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文档简介
1、专题25 全等三角形的存在性破解策略 全等三角形的存在性问题的解题策略有: (1)当有一个三角形固定时(三角形中所有边角为定值),另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等;再根据全等三角形的判定,利用三角函数的知识(画图)或列方程来求解 (2)当两个三角形都不固定时(三角形中有角或边为变量),若条件中有一条边对应相等时,就要使夹这条边的两个角对应相等,或其余两条边对应相等;若条件中有一个角对应相等时,就要使夹这个角的两边对应相等,或再找一个角和一条边对应相等例题讲解 例1 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx4与x轴的一个交点为A(2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x3,对称轴
2、与x轴交于点B (1)求抛物线的表达式; (2)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得PBDPBC?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由 (3)若点M在y轴的正半轴上,连结MA,过点M作MA的垂线,交抛物线的对称轴于点N问:是否存在点M,使以点M、A、N为顶点的三角形与BAN全等?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)由题意可列方程组 , 解得 , 所以抛物线的表达式为 (2)显然OA2, OB3, OC4 所以 若P BDPBC,则BD BC5,PDPC 所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点,点B,P在CD的垂直平分线上,若点D为抛物线与 x轴的左交点,即与点A
3、重合 如图1,取AC的中点E,作直线BE交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2y2)两点 此时P1BCP1BD,P2BCP2 BD 由A、C两点的坐标可得点E的坐标为(1,2)所以直线BE的表达式为 联立方程组,解得, 所以点P1,P2的坐标分别为(4一,)(4,) 若D为抛物线与x轴的右交点,则点D的坐标为(8,0) 如图2,取CD的中点F作直线BF交抛物线于P3(x3,y3),P4(x4,y4)两点 此时P3BCP3BD,P4BCP4 BD 由C、D两点的坐标可得点F的坐标为(4,2), 所以直线BF的表达式为y2x6联立方程组,解得,所以点P3,P4的坐标分别为(1,82),( 1,8
4、2), 综上可得,满足题意的点P的坐标为(4一,),(4,),(1,82)或(1,82) (3)由题意可设点M(0,m),N(3,n),且m0, 则AM24m2,MN29(mn)2,BN2n2 而AMNABN900, 所以AMN与ABN全等有两种可能: 当AMAB,MNBN时,可列方程组,解得;(舍), 所以此时点M的坐标为(0,)当AMNB,MNBA时,可列方程组:解得,(舍)所以此时点M的坐标为(0,)综上可得,满足题意的点M的坐标为(0,)或(0,)例2 如图,在平面直角坐标系xoy中,ABO为等腰直角三角形,ABO 900,点A的坐标为(40),点B在第一象限若点D在线段BO上,OD
5、2DB,点E,F在OAB的边上,且满足DOF与DEF全等,求点E的坐标 图1 图2解: 由题意可得OA4,从而OBAB所以ODOB,BDOB当点F在OA上时,()若DFODFE,点E在OA上如图1此时DFOA,所以OFOD,所以OE2OF,即点E的坐标为(,0)()若DFODFE,点F在AB上,如图2此时EDOD2BD,所以sinBED;所以BED300,从而BEBD,AE过点E作EGOA于点G则EGAGAE,所以OG,即点E的坐标为(,) 图3 图4()若DFOFDE,点E在AB上,如图3 此时DEOA,所以BDBE 从而AEOD, 过点E作EGOA于点G, 则EGAGAE,所以OG,即点E
6、的坐标为(,)当点F在AB上时,只能有ODF AFD,如图4 此时DF0A且点E与点A重合, 即点E的坐标为(4,0) 综上可得,端足条件的点E的坐标为(,0),(,),(,)或(4,0)迸阶训练 1如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与y轴变于点C直线l;与抛物线的对称轴交于点E连结CE,探究;抛物线上是否存在一点F,使得FOEFCE若存在,请写出点F坐标;若不存在,请说明理由答案:存在点F的坐标为(,4)或(,4)2 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与l2相交于点PE为直线l2上一点,反比例函数(k0)
7、的图象过点E且与直线l1相交干点F (1)若点E与点P重合,求k的值; (2)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M,E,F为顶点的三角形与PEF全等?若存在,求点E的坐标:若不存在,请说明理由 答案:(1)k2(2)存在点E的坐标为(,2)或(,2)【提示】(2)易得点E(,2),F(1,k)如图1,当k2时,只能有MEFPEF过点F作FHy轴于点H,易证BMEHFM,用k表示相关线段的长度,从而得到BM,再解RtBME,得k,所以点E的坐标为(,2);如图2,当k2时,只能有MEFPFE 过点F作FQy轴于点Q,同可得点E的坐标为(,2)3如图,抛物线经过A(,0),B(,0),C(0,3)三点,线段BC与抛物线的对称轴交干D,该抛物线的顶点为P,连结PA,AD线段AD与y轴相交于点E (1)求该抛物线的表达式; (2)在平面直角坐标系中是否存在一点Q使以Q,C,D为顶点的三角形与ADP全等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由答案:(1)抛物线的表达式为(2)存在点Q的坐标为(,4),(,2),(,1)或(0,7)【提示】(2)方法一:易求直线BC:,从而点D的坐标为(,2),可得CDPD,所以QCD与ADP全等有两种情况设点Q坐标,通过两点间距离公式列出QC,QD,AP,AD的长再分类讨论列方程组,从而求得点Q点坐标方法二:连接CP,易证
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