第六章 最优控制(2012)

1、第第6章章 最优控制最优控制 最优控制：如何选择控制信号，才能保证控制系统的最优控制：如何选择控制信号，才能保证控制系统的在某种性能意义下最优。在某种性能意义下最优。本章内容为：l变分法求解最优控制问题l极小值原理及其应用l二次型最优控制6.1 引言引言问题1：电动机的运动方程为tJTIKDFDmdd其中， 为转矩系数 为转动惯量； 为恒定的负载转矩；mKDJFT要求：在时间区间0，tf 内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻 上的损耗 最小，求DRttIREDtDfd)(20)(tIDconstttftd)(0采用状态方程表示，令1x12xxDFDDmJTIJKx2于是FDDD

2、mTJIJKxxxx10000102121初始状态00)0()0(21xx末值状态0)()(21fftxtxDI控制 不受限制性能指标ttIREDtDfd)(20DI因为 是时间的函数，E 又是 的函数，E 是函数的函数，称为泛函。DI)(tID问题2：如果电动机从初始时刻 的静止状态转过 角度又停下，求控制 （ 是受到限制的），使得所需时 间最短。00t)(tID末值状态0)()(21fftxtx这也是一个最优控制问题：系统方程为FDDDmTJIJKxxxx10000102121初始状态00)0()0(21xx)(tIDmaxDI性能指标ftttJf0d)0(x最优控制问题为：在状态方程的约

3、束下，寻求最优控制最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将，将 转移到转移到 ，使，使J 为极小。为极小。maxDI)(tID)(ftx一、性能指标及分类一、性能指标及分类 性能指标函数(又称目标函数、性能泛函)，最优控制问题可归结为求性能指标的极值问题。按照实际控制性能常见：00ftftJttdt 1Lttt xu， 最短时间问题：拦截导弹最短时间控制 0fttJu t dt Ltu ttu t x， 最小消耗问题：控制量u(t)与燃料消耗量成正比导弹最小燃料控制 002211ffnnttiittiiJxt dtxt dt有时有以下的加权指标形式： 012ftTTtJttttdt

4、xQxuRu 12TTLttttttt xuxQxuRu，(3) 线性调节器问题：考虑在平衡位置x=0附近的状态调节 导弹滚动通道调节问题 012ftTTddtttttttJxxQ xxuRudt 12TddTttttLttttt xxQ xxxuuRu，(3)、(4)两类是工程实践中典型的性能指标，体现了对精度和能耗的双重要求，且精度的要求贯穿于全过程。(4) 状态跟踪器问题：如果在过程中要求状态x(t)跟踪目标轨线 dtx弹道导弹的弹道跟踪控制 积分型性能指标： 0fttJLttt dtxu， 在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向量及控制向量在整个动态过程整个动态过程中都满足性

5、能要求。性能指标还可以按其数学形式大致分为下列三类： 导弹稳定控制 ffJttx， 在变分法中称为迈耶尔问题。只要求状态在过程终端时满足一定要求，而对状态及控制量在整个动态过程中的演变不作要求。 终值型性能指标: 卫星的指向控制 0ftfftJttLttt dtxxu， 在变分法中称为波尔札问题。它要求状态在过程终端时满足一定要求，而且状态向量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。 复合型性能指标：卫星的指向和稳定控制系统状态方程为),(tux,fx 初始状态为)(0tx其中：x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数，它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x

6、 、t 连续可微。二、最优控制问题的一般性提法为二、最优控制问题的一般性提法为 最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。最优。其中 是 x 、u 和t 的连续函数),(tuxLrRu 寻求在 上的最优控制 或 ，以将系统状态从 转移到 或 的一个集合，并使性能指标,0fttrRU u)(0txttttJfttffd),(),(0uxLx)(ftx)(ftx泛函与变分法泛函与变分法一、泛函与变分一、泛函与变分1、泛函的基本定义：、泛函的基本定义：)(tx 对于某个函数集合 中的每一个函数 ，变量J 都有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 的泛函，记作)(tx)(tx)(tx

7、J泛函可以理解为“函数的函数”例如：ttxxJd)(30（其中， 为在 上连续可积函数）)(tx3,0当 时，有 ；当 时，有 ttx)(5 . 4Jtetx)(13 eJ泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：)(tJ x1） ，其中c 为任意常数；2）)()(tcJtcJxx)()()()(2121tJtJttJxxxx对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 时，有 就称泛函 在 处是连续的。)()(0ttxx)()(0ttxx)()(0tJtJxx)(tJ x所谓泛函 的宗量（自变量） 的变分是指两个函数间的差2、泛函的变分)(tx)(tJ x)()(0ttxxxnRtt)(),(0

8、xx问题：何为两个函数的差？两个函数距离接近？问题：何为两个函数的差？两个函数距离接近？l K阶近似度000( )( )0( )( )( )( )( )( )( )( )kkx tx tx txtx txtxtxt其中， 是关于 的线性连续泛函， 是关于 的高阶无穷小。则 称为泛函 的变分。定义：设 是线性赋范空间 上的连续泛函，其增量可表示为xJnR,xxxxxxxxrLJJJ,xxr,xxLxx,xxLJ xJ泛函的变分等于泛函的变分等于0( )JJ x tx3、泛函变分的规则、泛函变分的规则1）2121)(LLLL2）122121)(LLLLLL3）ttLttLbabad,d,xxxx4

9、）xxddddtt变分的导数等于导数的变分0 xx 定理：设 是在线性赋范空间 上某个开子集D 中定义的可微泛函，且在 处达到极值，则泛函 在 处必有xJxJnR0 xx 0,0 xxJ4、泛函的极值、泛函的极值设 是在线性赋范空间 上某个子集D 中的线性连续泛函， ，若存在 的某邻域0 xxJnRD0 x00(x , )x x x,xnUR 均有：0(, )xU xD 0 xxxJJJ00 xxxJJJ0或则称 在 处达到极大值或极小值。)(xJ0 xx 泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程固定端点问题固定端点问题泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程任意函数任

10、意函数任意小数任意小数0*( )( )( ),( )( ), fttJ xL x ttx tt t dt求极值问题可以表达为泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程泛函极值的必要条件泛函极值的必要条件欧拉方程欧拉方程从变分的角度看从变分的角度看0*( )( )( ),( )( ), fttJ xL x ttx tt t dtxx )(00000000 xLdxxxLdtxxLxdxLdtxxLdtxxLdtxxLdtxxLxxLJfffffffftttttttttttttttt端部条件端部条件l 推广到多变量，即向量情况l 泛函l 必要条件：Tnxxx21xffttxxxx)(;)

11、(00dttxxxxxxLxxxJfttnnn0;,;,),(2121210002211nnxLdtdxLxLdtdxLxLdtdxLiffiiixtxxtx)(;)(000; 00fttxLxL两端固定两端自由00LdLxdt xLdLudt u0)4()2()4(xxxux泛函极值泛函极值可变端点问题可变端点问题确定最优轨线和最优确定最优轨线和最优时刻时刻终端时间改变造成的部分，包括函数变分的影响终端时间改变造成的部分，包括函数变分的影响为简单计，在第二项中，只考虑终端时间变为简单计，在第二项中，只考虑终端时间变分影响的部分，不考虑函数变分的影响分影响的部分，不考虑函数变分的影响由于公用用

12、同一 ，显然函数的变分同时包含了函数及其作用时间。*( )x t*( )fx tt( )c t*( )fftt*ft*()fx t*( )ffx tt*( )( )( )x tx tt等号右边第一项自变量等号右边第一项自变量*0*( )( )( ),( )( ), () (),(),ftfffftJ xL x ttx tt t dttL x tx tt以单状态的系统为例图示0t)(tx以这点的性能指标乘以时间长度来计算整个区域的性能指标0)(0 xJ对上式被积函数的第二项分步积分0),(),()()()(*0ffffttttxtxLtdtxLtxLtf0),(),()()()(*0fffftf

13、ttttxtxLtxLtdtxLdtdxLtffffttdtdxdsxJ0220)()()( ): ( )2C tx tt1C 终端约束：连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题分部积分分部积分H连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题OR运用多变量情况下欧拉方运用多变量情况下欧拉方程直接推导程直接推导目标函数相对于最优控制 和最优轨线 的变分)(*tu)(*tx系统的约束方程系统的约束方程连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题0 100 01fxu 连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连

14、续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题连续系统最优控制问题二二. 波尔扎问题波尔扎问题系统状态方程 ,x tfx tu tt初始状态 ，最终状态 满足 00 x tx fx t( ),0ffN x tt 0(),( ), ( ),ftfftJx ttL x t u t t dt0( ),( ),( ), ( ),( )( ), ( ),( )ftTTfffftJx ttN x ttL x t u t ttf x t u t tx tdt00( ),( ),( ) ( )|( ), ( ), ( ),( ) ( )ffttTTTffffttJx ttN x

15、 ttt x tH x t u tt tt x t dt分部积分终端约束 系统约束 有哪些结构允许的变化？*( )( )( )x tx tx t*( )( )( )u tu tu t*fffttt00( ),( ),( ) ( )|( ), ( ), ( ),( ) ( )ffttTTTffffttJx ttN x ttt x tH x t u tt tt x t dt*()()()fffx tx tx t*( )x t*( )fx t( )x tt( )c t*( )( )fffftttt*ft*()fx t*( )ffx tt*( )( )( )x tx tt*()fx tffffttxt

16、xtx)()()(*)(*ftx)()(*fffttxtx考虑相对于最优控制 最优轨线 和 的变分)(*tu)(*tx*ft*0*(),(),(), (), (),(),(),()()()()fTfffffffffffTtTffffTTfftffx ttNx ttJtH x tu tttttx ttNx ttHHx ttxudtx tx txu由泛函方程得到0HxHxHu 边界条件00( )x tx(),(),()()()Tfffffffx ttNx tttx tx t( ),0ffN x tt 终端时刻由下式计算(),(),(), (), (),0Tffffffffffx ttNx ttH

17、x tu ttttt 状态方程控制方程伴随方程例例012212(1)(1) 10101( )0012fttJxxuxux tdt 0HxHxHu 1121212122200HxHxHxxHxuHuu 212212HLfuxu哈密尔顿函数边界条件12(0)0,(1)(1)10 xxx (),(),()()()Tfffffffx ttNx tttx tx t12(1)(1) (1)(2) 1(1)(1)Txxx 11c212ctc 21ctcu3221221ctctcx43223112161ctctctcx例例 系统的状态方程为ux 1)0(x0)(ftx性能指标tutJftfd022求最优控制

18、和末值时刻 ，使性能指标泛函取极小值)(*tuft解解哈密顿函数22(, )H x,u tufuu220()dftfJtuuxt22,( )0ffLutNx t例二由控制方程 ，得0uH02*u或21*u 由伴随方程0H- =x&1cconst 1*21cu将 代入状态方程*u121cx解为ftc212121ctcx2c其中， 、 为常数，由 ， 确定，得1c)0(x)(ftx1)0(2 xc由于 自由，由 ft()0ffH tt02)()(2fffttutu由上述各式解得3116c312ft31*2u1231*tx(),(),(), (), (),0Tffffffffffx ttNx ttH

19、 x tu ttttt 1122000 110 0afMxxITCxxJJ末端状态0)()(21fftxtx初始状态00)0()0(21xx性能指标20dftaaJI Rt电动机的运动方程为ddfMaJTC It例三求最优控制和最优轨迹1）哈密顿函数为2）由控制方程得到120=20aaMaHHI RCuIJ即220MaaCI RJ212MaaCIJR faMTaaaTJIJCRItIH1000010),(2xx3）由伴随方程 ，得到xH01constc 11112c212ctc （ ， 为积分常数）为积分常数）1c2c121()2MaaCIc tcJR 4）由状态方程得21xx 2221222

20、111122MMmaffaaCCCxITc tcTJJJJ RJ R222212322111()42MMfaaCCxctcT tcJJ RJ R223221123422111 11242MMfaaCCxc tc tT tc tcJJ RJ R（ ， 为积分常数）3c4c根据边界条件，确定积分常数，得043 cc213224afMJ RctC22222122aaffMMJ RJ RcTtCC代入 和)()(2ttxaI6)(222ffttttxt231612( )aFMffJJItTtCtt6-8 极小值原理极小值原理状态方程为：( )( ), ( ),x tf x t u t t初始条件为 ，

21、终态 满足终端约束方程00( )x tx()fx t(),0ffN x tt 式中，Nm维连续可微的矢量函数， 。mn控制 受不等式约束( )u tR( ), ( ),0g x t u t t 式中，gl 维连续可微的矢量函数， 。如：lr性能泛函0(),( ), ( ),ftfftJx ttL x t u t t dt泛函极小可能对应的是允许控制的边界值 如何表示不等式约束 33 0(3) 0uuu 6-8 极小值原理极小值原理保证g 0，表示成约束方程0( )( )( )( )ttw tu tw tud0( )0w t 2( ), ( ),zg x t u t t0( )0z t1(),(

22、),TffffJx ttN x tt02, , ,( , , )ftTTtH x wtxg x w tzdt1( ),( ), , , , , ,ftTfffftJx ttN x ttx x wz t dt 1ftxwzJJJJJu(t) 虽然不一定连续， 为连续函数( )w t1( ),( ), , , , , ,ftTfffftJx ttN x ttx x wz t dt 1ftxwxJJJJJffffffttTtftt tTffft tJNdtttNttt6-8 极小值原理极小值原理6-8 极小值原理极小值原理( )( )( )( )( )( )ffffffffdx tx tx ttx

23、tdx tx tt0( )fffTtTTTxft tt tftNdJdxtxtxdtxxxxxdtx分部积分0()fftTTTTxft ttJdxtNxxdtxxx()( )ffTTTft tt tNdxtxtxxx0ftTtdxdtxdtx1( ),( ), , , , , ,ftTfffftJx ttN x ttx x wz t dt 状态轨迹为自变量，时间视为常数状态轨迹和时间均为自变量，与时间联系，因此为微分。6-8 极小值原理极小值原理000000()()()()()()( )()()ffffffftTTwtttttTTTTtttttTTft ttJww dtwww dtd www

24、dwwwwdwtwdtwdtw 0fftTTftt tdJtdtwdtw 0fftTTzftt tdJztzdtzdtz0( )0Twt类似有1( ),( ), , , , , ,ftTfffftJx ttN x ttx x wz t dt 不含w欧拉方程欧拉方程横截条件横截条件6-8 极小值原理极小值原理1fTTffft tNJxtxtt()ffTTTft tt tNxtxxx0fftTTTTtt tdddzxzdtzxdtxdtdtz0dxdtx0ddt 0ddtz0fTfft tNxxtt0fTt tNxxx0ft t 0ft tz6-8 极小值原理极小值原理THgxx 0TdHgdt(

25、)0Tdzdt0fTfft tNHtt0fTt tNxx0fTt tHg0fTt tz2, , ,( , , )TTH x wtxg x w tz0dxdtx0ddt 0ddtz0fTfft tNxxtt0fTt tNxxx0ft t 0ft tz6-8 极小值原理极小值原理在最优轨迹上，采用最优控制时目标泛函最小注意已在最优轨迹上。此时把H看成只有一个变量u，使H取极小值*, *, *, , ,*, *, *, *, *, *Exzxzxzxz*0TTTxxzzxz*, *, ,*, *, *,H xu tH xu t2,0,0,( , , )zg xtxz *, *, *, , ,*, *

26、, *, *, *, *()*, *, *, , ,*, *, *, *, *, *0TTTExzxzxzxzxxxzxzxxzxzx最优控制 保证哈密尔顿函数取全局最小值，所谓“极小值原理”一词正源于此。*( )ut取哈密顿函数为：（5）则实现最优控制的必要条件是，最优控制 、最优轨线 和最优协态矢量 满足下列关系式：1)沿最优轨线满足正则方程若则为：（8）极小值原理总结极小值原理总结:（6）（7）2)在最优轨线上，与最优控制 相应的H H 函数取绝对极小值，即或（9）3)H函数在最优轨线终点处的值决定于：沿最优轨线，有（10）（11）这就是著名的极小(大）值原理。是u受限下最优控制的必要条

