定积分换元法和分部积分法ppt课件

1、第三节第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法一、换元积分法二、分部积分法二、分部积分法定理5.6 设函数f(x)在区间a,b上延续，假设满足以下条件：，ba)(,)() 1 ()(tx一、换元积分法 上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.d)()(d)(tttfxxfba(2)当t在与之间变化时， 的值在区间a,b ，且 延续,那么)(t)(t，有，令因为CtFtttftxCxFxf)(d)()( )()()(. )()(d)( ,)()(aFbFxxfbaxfxFba上的一个原函数，有在为设.,)(,)(上可积在上连续，所以在因baxfbaxf证明

2、，得)()( )()(d)( )( aFbFFFtttf.d)()(d)(ttxfxxfba留意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限.(2)在换元之后，按新的积分变量进展定积分运算，不用再复原为原变量.(3)新变元的积分限能够，也能够，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .ba)(,)(tax tbx .d194xxxtttd )111(232例1 求，则令ttxxtxtd2d,2解，时，当时，当3924txtx3223294d1112d21d1 tttttttxxxln4.7 1ln22322ttt.dcossin204xxx例2 求，则时，当时

3、，当1200txtx104204ddcossinttxxx，则令txxtxddcossin解.5151105t204204)d(sinsindcossinxxxxx方法二205sin51x551(sin)(sin0) 5215例3 求e11+lnd .xxx解ee111+lnd(1+ln )d(1+ln )xxxxx2 e11(1ln ) |2x221(1lne)(1ln1) 23.2例4 求32211d .1xxx解 令x=tant,那么dx=sec2tdt.且当x=1时, ;4t当 时,3x .3t3232221411dsec dtansec1xt tttxx324cosdsinttt32

4、41d(sin )sintt341|sint 222()23.332 . 0d)( ,)()2( ,d)(2d)( ,)() 1 ( 0aaaaaxxfaaxfxxfxxfaaxf则上连续，且为奇函数，在若则上连续，且为偶函数，在若证明例5txtxxxfadd d)(0，令对于aaaaxxfttfttfxxf0000d)(d)( d)(d)(aaaaaxxfxfxxfxxfxxf000d)()( d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(证明，有时，当时，则当00txatax.d)(2d)( 0aaaxxfxxf(1)假设f(x)为偶函数,即f(x)=f(x),即f(x

5、)=f(x)=2f(x)那么有(2)假设f(x)为奇函数,即f(x)= f(x)，即f(x)+f(x)=0那么有. 0d)( aaxxf 例5阐明了延续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化延续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例6 求121sind .1xxx解 由于 在区间1,1 上为奇函数,所以 2sin1xx121sind0.1xxx例7 求.d1)(arctansin1122xxxx, 0d1sin 1 , 11sin1122xxxxx上为奇函数，则有在区间其中,d1)

6、(arctand1sind1)(arctansin11221121122xxxxxxxxxx解上为偶函数，则有在区间而1 , 1122)(arctanxxxxxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122.96d1)(arctansin31122xxxx)(arctand)arctan(2 102xx,9632)(arctan3103x例8 证明,dcosdsin2020 xxxxnn，则时，当时，当，则令02,20dd2txtxtxtx证明ttxxnnd2sindsin0220.dcosdcos2020 xxttnn二、分部积分法，则有、上具有连续导数在区间设函数)( )

7、( ,)(),( xvxubaxvxu. )(uvvuuv,ddd)( ,bababaxuvxvuxuvba上的定积分分别求等式两端在.d|d bababaxvuuvxuv,| d)(babauvxuv例9 求.de102xxxxxxxxxxde2121de 102102102e代入分部积分公式，得,21ddddee22xxvxuxvxu，；，令解221011ee|24x21(e1).422111e( e)244例10 求.de10 xxe210et，则令ttxxtxtd2d,2解101010de2 de2dettxtttx，则时，当时，当1100txtxttttde221010e. 21)e (e2例11 求.darcsi