基本不等式张PPT学习教案

1、会计学1基本不等式张基本不等式张1.1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的理解两个实数的平方和不小于它们之积的二倍的不等式的证明；二倍的不等式的证明； 2.2.理解基本不等式的证明以及它的几何解释理解基本不等式的证明以及它的几何解释. .第1页/共18页要做一段周长为要做一段周长为200200米的的栅栏，如何使其面积最米的的栅栏，如何使其面积最大？大？第2页/共18页思考：思考：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 x x、y y，我们有，我们有 xyyx222，当且仅当，当且仅当 x=yx=y 时等号成立时等号成立. . 你能给出它的证明吗？你能给出它的证明吗？ 第3页/共18页证明:

2、 22xy- -xy2= =2xy, , 当当yx 时时2xy0 ,0 ,当xy时，等号成立 所以 xyyx222，当且仅当 x=y 时，等号成立 上式中 xyyx222 ，当且仅当 x=y 时，等号成立 第4页/共18页设 x=a,y=b,则由这个不等式可以得出以下结论： 如果a,b 都是非负数，那么2abab ， 当且仅当a=b 时，等号成立 我们称上述不等式为基本不等式，基本不等式， 其中2ab称为 a,b 的算术平均数算术平均数，ab称为a,b的几何平均数几何平均数。 因此，基本不等式又被称为均值不等式 第5页/共18页A AO OC CB BD D2abab由射影定理可知：由射影定理

3、可知：CD=CD=ab，而，而 OD=OD=2ab 因为因为 ODODCD CD ， 所以所以abba2 当且仅当当且仅当 C C 与与 O O 重合，即重合，即ab时，等号成立时，等号成立 第6页/共18页对于基本不等式，用文字语言可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数从几何的角度可叙述为：圆的半径不小于弦长的一圆的半径不小于弦长的一半半从数列的角度可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项项第7页/共18页 例例 1 1 设设, a b均为正数，证明不等式均为正数，证明不等式abba1

4、12. . 证明证明 因因, a b均为正数，由基本不等式，可知均为正数，由基本不等式，可知 abba1211 也即也即abba112，当且仅当，当且仅当ab时，等号成立时，等号成立 第8页/共18页即即 2DCDEOD =2baab=ba112 在在Rt OCD中，由射影定理可知：中，由射影定理可知： 2DCDE OD 由由 DCDE ，可得，可得 abba112 当且仅当当且仅当ab时，等号成立时，等号成立 如图，如图，ABAB 是圆是圆 O O 的直径，的直径，AC=AC=a, CB=b, CB=b,过点过点 C C 作作ABCD 交圆交圆 O O 上半圆于上半圆于 D D，过过 C C

5、 作作ODCE 交交 ODOD 于于 E E，你你能给出这能给出这个不等式的几何解释个不等式的几何解释吗？吗？ D D A O C BA O C B 第9页/共18页如图如图,在在O上半圆中上半圆中,设设ACa,CBb,OFAB交上半圆于交上半圆于 F,请你请你利用利用FCOF得出一个关于得出一个关于, a b的不等式的不等式,将这个不等式与基本不等式将这个不等式与基本不等式和例和例 1 中的不等式进行比较中的不等式进行比较. 2222()()222abababFC22ababOCa2abOFA O C BA O C B第10页/共18页FCOF由可得：2222abab当且仅当ab时，等号成立

6、 2221122abababab从而：从而：第11页/共18页1 1设设 a、bR，已知命题，已知命题 p：ab，命题，命题 q：(ab2)2a2b22， 则则 p 是是 q 成立的成立的( ) A A必要不充分条件必要不充分条件 B B充分不必要条件充分不必要条件 C C充分必要条件充分必要条件 D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：ab 可得可得(ab2)2a2b22，反之，则不然，故选反之，则不然，故选 B.B. B B第12页/共18页20ab，ab1，则12，b,2ab，a2b2中最大的是( ) A.12 Bb C2ab Da2b2 解析解析：特殊值法特殊值法

7、由由 0a0)，当，当 x10，x20 时，时， 下列关系成立的是下列关系成立的是( ) Af( x1x2)f(x1x22)12f(x1)f(x2) Bf( x1x2)12f(x1)f(x2)f(x1x22) C12f(x1)f(x2)f( x1x2)f(x1x22) Df(x1x22)f( x1x2)12f(x1)f(x2) 第14页/共18页解析：解析：p p00， f f( (x x) )x x2 2pxpxq q的对称轴在的对称轴在y y轴的左侧，轴的左侧，可可画出画出f f( (x x) )的草图的草图 不妨设不妨设x x1 1 x x2 2，由图像看出，由图像看出f f( (x x

8、1 1x x2 22 2)1 12 2 f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2)， 又又x x1 1x x2 2 x x1 1x x2 22 2，f f( (x x) )在在(0(0，) )上为增函数，上为增函数， f f( (x x1 1x x2 2)f f( (x x1 1x x2 22 2) )，当，当x x1 1x x2 2时，时，f f( (x x1 1x x2 2) )f f( (x x1 1x x2 22 2) )1 12 2 f f( (x x1 1) ) f f( (x x2 2)，选选 A.A. 答案：答案：A A 第15页/共18页2.2. 均值不等式链均值不等式链 设设a、bR，则，则2221122abababab （调和均值（调和均值几何均值几何均值算术均值算术均值