第十章信号时频分析

1、Digital Signal Processing q确定性或平稳随机信号的分析特点 基于DFT变换取样适当或长度足够可提高分析精度分析信号单独在时域或单独在变换域的特性( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing 增加取样长度提高分析精度的实例( )cos(250 )0.2cos(2150 )x ttt0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q时变信号的特点 信号特性随时间变化而变化 确定性时变信号系统 非平稳随机信号 非平稳信号的频谱与时间位

2、置有着密切关系 非平稳信号的频谱随着取样长度的增加并不逐渐收敛Digital Signal Processing 增加采样长度对时变信号DFT分析的结果 cos(250 ),00.09( )0.2cos(2150 ),0.090.18 ttSx ttStS0 0.09ptS0 0.18ptSDigital Signal Processing q时变信号的分析方法 需采用时频联合分析方法 短时傅里叶变换STFT 戈勃（Gabor）变换 小波变换（Wavelet Transform，WT） WVD（WignerVille Distribution）分布 Cohen类时频分布 Digital Sig

3、nal Processing q分析窗的局域化指标 非平稳信号的加窗取样：期望时域和频域窗同时最小 Digital Signal Processing 时域局域化指标 ( ),w t t分析窗关于能量的时间中心 221( )( )tt w tdtw t信号的持续时间（等效时域宽度） 22222221()()( )( )( )( )ttttw tdtttw t例高斯窗 201/4() /2( )( )t tjtw te20()0t tttedtt22221()( )2ttttDigital Signal Processing 频域局域化指标 分析窗的平均频率 信号的带宽 例高斯窗 ( )w()j

4、W e221( )( )wdw222222()()( )( )Bwd201/4() /2()1( )jwej 0222BDigital Signal Processing q不确定性原理 12t 窄（短持续时间）的波形必然产生宽的频谱 宽（长持续时间）的波形必然产生窄的频谱 最小不确定性时间带宽乘积的分析窗是高斯型信号 21/4() /2( )ttjtw te Digital Signal Processing q谱密度的非相加性 12( )( )( )s ts ts tDigital Signal Processing q瞬时频率和复信号瞬时频率的定义 复解析信号 ( )( )( )( )(

5、 )jtris ts tjs tA t e2( )( )dts tdtdt( )( )( )idtttdt实数信号频谱分析 关于X轴对称 平均频率等于零 频谱的负频率轴并没有新息 Digital Signal Processing 解析信号 频谱在负频率轴的值等于零实数信号转换成解析信号的过程 求其傅里叶逆变换即可得解析信号Digital Signal Processing 多分量信号 单分量信号在任一瞬间只有一个频率分量 多分量信号在某瞬间可同时存在二个或以上的频率成份 Digital Signal Processing q短时相关和时变谱 短时自相关 *( , )()()22xr tE x

6、 tx t时变功率谱：Wiener-Khintchine定理 ( ,)( , )jxs tr tedDigital Signal Processing q连续STFT变换的时域定义 分析信号 分析窗 STFT变换 ( ),x t t ( )x t*( ,)( )()jSTFT txwtedDigital Signal Processing STFT变换的图解过程 Digital Signal Processing q连续STFT变换的频域定义 Digital Signal Processing q连续STFT变换的时频分析过程 Digital Signal Processing q连续STFT

7、变换的特殊情形 ( )1w t ( ,)( )STFT tx短时傅里叶变换退化成一般傅里叶变换 ( )( )w tt( ,)( )j tSTFT tx t e短时傅里叶变换退化成时域信号 ( )x tDigital Signal Processing q连续STFT逆变换 加窗 计算加窗短时傅里叶变换的傅里叶逆变换 ( ,)STFT t( )v t*1( )( ,) ()( )( ) ( )2j ty tSTFT tv tt dt edx tw t v t dt完全重构信号的条件 *( ) ( )1w t v t dt Digital Signal Processing q连续STFT变换分析

