-1由此知（9.1.19）的一般项为202( 1)2!(1)(2)()mmma xmm0a是一个任意常数，令 0a取一个确定的值，就得（9.1.18） 的一个特解我们把 0a取作 012(1)a这样选取 0a与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关。 第30页/共47页2021-9-1 运用下列恒等式 ()(1)(

14、2)(1) (1)(1)mmm使分母简化，从而，使（9.1.19）中一般项的系数变成221( 1)2! (1)mmmamm （9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1.19）得到贝塞尔方程（9.1.18）的一个特解2120( 1) (0)2! (1)mmmmxymm第31页/共47页2021-9-1用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定 这个级数在整个数轴上收敛这个无穷级数 所确定的函数，称为 阶第一类贝塞尔函数，记作220J ( )( 1) (0)2! (1)mmmmxxmm (9.1.25）第32页/共47页2021-9-1至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 ( )Jx另外，

15、当 c 即取负值时，用同样方法可得贝塞尔方程（9.1.18）的另一特解220J ( )( 1),2! (1)mmmmxxmm （9.1.26）比较（9.1.25）与（9.1.26）可见，只需在（9.1.25）的右端把 换成 ，即可得到（9.1.26）故不论 是正 数还是负数，总可以用（9.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数第33页/共47页2021-9-1讨论：(1)当 不为整数时，例如 J ( )x为分数阶贝塞尔函数： 1122J ( ),J ( ),xx等,当 0 x时， 1J ( )( )0(1) 21J( )( )(1) 2xxxx 第34页/共47页2021-9-1故这两个特解 J

16、 ( )x与 J( )x是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（9.1.18）的通解为J ( )J( )yAxBx （9.1.28）其中， BA,为两个任意常数 根据系数关系，且由达朗贝尔比值法222lim0mmmaa故级数 J ( )x和 J( )x的收敛范围为 x0第35页/共47页2021-9-1(2)当 n为正整数或零时（注:以下推导凡用 n即表整数）， )!() 1(mnmn故有220J ( )( 1) (0,1,2,)2!()!nmmnnmmxxnm nm（9.1.27）称 J ( )nx为整数阶贝塞尔函数易得 24602235111J ( )1 ( )( )( )2

17、(2!)2(3!)211J ( )( )( )22! 22!3! 2xxxxxxxx 第36页/共47页2021-9-1需注意在取整数的情况下， J ( )nx和 J( )nx线性相关，这是因为: 20( )2J( )( )( 1)2! (1)mnmnmxxxmmn2220( )( )22( )( 1)( 1) ( )( 1)2()! !2!()!lnlnn lnnlllnxxxxnl ll nl 可见正、负 n阶贝塞尔函数只相差一个常数因子 n) 1(这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解 第37页/共47页2021-9-1我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为 cos

18、( )J ( )J ( )N ( )sin( )xxx是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与 J ( )nx线性无关 2100200( 1) ( )2212N ( )J ( )(ln)2( !)1mmmmkxxxxmk第38页/共47页2021-9-112021100021(1)!N ( )J ( )(ln)( )2!2( 1) ( )1112 ()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxxxmxm nmkk 其中， 0.5772为欧拉常数可以证明是贝塞尔方程的特解， 且与 J ( )nx线性无关的.第39页/共47页2021-9-1综述：（1）当 n，即不取整数时，其贝塞尔方程的通

19、解可表示为J ( )J( )yAxBx（2）不论 是否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为J ( )N ( )yAxBx其中 BA,为任意常数， 为任意实数 第40页/共47页2021-9-1 从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题. 第41页/共47页2021-9-1常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F. Sturm)刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆刘维尔本征值问题1521施图姆刘维尔本征值问题定义 9.2.1