Matlab控制模型及仿真技术2

1、第2章 控制系统的数学模型本章主要教学内容本章主要教学内容 本章主要介绍控制系统数学模型的相关知识，通过本章主要介绍控制系统数学模型的相关知识，通过本章的学习，读者应掌握以下内容：本章的学习，读者应掌握以下内容：系统微分方程建立的一般方法系统微分方程建立的一般方法传递函数的定义、性质和意义传递函数的定义、性质和意义控制系统的开、闭环传递函数及典型环节传递函数控制系统的开、闭环传递函数及典型环节传递函数动态结构图及其等效变换动态结构图及其等效变换状态空间描述与状态方程状态空间描述与状态方程各种数学模型之间的相互转换各种数学模型之间的相互转换2.1 2.1 微分方程微分方程控制系统的数学模型通常是

2、指动态数学模型。最基本、最重要的数学模型是微分方程微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律。 建立系统的数学模型，一般是根据系统的实际结构、参数及计算精度的要求，抓住主要因素，略去一些次要的因素，使系统的数学模型既能准确地反映系统的动态本质，又能简化分析计算的工作。 建立数学模型比较常见的方法是解析法和实验法。 解析法是根据系统及元部件中各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出系统各变量之间数学表达式，然后建立起系统的数学模型；实验法是采用某些检测仪器，在现场对控制系统加入特定信号，对输出响应进行测量和分析，得到实验数据，从而建立系统的数学模型。2.1.1 2.1.1 微分方程的建立微分方程

3、的建立1. 1. 微分方程建立的一般步骤微分方程建立的一般步骤采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是：（1）确定系统或元部件的输入、输出变量。（2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。（3）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系式。（4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。（5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。CRLUrUci例2.1 RLC串联电路，建立该

4、系统的微分方程。 解：在RLC串联电路中，输入电压Ur为系统的输入量，输出电压c为系统的输出量。根据克希霍夫定律，可以得到回路的电压方程如下：UrUcRidtdiL 电容两端的电压为：dtiCUc1中间变量为： dtdUcCi 带入原始方程中，消去中间变量，并移项整理得： UrUcdtdUcRCdtUcdLC22该式即为RLC串联电路的微分方程。 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出用于描述系统运动规律和特点的微分方程的一般表达式。 设系统的外部输入量为 ，系统的输出量为 ，采用微分方程的形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：ucdtducdtu

5、dcdtudcyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn1111011110)(tu)(ty2.1.2 线性微分方程的求解线性微分方程的求解 利用拉普拉斯（Laplace）变换可在给定外作用信号和初始条件下，求解控制系统的微分方程，得到其输出响应。拉普拉斯（Laplace）变换与反变换的定义 Laplace变换定义为下面的线性变换：dtetfsFtfLst0)()()(拉普拉斯（Laplace）反变换由下式确定： 在实际应用中，通常通过查表来计算Laplace变换和Laplace反变换。dsesFjtfsFLjjst)(21)()(1采用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤采用拉普拉

6、斯变换求解微分方程的步骤（1）将系统的微分方程进行拉普拉斯变换，得到以S为变量的代数方程，也称为变换方程。（2）求解变换方程，得到系统输出变量的象函数表达式。（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉普拉斯反变换，即可得到系统微分方程的解。2.1.3 非线性数学模型的线性化处理 1. 线性化的基本概念线性化的基本概念 所谓非线性数学模型的线性化就是对一个非线性系统的数学模型找出其稳定的平衡点，如果在工作过程中，代表系统属性的各物理量只在该平衡点附近产生微小的变化，非线性系统模型就能够以此平衡点为基础，表示成一个线性模型，关于线性系统的控制理论都能适用于该模型。这便是自动控

7、制理论里关于小偏差线性化方法或称增量线性化方法的概念。2. 2. 非线性数学模型的线性化的基本方法非线性数学模型的线性化的基本方法 对于非线性系统，当系统变量偏离工作点的偏差值很小时，由级数理论可知，若变量在给定的工作区间内其各阶导数存在，便可在给定工作点的邻域内将非线性特性展开为泰勒级数，当偏差的范围很小时，可以忽略级数中偏差的高次项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。3. 求线性化微分方程的步骤求线性化微分方程的步骤（1）按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。（2）找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的

8、，则可进行线性化处理。（3）将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。（4）消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值加偏差量来表示。 2.2 传递函数 2.2.1. 传递函数的概念传递函数的概念1. 传递函数的定义传递函数的定义 对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。表示为：)()()(sRsCsG2. 传递函数的求取传递函数的求取 按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。例LRC电路的传函：11)() 1(22RCsLCUrUcsGRCs

9、LCsUUsrc3. 传递函数的性质传递函数的性质 根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质：（1）传递函数是描述线性系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。（2）传递函数完全由系统的结构、参数确定，而与输入信号的形式无关，它反映了系统本身的动态特点。对于同一系统，当选取不同的输入量和输出量时其传递函数是不同的。 （3）传递函数只能直接反映系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规律，需要作其它方面的处理。（4）同一个系统，对于不同作用点的输入信号

10、和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。在分析系统性能时，常将传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。（5）实际系统中，传递函数的分母多项式阶次n总是大于分子多项式阶次m，这是因为控制系统总是存在“惯性”，且外部提供的能量是有限的。 （6）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数表示。 My(位移)Fv(阻尼器阻力)f(阻尼系数)Fk(弹簧力)KF(外力)(弹性系数)图 机械位移系统 传递函数的求取 已知系统的微分方程，将等号两端的各项进行相应的拉普拉斯变换

11、，根据传递函数的定义，即可得到该系统的传递函数描述。【例】如上图中由弹簧质量阻尼器构成机械位移系统，求取该系统的传递函数描述。解：根据分析，已知该系统的微分方程为：FKydtdyfdtydm22（1）根据拉普拉斯变换的性质，对上式两端各项分别取拉氏变换如下： ；利用拉氏变换微分性质推论 ；利用拉氏变换微分性质 ；利用拉氏变换线性性质 ；利用拉氏变换线性性质)0()0()0()(222yySSysYSmdtydmL)0()(ysSYfdtdyfL )(skYkyL )(sFFL（2）令系统的初始条件为零，将微分方程所对应的各项拉氏变换带入原始方程，并合并同类项可得：)()()()()()()(2

12、2sFsYkfsmSsFskYsfSYsYmS（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：kfSmSsFsYsG21)()()( 2.2.2 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 通常，控制系统是由若干元部件有机组合而成的，从结构和作用原理来看，可以有各种各样的不同元部件，但是从动态性能和数学模型来看，可以分为几个基本的典型环节。不管元部件是机械式、电气式、液压式等，只要其数学模型一样，它们就可以归纳为同一个环节，这样给分析、研究系统性能带来很多方便。 常用的典型环节主要有比例环节、惯性环节、一阶微分环节、积分环节、振荡环节、延迟

13、环节等6种形式。1. 比例环节比例环节 比例环节也称为放大环节，其特点是环节的输出量与输入量成正比。传递函数为： 其中k为放大系数。ksRsCsG)()()()()(txkty2. 2. 惯性环节惯性环节 传递函数为： k为传递系数；T为惯性时间常数 3. 3. 一阶微分环节一阶微分环节 传递函数为： 为微分时间常数 理想的微分环节(纯微分)传递函数为： G skTs( ) 11)(ssGssG)()()()(txtydttdyT)()()(txdttdxtydttdxty)()(4. 积分环节积分环节传递函数为： 式中， 称为积分时间常数。 TssksRsCsG1)()()(kT15. 振荡

14、环节振荡环节传递函数为： 其中T为时间常数， 为阻尼系数，也称为阻尼比， 称为无阻尼自然振荡频率。22222212)()()(nnnssTssTksRsCsGTn1dttkxty)()()()(0tdttdRCuui 6. 延迟环节延迟环节 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，当输入量作用后，在给定一段时间之前，延迟环节的输出量一直未变化，只有到达延迟时间以后，环节的输出量才无偏差的复现原信号。 延迟环节的传递函数为： SesRsCsG)()()()()(txty 比例环节： 环节的输出量与输入量成正比。例如，无弹性变形的杠杆，不计非线性和惯性的电子放大器，测速发电机的电压与转速的关系等都可

15、以看作是放大环节。 惯性环节： 惯性环节也称为一阶系统，动态响应时其输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上的延迟，时间常数T越大，惯性越大，延迟时间就越长。例如，RC串联电路，直流电机的激磁电路等都是惯性环节。 一阶微分环节： 在系统的过渡过程中，一阶微分环节的输出量是输入量的微商。可以采用RC串联电路来形成微分网络。积分环节： 从传递函数中可以看出，积分环节有一个极点在S平面的原点，一般用来改善系统的稳态性能。振荡环节： 从传递函数中可以看出，振荡环节具有一对共轭复数极点，这是一个典型的二阶系统。延迟环节： 延迟环节的特点是具有时间上的延迟效应，对系统的稳定性是不利的。 在实际应用中，可

16、控硅整流器可以视为一个延迟环节，整流电压与控制角之间存在失控时间。通过上述分析，我们要明确以下几点：（1）系统的典型环节是按照数学模型的共性来建立的，它与系统中使用的元部件不是一一对应的，一个系统可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组合而成。（2）按照数学模型对元部件和系统进行分类，产生出若干典型环节，将有助于系统动态特性的研究和分析。（3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常系统来描述的场合。 2.2.3 自动控制系统的传递函数 如下图所示的闭环控制系统，采用叠加原理可分别求出在输入信号和扰动信号作用下的系统各类传递函数。 其中各类信号和装置分别定义为：输入信号：R（S） 输出信号：C（

17、S） 主反馈信号： B（S） 偏差信号：E（S） 干扰信号： N（S） 控制器： G1（S）被控对象：G2（S） 反馈环节： H（S）G1(S)G2(S)H(s)C(s)E(s)R(s)B(s)N(s)+ +- -+ + +输入信号主反馈信号干扰信号被控对象输出信号偏差信号控制器反馈环节1. 系统开环传递函数 闭环系统在开环状态下的传递函数称为系统的开环传递函数，这是指当系统主反馈通路断开以后，反馈信号与输入信号之间的传递函数。表示为： 从上式可以看出，系统开环传递函数等于前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数之乘积。)()()()()()(21sHsGsGsRsBsG)()()(1)()()

18、()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs 输入信号作用下的系统闭环传递函数 令干扰信号为0，系统输出信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统闭环传递函数。 表示为： 3.干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，系统输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 )()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn表示为： 4. 闭环系统的误差传递函数 输入信号作用下的误差传递函数：令干扰信号为零，误差信号与输入信号之间的传递函数即为输入信号作用下的系统误差传递函数。表示为： )()()(11)()()(21sHsGsGsRsEs

19、e干扰信号作用下的误差传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数即为干扰信号作用下的系统误差传递函数。 可表示为： )()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsne5. 系统总输出 根据叠加原理，系统的总输出是在输入信号和干扰信号的共同作用下产生的，即系统的总输出为：)()()()(1)()()()()(1)()()(2122121sNsHsGsGsGsRsHsGsGsGsGsC2.3 动态结构图及其等效变换 将复杂控制系统的内部结构采用一种特定的方框图形式来表达，设定方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这

20、时方框图就变成了系统动态结构图，这是描述控制系统的又一种常见数学模型，其特点是由具有一定函数关系的环节组成，并标明了信号的传递方向，直观，形象，易于系统的性能分析和中间变量的讨论。2.3.1 结构图的组成及绘制 1. 结构图的组成符号、名称及功能结构图的组成符号、名称及功能系统动态结构图的组成符号主要有以下4种：（1）信号线：表示系统中信号的流通方向，并标明信号对应的变量。（2）引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小、性质完全相同。（3）比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。（4）方框：表示输入、输出信号之间的动态传递关系。 xG信号线引出点比较点方框+-系统动

21、态结构图的组成符号 结构图的绘制步骤结构图的绘制步骤（1）列出系统中各元部件的微分方程，确定输入、输出变量。（2）以典型环节或典型环节的组合来取代系统中的具体元部件，将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。（3）按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来，即构成系统的结构图。方框图中给出了信息传递的方向，又标出了输入、输出的定量关系。2.3.2 结构图的等效变换 控制系统通常是由不同的典型环节按照各自相互关系有机地连接起来，这种连接可以分为以下3种形式：1. 1. 串联连接串联连接环节串联连接的特点是：前一环节的输出量是后一环节的输入量。一般情况下，当n个环节串联时，忽略负载效应后

22、，其等效传递函数为： 可见，串联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的乘积。 )()(1sGsGjnj 并联连接并联连接其特点是：各环节的输入信号相同，输出在相加点进行叠加。一般情况下，当n个环节并联时，其等效传递函数为： 可见，并联等效环节的传递函数等于各环节传递函数的代数和。)()(1sGsGjnj3. 反馈连接反馈连接反馈连接的特点是：环节的输出信号反馈到输入端与输入信号进行比较。则负反馈连接的系统闭环传递函数为： 若 称为单位负反馈系统。 H(S)G(S)R(S)C(S)B(S)E(S)+-)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs1)(sH2.4 2.4 状态空间描述状态空间描

23、述 由于微分方程和传递函数是在初始条件为零时描述系统性能的数学模型，只能反映出系统输出和输入之间的对应关系。而在系统性能分析与仿真时，常常要考虑到系统内部各变量的状态和初始条件，为此，我们引入控制系统的另一种数学模型，即状态空间描述。2.4.1 状态变量 给定某个控制系统，设系统的输入量为U，输出量为Y，则描述系统动态过程的微分方程可以表示为：uyadtdyadtydadtydnnnnnn1111我们引入n个状态变量： nnxxxxx,1321这n个状态变量的一阶导数与状态变量和上式微分方程中的各导数项对应关系为： udtydadtydadtdyayadtydxxdtydxxdtydxxdtd

24、yxxyxnnnnnnnnnnnnn111222111112232211将上述n个一阶微分方程用矩阵形式表示为： 称为系统的状态方程。 nnaxxx0021101na210na100anxxx21100 u + nxxxy210, 0 , 1 称为系统的输出方程。 2.4.2状态空间表达式： 根据分析，对于某一特定系统（可以是线性或非线性的、定常或时变的），当引入n个状态变量(系统的内部变量)，将其化为n个一阶微分方程组的形式，再对其采用矩阵描述，可以得到如下表达式： . X=AX+BU ,状态方程，描述状态变量与输入量间的一阶微分方程状态方程，描述状态变量与输入量间的一阶微分方程 Y=CX

25、,输出方程，输出量与状态变量间的函数关系式输出方程，输出量与状态变量间的函数关系式 其中：其中： A状态变量系数矩阵状态变量系数矩阵,系统矩阵系统矩阵 B输入变量系数矩阵，控制矩阵输入变量系数矩阵，控制矩阵 C输出变量系数矩阵，输出矩阵输出变量系数矩阵，输出矩阵 UrUcRidtdiL dtdUcCi 例，对于RLC电路通常取储能元件上的参数为状态变量： X1= Uc, X2= i 代入上式就可得： UrLLRLCUrLLRLCxxxxxxxxx10110111212121221通常输出信号记为 y,有 y= Uc= X1,写成向量矩阵形式：xxy21012.5 2.5 数学模型的相互转换数学

26、模型的相互转换 在实际工程中，由于要解决自动控制问题所需要的数学模型与该问题所给定的已知数学模型往往是不一致的，也可能是要解决问题最简单而又最方便的方法所用到的数学模型与该问题所给定的已知数学模型不同，此时，就需要对控制系统的数学模型进行转换。 另外，在不同的应用场合，由于实际系统所给定的数学模型形式各异，在仿真时要进行模型的转换，即将给定模型转换为仿真程序能够处理的模型形式。 通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式，当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。所以，讨论系统数学模型之间的转换具有实际的指导意义。 【例】 已知某

27、控制系统的微分方程为： 将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。udtduydtdydtyd10265 . 222解：（1）将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零，有以下传递函数表示：)()102()()65 . 2()(10)(2)(6)(5 . 2)(22sUSsYSSsUsSUsYsSYsYS根据传递函数定义有： 65 . 2102)()()(2SSSsUsYsG（2）由于是二阶导数，可以引入两个状态变量，将给定的二阶微分方程写成一阶微分方程组形式：21212212105 .26xxyuxxxxx（3）按照状态空间描述，将各变量和系数用矩阵表达为：6021xx5

28、 . 2021xx+ 10 u 212,10 xxy【例】 已知某控制系统的传递函数为：将系统模型转换为状态空间描述和一阶微分方程组描述。34285)()()(232SSSSSsUsYsG解：（1）这是一个三阶系统，我们将给定的系统传递函数按照状态空间描述中的系数矩阵A、B、C的对应关系，可得各系数矩阵如下：243100010A100B 15, 8，C组合为状态空间描述有： uxxxxxx100243100010321321321 1 ,5, 8xxxy（2）将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示： 3213213322158243xxxyuxxxxxxxx本章小结本章小结 本章介

29、绍了几种控制系统中常用的数学模型形式，其中，系统的微分方程是最基本、最常用的；通过拉氏变换得到的传递函数也是表达系统性能的常见数学模型；若系统内部的结构较复杂，又要表示出各变量之间的信号传递关系，就可以采用动态结构图来描述；此外，为了反映出系统中变量的初始状态，还可以用状态变量来描述系统的数学模型。要明确各类数学模型的定义、特点、表示方法，掌握数学模型的建立过程，为后面的实际应用打下良好的基础。 微分方程是控制系统最基本、最重要的数学模型，它反映了系统或元部件的动态运行规律。建立微分方程时，要根据系统中各个元部件的物理规律，列写出各个元件的微分方程，得到微分方程组，然后消去中间变量，化简整理后

30、得到系统总的输入/输出微分方程。还可以通过拉普拉斯变换和反变换来求解控制系统在给定外作用信号和初始条件下的微分方程，得到其输出响应。 传递函数采用拉普拉斯变换对线性定常系统进行处理，可表达出不同结构系统所具备的许多共性内容，还可研究结构和参数变化对系统性能影响。控制系统的典型环节常见的有比例、惯性、一阶微分、积分、振荡、延迟环节等。 动态结构图可表示出系统内部各变量之间的信号传递关系，通过等效变换来化简较复杂系统结构，直观、形象，易于系统的性能分析和中间变量的讨论。 采用状态空间描述可反映出系统变量的初始状态，通过矩阵运算处理，为使用计算机带来了方便。 实际应用中，可根据系统的特点和表达方式合

31、理地选择数学模型的类别，也可经过模型转换得到一个最适合的系统模型描述，进行控制系统的分析和讨论。 线性定常连续系统的状态空间表达式三种方法：微分方程，传递函数，结构图求1. 由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项状态空间表达式：uyayayayaynnnnn001) 2(2) 1(1)(cuybuAxx.nnxxxxx1211210100001000010naaaaA0000b001c例1 设 求（A，B，C，D） 解：选 .y.y58.y6uy3yx 1.yx 2.yx 3 则：21xx .32xx .32135863xxxuyx.1xy 状态空间表达式为uxxxxxx300586100010321321321001xxxy210aaa0v系统输入量中含有导数项v 如果单输入单输出系