A115对坐标的曲面积分课件

1、A115对坐标的曲面积分一、有向曲面概念一、有向曲面概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧11.5 第二型的曲面积分第二型的曲面积分(对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分)A115对坐标的曲面积分n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面A115对坐标的曲面积分莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:A115对坐标的曲面积分其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设

2、为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(A115对坐标的曲面积分二、概念的引入二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量A

3、115对坐标的曲面积分( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo A115对坐标的曲面积分xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分分成成n小小块块is ( (is 同同时时也也代代表表第第i小小块块曲曲

4、面面的的面面积积) ), ,在在is 上上任任取取一一点点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .inA115对坐标的曲面积分该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv12. 近似近似iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(

5、14.4.取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量 A115对坐标的曲面积分xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(lim10 iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(lim10 niiiiSnv1dSRQP)coscoscos( iS ),(iii ivindxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( A115对坐标的曲面积分 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdx

6、zyxQ10)(,(lim),( 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 三三. 定义定义.A115对坐标的曲面积分zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRz

7、yxQzyxPA 分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积SnAdSA dA115对坐标的曲面积分存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲在有向光滑曲面上连续时面上连续时, ,对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在. .物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 在单位时间内流向在单位时间内流向指定侧的流体的质量指定侧的流体的质量. .A115对坐标的曲面积分性质性质: 2121. 1Rd

8、xdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2A115对坐标的曲面积分四、对坐标曲面积分的计算四、对坐标曲面积分的计算 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续. . ),(yxfz xyD

9、xyzoxys)( A115对坐标的曲面积分 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(即即A115对坐标的曲面积分,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xz

10、yy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .A115对坐标的曲面积分计算时应注意以下两点计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”( , , ) , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy一投一投二代二代三定号三定号A115对坐标的曲面积分解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyx

11、xydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr A115对坐标的曲面积分 ydzdxdydzxdxdy)1(, ,其其中中 是是平平面面 x x= =0 0, , y y= =0 0, , z z= =0 0, ,x x+ +y y+ +z z= =1 1 所所围围成成的的空空间间区区域域的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧；例例2 1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1解解:043 xyxyDDdxdydxdydxdydxdydxdy yzyzyzDDDdydzzydydzzydydzdydzx

12、dydzxdydzx)1()2()1()1()1(41 xzDdxdzzxydxdzydxdzydxdz)1(4231)1(2)1( xzDdxdzzxydxdzdydzxdxdyA115对坐标的曲面积分例例3. 计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyA115对坐标的曲面积

13、分22222224,(0)sxdydzz dxdyIsxyRxyzzR zR R 例计算其中 是由曲面及两平面所围立体表面的外侧。12220sxdydzxyz解12222sR dxdyxyR032222 szyxdxdyz3322222222yzsDRy dydzxdydzxyzRz1s2s3sxyz22220sxdydzxyz12222sz dxdyxyz22222sR dxdyxyR22222sz dxdyxyzA115对坐标的曲面积分五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域

14、域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsnA115对坐标的曲面积分曲面曲面的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面

15、的的两两侧侧均均成成立立) )A115对坐标的曲面积分dSRQPdxdyRQdzdxPdydzI)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPIyDxxy1),(,)(,(,)(,(, 则则有有给给出出由由如如果果,),(yxzz dsRQPI)coscoscoscoscoscoscos( 1, yxzznnnznzyx1cos,cos,cos A115对坐标的曲面积分yxz111例例1. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d21

16、0202yxDyxyxdd)1(22nA115对坐标的曲面积分解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2A115对坐标的曲面积分 dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 A115对坐标的曲面积分在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyx

17、fdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例3xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos A115对坐标的曲面积分dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 A115对坐标的曲面积分所所截截部部分分的的外外侧侧被被平平面面锥锥面面为为其其中中计计算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解,2222yxyfyxxfyx D , 1 zfzyxzyxf 22),(A115对坐标的曲面积

18、分 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxyA115对坐标的曲面积分221cosyxx例例5. 计算曲面积分其中解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx A115对坐标的曲面积分)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 A115对坐标的曲面积分内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( A115对坐标的曲面积分性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscosc