第三章杆件的强度与压杆稳定

1、建筑力学与建筑结构建筑力学与建筑结构教学课件教学课件问题提出：问题提出：F FP PF FP PF FP PF FP P1. 1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 2. 强度强度 (1)(1)内力在截面分布集度内力在截面分布集度应力；应力； (2)(2)材料承受荷载的能力。材料承受荷载的能力。第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念 FR AK总应力：总应力：受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的受力杆件截面上某一点处的内力集度称为该点的应力应力。AFAFpAddlimRR0 总应力总应力p p是一个矢量，通常情况下，它既不与截面垂是一个矢量，通

2、常情况下，它既不与截面垂直，也不与截面相切。直，也不与截面相切。 为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截为了研究问题时方便起见，习惯上常将它分解为与截面垂直的分量面垂直的分量和与截面相切的分量和与截面相切的分量。第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念总应力分解为总应力分解为与截面与截面相切相切p K 工程中应力的单位常用工程中应力的单位常用Pa或或MPa。 1Pa=1N/m2 1MPa=1N/mm2另外，应力的单位有时也用另外，应力的单位有时也用kPa和和GPa，各单位的换算，各单位的换算情况如下：情况如下： 1kPa=103Pa， 1GPa=109Pa=103MPa 1MPa

3、=106Pa正应力正应力剪应力剪应力与截面垂直与截面垂直第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念说明：说明： （1 1）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，）应力是针对受力杆件的某一截面上某一点而言的，所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。所以提及应力时必须明确指出杆件、截面、点的名称。 （2 2）应力是矢量，不仅有大小还有方向。）应力是矢量，不仅有大小还有方向。 （3 3）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点）内力与应力的关系：内力在某一点处的集度为该点的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。的应力；整个截面上各点处的应力总和等于该截面上的内力。

4、第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念二二 变形变形位移和应变位移和应变 1、位移（变形位移）、位移（变形位移）线位移：物体中一点相对于原来位置所移动的直线距离。线位移：物体中一点相对于原来位置所移动的直线距离。FAA角位移：物体中某一直线或平面相对于原来位置所转过的角位移：物体中某一直线或平面相对于原来位置所转过的角度。角度。第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念2、应变、应变yyxxAAyx线应变线应变xxxxxlim00limyyyyy 切应变切应变)(lim0, 0yx第一节第一节 应力与应变的概念应力与应变的概念屋架结构的简化屋架结构的简化一一 轴向拉伸和压缩的概念轴

5、向拉伸和压缩的概念 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短轴向伸长或缩短。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 两个两个F FP P力指向端截面，使杆发生纵向收缩，称为力指向端截面，使杆发生纵向收缩，称为轴向压力。轴向压力。FPFPFPFP 在杆的两端各受一集中力在杆的两端各受一集中力F FP P作用，两个作用，两个F FP P力大

6、小相力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线重合等，指向相反，且作用线与杆轴线重合 两个两个F FP P力背离端截面，使杆发生纵向伸长，称为力背离端截面，使杆发生纵向伸长，称为轴向拉力轴向拉力。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 轴向拉（压）杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合轴向拉（压）杆的内力是一个作用线与杆件轴线重合的力，习惯上把与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用的力，习惯上把与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号符号FN表示。表示。 轴力的正负规定轴力的正负规定: : FN与外法线同向与外法线同向,为正轴力为正轴力(拉力拉力)FN与外法线反向与外

7、法线反向,为负轴力为负轴力(压力压力)FNFNFNFN第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。基础。求内力的一般方法是截面法。 截面法的基本步骤：截面法的基本步骤： （1 1）截开）截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。一分为二。 （2 2）代替）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。用作用

8、在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 （3 3）平衡：）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力。知外力来计算杆在截开面上的未知内力。轴向拉伸和压缩截开：截开：FPFPmmFNFPmmxFNFPmm由平衡方程由平衡方程 Fx=0， FN-FP=0 得得 FN=FP（）截（）截（3 3）代）代（4 4）平）平轴向拉伸和压缩（2 2）取）取120kN20kN30kNABCD12233Fx= 0 FN1 + 20 = 0FN1= -20kN 于于1-11-1截面处截面处将杆截开，取右将杆截开，取右段为分离体，设段为分离体，