27、件，但对线性系统为充要条件。4)协态终值满足横截条件：（12）5)满足边界条件：（13）,xxu(0)5x例 设系统的状态方程为控制约束 求 使 11,2u( )u t10min()Jxu dt解：由哈密尔顿函数()HLfxuxu(1)(1)xu当 时应取 （上界） 时应取 （下界）*1*1*( )1ut 1*( )2ut 1Hu 根据极小值原理，在最优轨迹上，最优控制u使H取极小。如果即不论为何值，等式右边第二项都能取得极小，所对应的u为最优控制。u的上界为1，下界为1/2，因此 *(, )(1)(1)H xuxu*= ()u？极小由协态方程 得其解为求 以确定u的切换点( ) t(1)Hx

28、 1 1tCe 当 时1ft ()(1)0,ftCe故11teu切换点：令 ，得11 ln20.307t 11，对应 ， ，对应 ， 0.307t 0.307t *1u 1*2u 0fTt tNxx( )0ftg中不含x求最优状态轨线( )x t解状态方程xxu当 时 得00.307t *1u 11txC e 考虑 故(0)5x*( )41txte当 时 得0.3071t 1*2u 212txC e考虑第一段终值 为第二段初值，故(0.307)6.438x*( )4.3680.5txte0.30710.307100.30700.30711*(1)()(42)(4.368)228684ttJxd

29、txdtedtedt各有关曲线如图所示。 线性二次型最优控制线性二次型最优控制性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的线性系统最优控制性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的线性系统最优控制问题。问题。提出的控制规律是状态变量的函数，可以通过状态反馈实现闭环最提出的控制规律是状态变量的函数，可以通过状态反馈实现闭环最优控制。优控制。性能函数：性能函数：012011( )( ) ( )( )22ftTTTfftJx Q t x u Q t u dtxtQ x t半正定的状态加权阵。半正定的状态加权阵。一般可选为对角阵，权重一般可选为对角阵，权重越大，该项越受重视。越大，该项越受重视。正定的控

30、制加权阵。正定的控制加权阵。不管正功、负功都统不管正功、负功都统计。计。半正定的终端加权阵。半正定的终端加权阵。 线性状态调节器线性状态调节器1 1 引言引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：外的工程实践中得到应用。原因如下：1 1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。2 2）最优控制器是线性的，易于实现。）最优控制器是线性的，易于实现。3 3）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还）线性、二次型性能指标的最优控

31、制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。可以导出经典控制理论的一些特性。2 2 有限时间状态调节器有限时间状态调节器线性时变系统的状态方程为线性时变系统的状态方程为( )( )xA t xB t u)()(00ttttxx其中，其中，x x 为为n n 维状态向量；维状态向量；u u 为为r r 维控制向量，且维控制向量，且u u 不受限制。不受限制。状态调节器：偏离了平衡状态，通过控制使之回到平衡状态。状态调节器：偏离了平衡状态，通过控制使之回到平衡状态。优化问题：如，如何在不消耗过多能量的前提下回到平衡状态？优化问题：如，如何在不消耗过多能量的前提下回到平衡状态？因为线性

32、系统，如果用状态与平衡状态的因为线性系统，如果用状态与平衡状态的误差来代替状态，系统的状态方程不变误差来代替状态，系统的状态方程不变2 2 有限时间状态调节器有限时间状态调节器问题简化为：在平衡状态（控制的目标状态）附近，线性时问题简化为：在平衡状态（控制的目标状态）附近，线性时变系统的状态方程为变系统的状态方程为( )( )xA t xB t u)()(00ttttxx寻找一个最优控制寻找一个最优控制 ，使，使*u001211()()( )( )d22ftTTTfftJtQtQ tu Q t utxxxx为极小。为极小。如何理解？能量、过程误差和如何理解？能量、过程误差和最终误差的综合最优最

33、终误差的综合最优 求解这个最优控制问题，可以用极小值原理。求解这个最优控制问题，可以用极小值原理。哈密顿函数为哈密顿函数为1211( , , , )( )( )( )( )22TTTH x u tx Q t xu Q t uA t x B t u伴随方程为伴随方程为1( )( )THt xAt xQ控制方程为控制方程为2( )0THQ u Bt u*12( )( )( )Tu tQt Bt 222( )0uHQt故故J J 取极小值取极小值与状态有关与状态有关 将将 代入状态方程得代入状态方程得*u12( )( )( ) ( )xA t x B t Qt B t 初始状态为初始状态为)(0tx

34、状态反馈的求解方式状态反馈的求解方式( )( ) tP t x其中，其中， 为待定的实对称、正定为待定的实对称、正定 时变阵时变阵 ( )P tnn对对t t 求导求导2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1TP t xP t xP tP t A tP t B t Qt Bt P tx1( )( )THQ t xA t x001( )( )( )( )2fTffft tff ttQt=txxxQ x横截条件为横截条件为由伴随方程：由伴随方程：与状态有关、与时变系数矩阵与状态有关、与时变系数矩阵又又11( ) ( )( )( ) ( )( )TTA t P t x

35、 Q t xA t P tQ t x 比较上两式，可以得到比较上两式，可以得到0( )fP tQ称为称为RiccatiRiccati微分方程。微分方程。边界条件边界条件0( )( ) ( )( )ffff tP tx tQ x t得到得到( )P t解得1( )( )THt xA t xQ21( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 0T1TP tP t A tAt P tP t B t Qt Bt P tQ t2 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1TP tP t A tP t B t Qt Bt P t x加入控制后的闭环系统为加入控制

36、后的闭环系统为12 ( )( )( )( ) ( )TxA tB t Qt Bt P t x状态反馈矩阵状态反馈矩阵K K( (t t) )线性调节器的设计步骤线性调节器的设计步骤设计性能指标，即确定加权矩阵设计性能指标，即确定加权矩阵求解求解RiccatiRiccati方程，得到方程，得到P P( (t t) )，进而得到状态，进而得到状态反馈矩阵反馈矩阵K K( (t t) )求最优控制、最优轨线及性能最优值求最优控制、最优轨线及性能最优值)()(ttTPP两点说明：两点说明：1 1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称阵）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称阵因此有因此有 个独立的非线性标量微分

37、方程。个独立的非线性标量微分方程。) 1(21nn2 2）最优性能指标为）最优性能指标为)()()(21000*tttJTxPx（证明请见教材）（证明请见教材）uaxx)(*tu例例 系统状态方程为系统状态方程为)0()(0 xtx求最优控制求最优控制 ，使性能指标，使性能指标0, 0, 0d21)(212102221200qqqtuqxqtxqJfttf取极小值取极小值解解 矩阵的黎卡提方程为矩阵的黎卡提方程为122)(2)(1)(qtaPtPqtP求解上面的微分方程，有求解上面的微分方程，有fftttPtPqaPPqPd)(2)(1)(d)()(1220)(qtPf21( )( )( )(

38、 )( )( )( )( )( )( )( )0T1TP tP t A tAt P tP t B t Qt Bt P tQ tlxlxlxlxln21d22其中其中212qqab)(22020)(220202e1e)()(ttbttbffbaqqbaqqbaqqbaqqabbaqtP即即最优控制为最优控制为1221*( )( ) ( )( )TuQt Bt P t x=P t xq)(22020)(220202e1e)()(ttbttbffbaqqbaqqbaqqbaqqabbaqtPxtPqauaxx)(12*由由最优轨线为最优轨线为)0(d)(1*02xexttPqatxtPqu)(12*

