北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分课件

1、2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分12021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分2),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分3yyzxxzyxfyyx,xfz ),()(:问题问题2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分4全微分的定义全微分的定义2021-10-15北京交通大学朱

2、圣芝曲线曲面积分5( )zzzxyoxy , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分6一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，2222220( , ).00 xyxyxyf x yxy 二、可微的条件二、可微的条件2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分7说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证：多元函数的各偏导数存在并不能

3、保证 全微分存在，全微分存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分8),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （偏导数的连续性）（偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其其中中1 为为yx ,的的函函数数,2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分9xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故故函函数数)

4、,(yxfz 在在点点),(yx处处可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时时，02 ,2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分10全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分11例例 1 1 计计算算函函数数xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分2021-10-15北京交通大学朱圣芝

5、曲线曲面积分12例例 2 2 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分13证证 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分14)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 而而 22)()(yxyx 22()()xyxy ),()0 , 0()0

6、, 0( oyfxfzyx 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分15思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨讨论论.2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分16证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf2021-10-15北京

7、交通大学朱圣芝曲线曲面积分17当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分18所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0

8、, 0(可微可微. 0)0,0( df2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分19多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分20全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfy

9、yxxfyx 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分21例例 4 4 计计算算02. 2)04. 1(的的近近似似值值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分22多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关

10、系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）三、小结三、小结2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分23HomeworkPage3261(1)(3)(4)(6)2(3), 3, 4，92021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分24 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续；（2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx

11、时是无穷小量；时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量.思考题思考题2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分25一、一、 填空题填空题: :1 1、 设设xyez , ,则则 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,则则 du_._.3 3、 若函数若函数xyz , ,当当1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0 yx时时, ,函数的全增量函数的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 数若 函 数yxxyz , , 则则xz对对的 偏 增

12、量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.练练 习习 题题2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分26二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1

13、 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分27七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .2021-10-15北京交通大学朱圣芝曲线曲面积分28一、一、1 1、)(1,1,2dydxxyexexexyxyxyxy ；2 2、222)(2zyxzdzydyxdx ； 3 3、-0.1