9、设轴力轴力 为正值。为正值。则则例例1 1 试求等直杆指定截面的轴力。试求等直杆指定截面的轴力。FN120kND第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变20kN20kNFN2DC于于2-22-2截面截面处将杆截开，处将杆截开，取右段为分离取右段为分离体，设轴力为体，设轴力为正值。则正值。则120kN20kN30kNABCD12233Fx= 0 -FN2 +20- 20 = 0FN2= 0 第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN320kN20kN30kNDCB 于于3-33-3截面截面处将杆截开，处将杆截开，取右段为分离取

10、右段为分离体，设轴力为体，设轴力为正值。则正值。则120kN20kN30kNABCD12233Fx= 0 -FN3+30+20- 20 = 0FN3= 30kN第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧任一截面上的轴力的数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。时为正，受压时为负。FN=F结论结论120kN20kN30kNABCD12233FN1= -20kNFN2= 0 FN1= -20kN第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸

11、（压缩）杆的应力与应变 为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，为了形象地表明杆的轴力随横截面位置变化的规律，通常以平行于杆轴线的坐标（即通常以平行于杆轴线的坐标（即x坐标坐标）表示横截面的位置，表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标（即以垂直于杆轴线的坐标（即FN坐标坐标）表示横截面上轴力的表示横截面上轴力的数值数值，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图，按适当比例将轴力随横截面位置变化的情况画成图形，这种表明轴力随横截面位置变化规律的图称为形，这种表明轴力随横截面位置变化规律的图称为轴力图。轴力图。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变意义

12、：意义： （1 1）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；）反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； （2 2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。 求轴力的方法为截面法，一般所求截面上的内力求轴力的方法为截面法，一般所求截面上的内力采用采用“设正法设正法”，即无论受力如何，将内力一律，即无论受力如何，将内力一律设为拉力。结果正，表明该轴力为拉。设为拉力。结果正，表明该轴力为拉。 轴力图与杆件应注意一一对应的关系，应在其值轴力图与杆件应注意一一对应的关系，应在其值变化

13、的角点标出数值。变化的角点标出数值。 截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作用点处轴力发生突变，其值是不定值。用点处轴力发生突变，其值是不定值。画轴力图注意的问题画轴力图注意的问题120kN20kN30kNABCD12233第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 例例 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：段：kN1020302NFDE 段：段：kN201NFAB段：段：kN402030303NF30kN20kN30kNADEBC402010+FN图（图（kN）：内力的大小与

14、杆截面的内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。大小无关，与材料无关。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 轴力图要求：轴力图要求：直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。ABCED正负号正负号数值数值阴影线与轴线垂直阴影线与轴线垂直图名图名第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FPFP变形规律试验：变形规律试验： 观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行；都伸长了，而且伸长量都相等，并且

15、仍然都与轴线平行；所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只是它们之间的相对距离增大了。是它们之间的相对距离增大了。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，根据从杆件表面观察到的现象，从变形的可能性考虑，可推断：可推断： 轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。轴向拉杆在受力变形时，横截面只沿杆轴线平行移动。 由此可知：由此可知：横截面上只有正应力横截面上只有正应力。 假如把杆想象成是由许多纵向纤维组成的话，则任意两假如把杆想象成是由许多纵向纤维

16、组成的话，则任意两个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间个横截面之间所有纵向纤维的伸长量均相等，即两横截面间的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应的变形是均匀的，所以拉（压）杆在横截面上各点处的正应力力都相同。都相同。 FNFP第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力通过上述分析知：轴心拉杆横截面上只有一种应力正应力，正应力，并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横并且正应力在横截面上是均匀分布的，所以拉杆横截面上正应力的计算公式为截面上正应力的计算公式为AFN式中式中 A拉（压）杆

17、横截面的面积；拉（压）杆横截面的面积； FN轴力。轴力。 当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号；当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截对于等截面直杆，最大正应力一定发生在轴力最大的截面上。面上。 习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为习惯上把杆件在荷载作用下产生的应力，称为工作应工作应力力。 通常把产生最大工作应力的截面称为通常把产生最大工作应力的截面称为危险截面危险截面，产生，产生最

18、大工作应力的点称为最大工作应力的点称为危险点危险点。AFmaxNmax 对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截对于产生轴向拉（压）变形的等直杆，轴力最大的截面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。面就是危险截面，该截面上任一点都是危险点。第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 例例3-13-1 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知的应力。已知 F=20kN；斜杆；斜杆AB为直径为直径20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CB为为1515的方截面杆。的方截面杆。FABC 解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力

19、。 用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象4512BF1NF2NFxy45第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 0yFkN3 .281NFkN202NF 0 xF045cos21NNFF045sin1 FFNBF1NF2NFxy452 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。MPa90204103 .2823111AFNMPa8915102023222AFN第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变F1F2F3l1l2l3ABCD第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变F1