39、122)(2)(1)(qtaPtPqtPl 关于P(t)的性质及相应的x(t)，u(t)变化如图所示。l a=-1,q0=0,q1=1,x(0)=1,tf=1q2很小时，起始部分近似常值；q2很大时，p(t)时变特性渐强。l 随着tf的增加，p(t)保持常值的区域增加3 3 无限时间状态调节器无限时间状态调节器线性时变系统线性时变系统( )( )xA t xB t u00( )( )t tx tx t012( )( )dTTtJx Q t xu Qt ut寻找一个最优控制寻找一个最优控制 ，使，使J J 取极小值取极小值*u这里产生一个问题：这里产生一个问题： 时，性能指标是否收敛？时，性能指

40、标是否收敛？ft例如例如u101001xx 01)0(xtuJTd10012120 xx寻找最优控制寻找最优控制 ，使，使J J 取极小值取极小值*u前述有限时间状态调节器前述有限时间状态调节器P P(t)(t)时变，实现复杂。如何能使时变，实现复杂。如何能使P P(t)=(t)=P P ? ?如果线性时变系统是如果线性时变系统是能控能控的，无限时间状态调节器问题一定有解，的，无限时间状态调节器问题一定有解，并且可以通过有限时间状态调节器的解，取并且可以通过有限时间状态调节器的解，取 来获得来获得ft根据极小值原理，如果有最优解，当根据极小值原理，如果有最优解，当 时，时，J J 取极小值。取

41、极小值。0*u但是但是ttAtte00ee)(ttxe)(1是是不能控不能控的状态分量，而且是不稳定的。导致的状态分量，而且是不稳定的。导致结论：该问题不存在有意义的解。结论：该问题不存在有意义的解。02*detJt据前，最优控制为据前，最优控制为12*( )( ) ( )TuQt Bt P t x21( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 0T1TP tP t A tAt P tP t B t Qt Bt P tQ t)()()(21000*tttJTxPx最优性能指标最优性能指标0)(QtPf 无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状无限时

42、间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。有限时间最优调节器反馈增益矩阵是态负反馈构成状态闭环控制。有限时间最优调节器反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。当时间趋于无穷时反馈增益趋于常时变的，给工程实践带来不便。当时间趋于无穷时反馈增益趋于常数矩阵。数矩阵。 可以证明，有以下结论：可以证明，有以下结论：012dTTtJx Q xu Q ut00( )( )t tx tx t线性定常系统线性定常系统xAxBu最优控制为最优控制为12*TuQB Px210T1TP PA A P PBQB P Q正定常数阵正定常数阵 满足如下黎卡提矩阵代数方程满足如下黎卡提矩阵

43、代数方程P12()TxA BQB P x Gx最优性能指标最优性能指标*1(0) (0) (0)2TJxPx 当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩当这个无限时间状态调节器满足以下条件时，状态反馈增益矩阵才为常数矩阵：阵才为常数矩阵：1 1）系统为线性定常系统；）系统为线性定常系统；2 2）系统能控；）系统能控；3 3）终端时刻）终端时刻 ；ft4 4） J J 中不含终端性能要求项，即中不含终端性能要求项，即 Q Q0 0= 0 = 0 ；无限状态调节器的系统渐近稳定，无论原受控系统的特征无限状态调节器的系统渐近稳定，无论原受控系统的特征值如何。值如何。证明：设李亚普诺夫函数

44、证明：设李亚普诺夫函数P正定，故正定，故v(x)正定正定又又由于由于Q1、Q2均为正定，故负定。若均为正定，故负定。若 无恒等于零轨线，无恒等于零轨线，Q1可取半负定。可取半负定。PxxxVT)(xpxpxxxVTT)(xPBPBQPBPBQPAPAxxPBBQAPxpxPBBQAxxVTTTTTTTTT)()(12121212pxPBPBQQxxVTT)(121112QPBPBQPAPATTxPBBQAxT)(12)(xV因此，定常情况下状态调节器平衡状态因此，定常情况下状态调节器平衡状态 是渐近稳定的。是渐近稳定的。即使开环系统即使开环系统 是不稳定的，也不管是不稳定的，也不管 Q 1 和

45、和 Q2阵如何选取，阵如何选取，只要只要Q 1 和和 Q2阵为正定的，则状态调节器总是渐近稳定的。阵为正定的，则状态调节器总是渐近稳定的。0exAxx 例例 线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为u-101010 xx 01)0(x2010d0TJxxut0求最优控制求最优控制 ，使，使 J J 取极小值。取极小值。*u解解 检验系统能控性检验系统能控性 能控。能控。2rankABBN设设11122122PPPPP代入黎卡提方程代入黎卡提方程31131P 210T1TP PA A P PBQB P Q1x (0)Px(0)231111103022131*TJ 1当 时， ；当 时，

46、。023*J1*J112*31300301 1xxPxBQuT4 输出调节器问题 输出调节器的任务是当系统受到外扰时，在不消耗过多能量的前提下，维持系统的输出矢量接近其平衡状态。1.线性时变系统输出调节器问题给定一个能观的线性时变系统：性能泛函为：于是可以用状态调节器上式来确定最优控制：式中， 为下列黎卡提距阵微分方程的解：边界条件：给定一个完全能控、能观的线性定常系统：2. 线性定常系统输出调节器问题性能泛函为：式中， 任意取值； 为正定对称矩阵； 为正定或半正定矩阵。要求在系统方程约束下，寻求最优控制为：而 是下列黎卡提代数微分方程的解：5 5 跟踪器问题跟踪器问题 要求系统输出跟踪某个指

47、定的输入，且不过多消耗能量，称为要求系统输出跟踪某个指定的输入，且不过多消耗能量，称为跟踪器问题。跟踪器问题。 时变系统：有限时间跟踪器问题时变系统：有限时间跟踪器问题。定常系统：近似最优的跟踪器。定常系统：近似最优的跟踪器)()(00ttttxxuBxAx)()(ttxCy)(t线性时变系统方程线性时变系统方程要求系统的输出跟踪指定的输入函数要求系统的输出跟踪指定的输入函数 z(t) z(t) 。z(t)z(t)与输出向量与输出向量y y 有相同有相同维数。寻求最优控制维数。寻求最优控制 ，使以下性能指标取极小值。，使以下性能指标取极小值。)(*tu 性能指标性能指标J J 中的加权阵中的加

48、权阵Q Q0 0和和 Q Q1 1( (t t) ) 为半正定，为半正定，Q Q2 2( (t t) ) 为正定。为正定。00121()()()()21( )( )( )( )( )( )2fTfffftTTtJy tz tQy tz ty tz tQty tz tu Qt u dt哈密顿函数为哈密顿函数为121( , , , )( )( )( )( )( )( )( )( )2TTTH x utC t x z tQ t C t x z tu Q t uA t x B t u由控制方程由控制方程2( )( )0THQ t uBtu*12( )( )TuQt Bt 1( )( )( )( )(

49、)TTHCt Q t C t xz tA tx 由伴随方程由伴随方程边界条件为边界条件为0()()() ()()TffffftCtQC tx tz t12( )( )( )( ) ( )TxA t xB t Qt Btt0fTt tNxx对时间求导，得对时间求导，得-12( )( )( )( )( )( ) ( ) -( )( )( ) ( )( )TtP t xP t xg tP t xP tA t x B t Qt Bttg t1212( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )TTtP tP t A tP t B t Qt Bt

50、P t xP t B t Qt Bt g tg t)()()(tgxtPt这时不能像线性状态调节器那样，仅认为这时不能像线性状态调节器那样，仅认为 和和 有关系，肯定有关系，肯定还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设)(t)(tx11( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )TTTTtCt Q t C tAt P t xAt g tCt Q t z t 1( )( )( )( )( )( ) ( )TTHtCt Q tC t xz tAttx 另一方面另一方面)()()(tgxtPt这时不能像线性状态调节

51、器那样，仅认为这时不能像线性状态调节器那样，仅认为 和和 有关系，肯定有关系，肯定还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设还有和期望输入有关的项，也为时间的函数。为此，设)(t)(tx121( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )0TTTP tP t A tP t B t Qt Bt P tCt Q t C tAt P t比较两式比较两式11( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )TTTTtCt Q t C tA t P t xA t g tCt Q t z t 1212( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )(