专题09 一次函数解析式求解方法大全-八年级数学秘籍之教你与一次函数共振（解析版）[1]

1、专题09 一次函数解析式求解方法大全如果函数的图象是函数的灵魂的话,那么函数的解析式就相当于函数的经脉. 它是函数存在的基础,因此,在做习题的过程中,准确求出函数的解析式是重中之重.待定系数法是我们求解一次函 数常用的方法,它的核心是找到点的坐标,所以,通常这类题目考查的重点是求点的坐标；另外,分段函数解析式的求解也是重点内容,本专题从多个角度,选取具有特点的习题进行讲解,期望能给同学们一些帮助.题1. 动点问题引出的分类讨论求解析式在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从点A开始按ABCD的方向运动到点D.如图1-1所示,设动点P所经过的路程为x,APD的面积为y. (当点P与点A或D

2、重合时,y=0)(1)写出y与x之间的函数解析式；(2)画出此函数的图象图1-1【参考参考答案】见解析. 【解析】解：(1)分类讨论：点P在边AB,BC,CD上运动时所对应的y与x之间的函数解析式不相同,当点P在边AB上运动,即0x3时,y=0.54x=2x；当点P在边BC上运动,即3x7时,y=0.543=6；当点P在边CD上运动,即7x10时,y=0.54(10x)=2x20.综上所述,y与x之间的函数解析式为：(2)函数图象如图1-2所示图1-2题2. 与几何有关联的题目（勾股定理等）如图2-1所示,已知A点坐标为（5,0）,直线与y轴交于点B,连接AB,a=75,求b的值.图2-1【参

3、考参考答案】.【解析】解：设直线y=x+b与x轴交于点C,则点C（b,0）,点B（0,b）,所以OB=OC,即OBC是等腰直角三角形,BCO=45,a=75,BAO=aBCO=30,所以AB=2b,因为A（5,0）,在RtABO中,由勾股定理得：,解得：b=（舍去负值）.题3. 等腰三角形存在性问题如图3-1所示,平面直角坐标系中,点A的坐标是（4,0）,点P在直线yxm上,且APOP4求m的值图3-1【参考参考答案】 见解析.【解析】解：APOP4,P在线段OA的垂直平分线上,如图3-2,作出线段OA的垂直平分线CP,与x轴交于点C与y=xm交于点P,P,图3-2AP=4,OC=AC=2,在

4、RtACP中,由勾股定理得：PC=,同理PC=,即得P(2, ),P (2, ),分别代入y=xm,得：m=2+或2.题4. 方案选择类某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费；银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图4-1所示,请求出点A,B,C的坐标;(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.图4-1【参考参考答案】

5、见解析.【解析】解：（1）银卡：y=10x+150;普通票：y=20x.(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150.A(0,150).联立y=20x,y=10x+150得：x=15,y=300B(15,300).把y=600代入y=10x+150,得x=45.C(45,600).(3)当0x15时,选择购买普通票更合算；当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算；当15x45时,选择购买金卡更合算.题5. 等腰三角形存在性、平行四边形存在性问题如图5-1所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的AB边在x轴上,AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x2与x轴、y轴

6、分别交于点E、F（1）求：点D的坐标；经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；（2）直线y=x2上是否存在点P,使得PDC为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标图5-1【参考参考答案】 见解析.【解析】解：（1）设点C的坐标为（m,2）,点C在直线y=x2上,2=m2,得m=4,即点C的坐标为（4,2）,四边形ABCD是矩形,AB=CD=3,AD=BC=2,点D的坐标为（1,2）；设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b,将D（1,2）代入y=x+b

7、,得b=1,经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1； （2）存在EBC为等腰直角三角形,CEB=ECB=45,又DCAB,DCE=CEB=45,PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形,图5-2如图,当D=90时,延长DA与直线y=x2交于点P1,点D的坐标为（1,2）,点P1的横坐标为1,把x=1代入y=x2得,y=1,点P1（1,1）；当DPC=90时,作DC的垂直平分线与直线y=x2的交点即为点P2,所以,点P2的横坐标为2.5,把x=2.5代入y=x2得,y=0.5,所以,P2（2.5,0.5）,综上所述,符合条件的点P的坐标为（1,1）或（2.5,0.5）；（3）当y

8、=0时,x2=0,解得x=2,OE=2,以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形,若DE是对角线,则EM=CD=3,OM=EMOE=32=1,点M的坐标为（1,0）,若CE是对角线,则EM=CD=3,OM=OE+EM=2+3=5,此时,点M的坐标为（5,0）,若CD是对角线,则平行四边形的中心坐标为（2.5,2）,设点M的坐标为（x,y）,则,解得x=3,y=4,此时,点M的坐标为（3,4）,综上所述,点M的坐标为（1,0）,（5,0）（3,4）题6. 分类讨论、面积问题如图6-1所示,直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点,直线a经过原点与线段AB交于C,把ABO的面积分为2

9、：1的两部分,求直线a的函数解析式图6-1【参考参考答案】 见解析.【解析】解：在y=x+3中,令x=0,则y=3,所以B的坐标是（0,3）；令y=0,解得x=-3,所以A的坐标是（-3,0）故OA=OB=3SABO=,当OAC的面积与OBC的面积的比是2：1时,SOAC=3,SOBC=,设C的坐标是（m,n）,则m0,n0SOAC=3,解得：n=2,SOBC=,解得：m=-1则C的坐标是：（-1,2）,设函数的解析式是y=kx,则-k=2,解得：k=-2,则函数的解析式是：y=-2x；当OBC的面积与OAC的面积的比是2：1时,同理可得C的坐标是（-2,1）,则函数的解析式是：y=-x故直线

10、a的解析式是y=-2x或y=-x题7. 动点问题、面积问题如图7-1所示,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E的坐标为（-8,0）,点A的坐标为（-6,0）（1）求k的值；（2）若点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中,试写出OPA的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当点P运动到什么位置时,OPA的面积为,并说明理由.图7-1【参考参考答案】 见解析.【解析】解：（1）点E在直线y=kx+6上,0=-8k+6,解得：k= ；（2）由（1）知,直线的解析式为,点P在直线上,设P点坐标为OA=6,当点P在第二象限时,其中,8x0.

11、（3）设点P（m,n）,则,解得：n=,舍负值.则m=,三角形OPA的面积为时,点P的坐标为（,）题8. 待定系数法、面积问题已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1,4）和（2,2）. （1）求这个一次函数；（2）设直线y=kx+b与x轴的交点A、与y轴的交点B,并求出AOB的面积； （3）在第四象限内,直线AB上有一点C使AOC的面积等于AOB的面积,请求出点C的坐标.【参考参考答案】 见解析.【解析】解：（1）一次函数y=kx+b的图象经过点（1,4）和（2,2）.k+b=4,2k+b=2,解得：k=-2,b=6,这个一次函数的解析式为y=2x+6.（2）令y=0可得2x+6=0,解得x

12、=3,A点坐标为（3,0）,令x=0可得y=6,B点坐标为（0,6）,AOB的面积为：0.536=9；（3）设C（t,2t+6）,AOC的面积等于AOB的面积,0.53|2t+6|=9,解得t1=6,t2=0（舍去）,C点坐标为（6,6）.题9. 待定系数法、面积问题如图9-1,直线l1的解析表达式为：y=3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,B,直线l1,l2交于点C（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得ADP与ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标图9-1【参考参考答案】 见解析.【解析】解：（1）在y=3x+3中,令y=0,得x=1,所以D（1,0）；（2）设直线l2的解析式为：y=kx+b,将（