20、F2F3l1l2l3ABCDF1FN1)(kN2001N1N1 FFF第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变F2F1FN2F1F2F3l1l2l3ABCD)(kN1502N2N21 FFFFFFN3)(kN5003NR3N FFFD第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）15+-2050F1F2F3l1l2l3ABCD第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN2 =-15kN ( - )FN1 =20kN

21、（+）FN3 =- 50kN ( - )F1F2F3l1l2l3ABCD)(MPa.N 8 81761761 11 1AFAB )(MPa.N 6 674742 22 2AFBC )(MPa.N 5 51 11 10 03 33 3AFDC 第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变Fkk F coscos AFAFpFkkFp AFp cosAA FF 第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 2coscosp sinsin22p Fkk FFkkxn p第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应

22、变 Fkk FFkkxn p第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 max2 2 max2 2 min0 00 0 ,2coscospsinsin22p xnFkk 第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变五五FFbh h1 lllll 1 1第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变bbbbb 1 1 FFbhh1 bbb 1第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变 AFN ll E EAlFlN 第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）

23、杆的应力与应变F1F2F3l1l2l3ABCD第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变FN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）15+-2050F1F2F3l1l2l3ABCD第二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变F1F2F3l1l2l3ABCDm102.534-N 1 11 11 1EAlFlABm101.424-N 2 22 22 2EAlFlBCm101.584-N 3 33 33 3EAlFlCD-0.3mm BCCDBllumm10-0.474- CDBCABADllll第

24、二节第二节 轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变轴向拉伸（压缩）杆的应力与应变Nmaxmax AFNmax FA NmaxAF AFmaxN 第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件FABCFF3000400037024021kNN50501 1 FFkNN1 15 50 03 32 2 FF第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件FABCFF300040003702402150kN150kNMPa.N/m.2N8 87 70 01 10 08 87 70 02 24 40 02 24 40 05 50 00 00 00 06 61 11 11 1 AF MPa.

25、N/m.2N1 11 110101 11 137370 037370 01500001500006 62 22 22 2 AF max 第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件ABCF1m第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件ABCF1mFAxy第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件FAxy0 030300 01 1 FFFysinN0 00 01 12 2 cos30NNFFFxFFFF7327321 12 22 21 1.NN 22mm6 62 26 61 11 10 02 28 86 60 02 21 14 43 30 01 10

26、 02 21 17 72 22 21 10 08 86 6 AA第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件AFmaxN FFFF732. 122N1N kN.N2 24 43 36 69 91 11 1 AF kN.N2 20 04 48 86 62 22 2 AF kN.N6 61 18 84 42 21 11 1 FFkN.N7 72 28 80 07 73 32 21 12 22 2 FF第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件2aaFABDC第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件2aaFABDCCDFACBFFMCDA230N /N

27、232119MPa4CDFFAd N AFCDCD第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件F=33.5kN2aaFABDCCDFACB2 23 3FAFCD N N AFCDCD/N 2 23 3FFACD / 2324dF 第四节第四节 轴向受力构件的强度条件轴向受力构件的强度条件 CD梁段横截面上梁段横截面上只有弯矩只有弯矩,而没有剪力，而没有剪力，这种平面弯曲称为这种平面弯曲称为纯纯弯曲。弯曲。 AC和和DB 梁段横截梁段横截面上不仅有弯矩还伴面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯有剪力，这种平面弯曲称为曲称为横力弯曲横力弯曲。MFPaFQFPFPFPFPaaCDAB第五

28、节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：观察变形观察变形应力分布应力分布应力计算公式应力计算公式 与与物理关系物理关系静力学关系静力学关系第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件Oyxzbhoyz观察纯弯曲梁变形现象观察纯弯曲梁变形现象o1ao2b12121. 几何变形方面几何变形方面第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件zyxoMMOyz* 所有纵向线都弯成曲线

29、，仍与横向线垂直，靠近凸边的所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。* 横向线仍为直线但转过了一个角度；横向线仍为直线但转过了一个角度；* 矩形截面的上部变宽下部变窄。矩形截面的上部变宽下部变窄。1212MMo1a1o2b1第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 ：梁变形后其横截面仍保持为平面，且梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。维之间无挤压。 ：将梁看

30、成由无数条纵向纤维组成，将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件根据现象，推测梁内部变形根据现象，推测梁内部变形中性层中性层MMzy中性轴中性轴受压区受压区受拉区受拉区 ：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层层，称为中性层。 ：中性层与横截面的交线称为中性轴，中性层与横

31、截面的交线称为中性轴， 由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。其横截面绕中性轴旋转某一角度。 第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件1212o1ao2b1212o1ao2b1122MMdx梁中取出的长为梁中取出的长为dx的微段的微段变形后其两端相对转了变形后其两端相对转了d 角角a1b1O2O1dr第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯

32、曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件距中性层为距中性层为y处的纵向纤维处的纵向纤维ab的变形的变形式中式中为中性层上的纤维的曲率半径。为中性层上的纤维的曲率半径。可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与y y成正比。成正比。 则纤维的应变为则纤维的应变为原长：dxdOOabr21 211111OObaababbaO1O2rrrryyddd)(a1b1O2O1d r r1212o1ao2b变形后长：rdyba)(11第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 2. 物理关系方面物理关系方面 由于假设梁内各纵向纤维只受拉

33、伸或压缩，所以当材料由于假设梁内各纵向纤维只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为力为 rEyE 梁横截面上任一点处的正应力与该梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应弯曲正应力沿截面高度成线性分布。力沿截面高度成线性分布。 中性轴上各点处的正应力等于零，中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。大值。第五节第五节 梁的弯曲

34、应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件xyzOdA坐标系的选取坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。轴：截面的纵向对称轴。z轴：中性轴。轴：中性轴。x轴：沿纵向线。轴：沿纵向线。 受力分析受力分析：dA上的内力为上的内力为dA，于是整个截面上所有内力，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力所以横截面法向的轴力FN和力偶矩和力偶矩My应为零，即：应为零，即：ANdAF00dAzAyMAzMMdAyFx0My=0Mz=M(y z)M3. 静力学关系方面静

35、力学关系方面第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件ANdAF00dAzAyMAzMMdAy0SZAEydAErr故：Sz = 0 即中性轴即中性轴 z 必过横截面的形心必过横截面的形心。ry代入胡克定律：代入胡克定律：0rE及：及：0yzAIEdAyZErr故：Iyz0， y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。为横截面的形心主惯性轴。MEdAEIyZArr2（中性层曲率公式）（中性层曲率公式）故：zEIMr1第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件其中其中

36、1 1是梁轴线变形后的曲率。称是梁轴线变形后的曲率。称EIEIZ Z为梁的抗弯刚度。为梁的抗弯刚度。zIMyZEIMr1得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：ry代入代入：表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。成反比。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件zIMy计算时公式中代入计算时公式中代入M和和y的的绝对值。绝对值。的正负可由弯矩的正

37、的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断负和所求点的位置来判断. .-+zMzM+-第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件zIMy适用条件是：适用条件是： (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。 (2) 正应力不超过材料的比例极限。正应力不超过材料的比例极限。 (3) 梁产生纯弯曲。梁产生纯弯曲。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应

38、力，而且有切应力。截面是不仅有正应力，而且有切应力。zIyxM)(hlhl 对于跨度与截面高度之比对于跨度与截面高度之比 大于大于5 5的横力弯曲梁，横截的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。越大，误差就越小。 梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。假设不再成立。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件若截面是高为若截面是高为h

39、 ，宽为，宽为b的的矩形，则的的矩形，则6212223bhhbhhIWzz123bhIz 若截面是直径为若截面是直径为d的圆形，则的圆形，则32264234ddddIWzz644dIzzIMy第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件zzWyImax式中式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截面模量。单位：性轴的抗弯截面模量。单位：m3或或mm3 。zIyMmaxmaxmax 若截面是外径为若截面是外径为D、内径为、内径为d的空心圆形，则的空心圆形，则 43441322642DD

40、dDDIWzzDdDd44164DIz 对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录附录”型钢表中查出。型钢表中查出。 第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 例例 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q作用，试完成：作用，试完成：(1) 求距左端为求距左端为m的的C截面上截面上a、b、c三点的正应力。三点的正应力。(2) 求梁的最大正应力求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。值，并说明最大正应力发生在何处。(3) 作出作出C截面上正应截面上正应力沿截面高度的分布图。力沿截面高度的分布图

41、。 12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件解解 （1）求指定截面上指定点的应力）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力,由对称性C截面积的弯矩 矩形截面对中性轴z的惯性矩82qlMC=(5.2513.510.5)kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200q=3.5kN/mABc3m1m第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 计算计算C截面上截面上a、b、c三点三点的正应力的

42、正应力：)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76拉应力zacaIyM)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉应力zbcbIyM)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76压应力zcccIyM12050abc200第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。 梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面

43、的边缘处。其最大正应力的值为MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(3) 作作C截面上正应力沿截面高度的分布图。截面上正应力沿截面高度的分布图。MPa38. 4MPa38. 4第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件bISFzz*Q式中，式中，FQ需求切应力处横截面上的剪力；需求切应力处横截面上的剪力； Iz为横截面对中性轴的惯性矩；为横截面对中性轴的

44、惯性矩； Sz*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以 上（或以下）部分的面积上（或以下）部分的面积 对中性轴的静矩；对中性轴的静矩； b为横截面的宽度。为横截面的宽度。bhyzyFQ1. 矩形截面梁矩形截面梁第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件二、弯曲剪应力二、弯曲剪应力bISFzzQmaxmax 切应力的分布规律：切应力的分布规律： 1) 切应力的方向与剪力同向平行。切应力的方向与剪力同向平行。 2) 切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与

45、中性轴等距离的点切应力均相等。性轴等距离的点切应力均相等。 3) 切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为的最大值，其值为第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件bhFQ5 . 1max将将代入上式得以及1284232maxbhIbhhASzz 说明：矩形截面梁任一说明：矩形截面梁任一横截面上的最大切应力发生横截面上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面在中性轴上，其值为该

46、截面上平均切应力上平均切应力FQ/A的的1.5倍倍，切应力沿截面高度的分布，切应力沿截面高度的分布规律如图示。规律如图示。 zyFQ第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件2.2.工字形截面梁工字形截面梁maxmin结论：结论： 翼缘部分翼缘部分 max腹板上的腹板上的 max，只计算腹板上的只计算腹板上的 max。 铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力故工字钢最大剪应力bISFzz*Q1*maxQmaxbISFzz11QmaxbhF平均式中，h1腹板的高度。b1腹板的宽

47、度。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。面上矩中性轴最远处。maxzIyMmaxmaxmaxzzWyImaxzWMmaxmax令：1. 梁的最大正应力梁的最大正应力 习惯上把产生最大应力的截面称为习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面危险截面，产生最，产生最大应力的点称为大应力的点称为危险点危险点。M 第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如对于

48、中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。型截面的等直梁。yy1y2Cz 同一横截面上同一横截面上tmax cmax ，这时整个梁的，这时整个梁的tmax 或或 cmax不不一定发生在一定发生在|Mmax| 截面处，截面处，需对最大正弯矩和最大负弯矩处需对最大正弯矩和最大负弯矩处的的 tmax和和 cmax分别计算。分别计算。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件2. 2. 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算 zWMmaxmaxcmaxctmaxt 对于抗拉和抗压能力相同的对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料塑性材料（如低碳钢），由（

49、如低碳钢），由于于 ，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：ct 对于抗拉和抗压能力不同的对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料脆性材料（如铸铁），由于（如铸铁），由于 ，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：ct第五节第五节 梁的弯曲

50、应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 一般截面，最大剪一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。最大的截面的中性轴处。zyFQ max梁的切应力强度条件表达式为：梁的切应力强度条件表达式为：第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件弯曲剪应力验算范围弯曲剪应力验算范围 在工程中的梁，大多数并非发生纯弯曲，而是横力在工程中的梁，大多数并非发生纯弯曲，而是横力弯曲。弯曲。 由于其绝大多数为细长梁，由于其绝大多数为细长梁，并且在一般情况下，细并且在一般情况下，细长梁的强度取决于

51、其正应力强度长梁的强度取决于其正应力强度，而无须考虑其切应力，而无须考虑其切应力强度。但强度。但在遇到梁的跨度较小或在支座附近作用有较大在遇到梁的跨度较小或在支座附近作用有较大载荷；载荷；铆接或焊接的组合截面钢梁；铆接或焊接的组合截面钢梁；木梁等特殊情况木梁等特殊情况，则必须考虑切应力强度。则必须考虑切应力强度。第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件3. 3. 强度条件应用强度条件应用 强度校核强度校核: maxmaxzWM 设计截面设计截面: zzWMWMmaxmaxmax 确定许用荷载确定许用荷载 : maxmaxmaxMWWMzz第

52、五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 例例 图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形bh=140mm210mm，梁的跨度，梁的跨度l=4m，荷载，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力，材料的弯曲许用应力 =11MPa，试校核该梁的，试校核该梁的正应力强度。正应力强度。FAyFByhbz解：（解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力求支座反力,由对称性由对称性FBy= FAy= 7kNqABl=4mFP第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪

53、应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件10kNm (2) 计算截面的几何参数。计算截面的几何参数。 再作梁的弯矩图，如图示。再作梁的弯矩图，如图示。36322mm1003. 1mm)6210140(6bhWzhbz 从图可知：跨中截面上弯矩从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为最大，其值为Mmax=10kNm 。FAyFByqABl=4mFP第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件(3) 校核梁的正应力强度。校核梁的正应力强度。MPa71. 9MPa1003. 1101066maxmaxzWM该梁满足正应力强度要求。该梁满足正应

54、力强度要求。 MPa11max第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件y2y1C 例例 T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为分别为t=45MPa，c=175MPa，截面对中性轴的惯性矩，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.7310-6m4，下边缘到中性轴的距离，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘，上边缘到中性轴的距离到中性轴的距离y2=38mm。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。4FP1=40kN0.3m0.3m0.3mFP2=15kNABCD第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正

55、应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件 解：解：(1) 求梁在图示荷载作求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。用下的最大弯矩。 kN40kN15ByAyFF)(kNm5 . 4max下拉、上压MMC（上拉、下压）kNm3maxMMB4.5kNm3kNmFP2=15kNDFP1=40kN0.3m0.3mABC0.3m第五节第五节 梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件B截面和C截面应力分布规律图y2y1CkNm5 . 4maxMMCkNm3maxMMB C C截面截面maxtmaxc B B截面截面maxcmaxt第五节第五节 梁的弯曲应

56、力、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件czBcIyMMPa7 .37101073. 57210312661max tzBIyMMPa9 .19101073. 53810312662maxt tzctIyMa5 .56101073. 572105 . 412661maxczccIyMMPa8 .29101073. 538105 . 412662maxB截面满足正应力强度条件。截面满足正应力强度条件。C截面截面B截面截面 C截面不满足正应力强度条件。截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不所以该梁的正应力强度不满足要求。满足要求。第五节第五节 梁的弯曲应力、

57、梁的正应力、剪应力强度条件梁的弯曲应力、梁的正应力、剪应力强度条件讲解例题讲解例题3-9、3-11、3-12梁的合理截面选择梁的合理截面选择 从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯从抗弯截面系数的计算可以推知：一般情况下，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形截面系数与截面高度的平方成正比，所以，合理的截面形状应该是状应该是 1) 通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在通过对矩形、圆形、工字形、正方形截面进行理论计算发现：在横截面的面积横截面的面积A相等的情况下，比值相等的情况下，比值Wz/A从大到小的截面依次是：工字从大到小的截面依次是：工字形、矩形

58、、正方形、圆形；形、矩形、正方形、圆形；zzzz 2) 通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：通过对具有相同截面面积的实心及空心截面进行理论分析发现：不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的不论截面的几何形状是哪种类型，空心截面的Wz/A总是大于实心截面总是大于实心截面的的Wz/A。zzzz 3）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形）对具有相同面积的矩形截面进行理论计算还发现：尽管截面形状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截状和尺寸都没变，只是放置方式不同（中性轴不同），从而使抗弯截面系数不相同。立放的矩形截面面系数不相同。立放的矩形截

59、面Wz/A值比平放的矩形截面值比平放的矩形截面Wz/A值大值大。若若h=2b，梁平放时，梁平放时 Wz/A=b/6，梁竖放时，梁竖放时 Wz/A=b/3。zybhhzyb 注意：注意：上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的上面我们只是单从强度观点出发分析了截面的选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了选择规律，事实上，在实际工程中，选择截面时，除了考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使考虑强度条件外，还要同时考虑稳定性、施工方便、使用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家用合理等因素后才正确选择梁的截面形状。这就是大家所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，

60、所看到的在实际工程中仍然大量使用实心矩形截面梁，而不常使用空心截面梁的原因。而不常使用空心截面梁的原因。 Gz对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中对于抗拉和抗压相同的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达性轴的截面，如圆形、工字形等，使得上、下边缘同时达到材料的许用应力值。到材料的许用应力值。对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中对于抗拉和抗压不相同的脆性材料，最好选用关于中性轴不对称的截面，如性轴不对称的截面，如T T形、槽形等。形、槽形等。 为了充分利用材料，理想的梁应该是在弯矩大的部位采为了充分利用材料，理想的梁应该是在弯矩大的部位