8、傅里叶变换的绝大多数性质都适用于短时傅里叶变换 信号在矩形区域 内的瞬时功率等于 ,22tt2( ,)STFT tSTFT变换结果 用色谱图（谱图Spectgram）或三维图形形式表示 2( ,)STFT tDigital Signal Processing q序列信号STFT变换的定义 分析信号 分析窗 STFT变换 ( ),x n n ( ),w n nMM ( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e Digital Signal Processing q序列信号的STFT逆变换 n时刻 的傅里叶逆变换 ( ,)STFT n 当n=m,w(m)不等于0 1( )( ) (

9、)( ,)2jmnx mx m w nmSTFT ned1( )( ,)2(0)jnx nSTFT nedwDigital Signal Processing q从滤波角度分析序列STFT变换 固定频率处STFT的滤波实现形式 000( ,)( )()( )*( )jmjnmSTFT nx m ew nmx n ew n Digital Signal Processing 不同频率处STFT的滤波实现形式 Digital Signal Processing STFT固定频率处的另一种滤波实现形式 ()( ,)() ( )()( )( )*( )jn mmj nj mj nj nmSTFT nx

10、 nm w m eex nmw m eex nw n e Digital Signal Processing 第二种STFT滤波实现结构的完整结构 Digital Signal Processing STFT滤波实现结构中频率点的选择保证扫描整个频率轴，频点间隔需小于分析窗带宽Digital Signal Processing q离散STFT变换的定义 分析信号 分析窗 STFT变换 ( ),0 x n n ( ),0 1ww n nN( ,)( ) ()j mmSTFT nx m w nm e 2( , )() ( ),0,1,.,1,jkmNmSTFT n kx nm w m ekNn (

11、 )() ( )(0) ( ), (1) (1),., (1) (1)nwwx mx nm w mwx n wx nw Nx nNDigital Signal Processing STFT频域采样的要求 是一个序列长度等于Nw的短时序列 ( )nx m 离散STFT等效对短时序列周期延拓 据DFT理论，频域最小采样长度是Nw2101( )() ( )( , )NjknNnkx mx nm w mSTFT n k eN2101()( , )( )NjknNkx nmSTFT n k eNw m 逆离散STFT变换 Digital Signal Processing 加窗区间的选择n0时刻的短时

12、序列 0( ),0,1,.,1nwxm mN001wnnNn0时刻的离散短时傅里叶变换 00(, )( )nSTFT n kDTF xm当 时可由短时傅变重构短时序列 wNN重建完整信号 分析窗滑动间隔R需满足：( ),x n n wRN考虑分析窗滑动间隔R后的STFT变换2(, )() ( )0,1,.,1,jkmNmwSTFT rR kx rRm w m ekNrRNN Digital Signal Processing 离散STFT变换的二维分布 Digital Signal Processing Matlab用于离散STFT变换的分析函数 specgram（x，nfft，windows

13、（Nw），overlap） Digital Signal Processing 例10-3-1 试用短时傅里叶变换分析线性调频信号的频谱图 fs = 10000;t = 0:1/fs:2;x = vco(sawtooth(2*pi*t,.75),0.1 0.4*fs,fs);specgram(x,512,fs,kaiser(256,5),220) Digital Signal Processing q分析窗长度的选择 时域分辨率低时域分辨率高频域分辨率低频域分辨率高(a)(b)Digital Signal Processing q戈勃（Gabor）变换 用窗函数对时频相平面直接进行分割 设窗函

14、数g(t)时频局域化区间 ,22tt窗函数对时频相平面的分割 Digital Signal Processing Gabor 变换窗函数时间方向移动n步，频率方向移动k步Gabor基：0,0( )()jktn kgtg tnT e,( ), ,n kgt n kZ002T ,( )( , )( )n knkx tG n k gt当 信号可按Gabor基唯一展开称Gabor变换系数 002T 称时频欠采样( , )G n kDigital Signal Processing q戈勃（Gabor）变换和STFT的关系 函数 满足完备性条件 ( ) t*,( )( )()n kn knkgtttt0*,0( , )( )( )( )()jkn kG n kxdxnT ed STFT变换*( ,)( )()jSTFT txwted00( , )(,)G n kSTFT nT kGabor变换等效对连续STFT变换在时域和频域进行二维抽样 Digital Signal Processing q二次型时频分布 当信号具有很强的非平稳性时，