分式方程及其解法PPT学习教案

1、会计学1分式方程及其解法分式方程及其解法说说两方说说两方程有何异程有何异同同解解: :vv306030903162xx第1页/共28页分母中含有未知数分母中含有未知数 追问追问1 1方程方程 与上面的方程有什么共同特征？与上面的方程有什么共同特征？21211023525=+-+- -xxxx；21133=+=+xxxx第2页/共28页追问追问2你能再写出几个分式方程吗你能再写出几个分式方程吗？分式方程的概念：分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程注意：注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在

2、分母中不在分母中第3页/共28页22124112321112131453- -+=+=- - -+=+=xxxxxxx（）； （ ）；（ ）； （ ） （2）（）（3）（1）第4页/共28页解得：解得：下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：下面我们一起研究下怎么样来解分式方程：方程两边同乘以（方程两边同乘以（30+v）（）（30-v） ，得：，得：）（vv3060)30(906v在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。检验检验：将：将v=6代入分式方程，左边代入分式方程，

3、左边=2.5=右边，右边，所以所以v=5是原分式方程的解。是原分式方程的解。vv30603090一元一次方程一元一次方程第5页/共28页思考思考: 分式方程的特征是什么？分式方程的特征是什么？ 如何解刚才的分式方程？如何解刚才的分式方程？ 上面分式方程中各分母的最简公分母是：上面分式方程中各分母的最简公分母是： (30+v)(30v) 方程方程两边同乘两边同乘(30+v)(30v) ，得：得： 90(30-v)=60(30+v) 解得：解得： v=6检验：将检验：将v=6代入原方程中，左边代入原方程中，左边=2.5=右边右边， 因此因此 v=6是分式方程的解是分式方程的解. 答：江水的流速为答

4、：江水的流速为6千米千米/时时. 解分式方程的解分式方程的基本思路基本思路是将是将分式方程化分式方程化为整式方程为整式方程，具体做法是，具体做法是“去分母去分母”，即方，即方程左右程左右两边同乘最简公分母两边同乘最简公分母，然后解方程即，然后解方程即可可. .第6页/共28页从去分母后所得的整式方程从去分母后所得的整式方程中解出的中解出的x+5=10能使分式方程的分母为能使分式方程的分母为0的解的解解分式方程：解分式方程：25x105x12 解：方程两边同乘以最简公分母（解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（）（x+5），得：），得：解得：解得：x=5检验：检验： 将将x=5代入代入x-5、

5、x2-25的值都为的值都为0，相应，相应分式无意义。所以分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解不是原分式方程的解。原分式方程无解。原分式方程无解。增根增根第7页/共28页增根的定义增根的定义增根增根:在去分母在去分母,将分式方程转化为整式方将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根程的过程中出现的不适合于原方程的根.产生的原因产生的原因:分式方程两边同乘以一个分式方程两边同乘以一个后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程而不是分式方程的根的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验公分母检验使最简公分母值为零的根

6、使最简公分母值为零的根 第8页/共28页 对于原分式方程的解来说，必须要求使对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各方程中各分式的分母的值均不为零分式的分母的值均不为零，但变，但变形后得到的整式方程则没有这个要求形后得到的整式方程则没有这个要求. .如果如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式说使变形时所乘的整式（各分式的最简公（各分式的最简公分母）分母）的值为零，它就不适合原方程，即的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根是原分式方程的增根. .第9页/共

7、28页1、上面两个分式方程中，为什么、上面两个分式方程中，为什么909030+V30+V60603030-V V= =去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而去分母后得到的整式方程的解却不去分母后得到的整式方程的解却不1 1x-51010= =x2-25是原分式方程的解呢？是原分式方程的解呢？1 1x-51 10 0= =x2-25我们来观察去分母的过程我们来观察去分母的过程909030+V30+V60603030-V V= =90(30-v)=60(30+v)90(30-v)=60(30+v)x+5=10 x+5=10两边同乘两边同乘(30+v)(30

8、-v)(30+v)(30-v)当当v=6v=6时时,(30+v)(30-v),(30+v)(30-v)0两边同乘两边同乘(x+5)(x-5)当当x=5x=5时时, , (x+5)(x-5)=0分式两边同乘了不为分式两边同乘了不为0的式子的式子,所得整式方程所得整式方程的解与分式方程的解相同的解与分式方程的解相同.分式两边同乘了等于分式两边同乘了等于0的式子的式子,所得整式方程的所得整式方程的解使分母为解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式这个整式方程的解就不是原分式方程的解方程的解.第10页/共28页2、怎样检验所得整式方程的解是否是、怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？原分式方

9、程的解？将整式方程的解代入最简公分母，如果将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为，则整式方程的最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解是原分式方程的解第11页/共28页解分式方程解分式方程：25x105x12 方程两边同乘以最简公分母（方程两边同乘以最简公分母（x-5）（）（x+5），得：），得：x+5=10解得：解得：x=5检验：当检验：当x=5时时最简公分母（最简公分母（x-5）（）（x+5）=0，所以所以x=5是增根。是增根。原分式方程无解。原分式方程无解。为什么会产为什么会产生增根？增生增根？增根

10、产生的原根产生的原因？因？例例1：第12页/共28页解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤:1.1.去分母。去分母。化分式方程为整式方程化分式方程为整式方程.即即把分式方程两边把分式方程两边同同乘以最简公分母乘以最简公分母.2.2.解这个整式方程解这个整式方程. .3.3.检验检验. .把整式方程的把整式方程的解解(根根) 代入代入最最简公分母简公分母, , 若结果为零则是增根若结果为零则是增根,必须必须舍去舍去,若结果不为若结果不为0,则是原方程的根则是原方程的根.4.4.写结论写结论一化一化二解二解三检验三检验第13页/共28页例例1:xx332:解方程 解：方程两边同乘解：方程两边同乘

11、x(x3) ，得：得： 2x=3x9 解得：解得： x=9 检验：将检验：将x=9时时x(x3) 0 因此因此 9是分式方程的解是分式方程的解.分式方程分式方程整式方程整式方程解整式方程解整式方程检检 验验转化转化第14页/共28页)2)(1(311:xxxx解方程类似的类似的第15页/共28页例例2: 解：方程两边同乘解：方程两边同乘 (x+2)(x1) ，得：得： x (x+2)(x+2)(x1) =3 解得：解得： x=1 检验：检验：x=1时时(x+2)(x1) =0 ，1不是原不是原分式方程的解，原分式方程分式方程的解，原分式方程无解无解.)2)(1(311:xxxx解方程第16页/

12、共28页22162242xxxxx解：方程两边同乘以解：方程两边同乘以),2)(2(xx,)2(16)2(22xx得，, 44164422xxxx. 2x检验：把检验：把x=2x=2代入代入 x x2 2-4-4，得得x x2 2-4=0-4=0。x=2x=2是增根，从而原方程无解。是增根，从而原方程无解。. .第17页/共28页 通过例题的讲解和练习的操作通过例题的讲解和练习的操作,你能你能总结出解分式方程的一般步骤吗总结出解分式方程的一般步骤吗?解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤:(1)在方程的两边都乘以最简公分母在方程的两边都乘以最简公分母,化成化成_方程方程;(2)解这个解这个_

13、方程方程;(3)检验检验:把把_方程的解代入方程的解代入_.如果值如果值_,就就是原方程的解是原方程的解;如果值如果值_,就不就不是原方程的解是原方程的解.应当应当_.整式整式整式整式这个整式这个整式最简公分母中最简公分母中不为零不为零为零为零舍去舍去第18页/共28页解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤：分式方分式方程程整式方整式方程程a是是分式方程的解分式方程的解 x = aa不是不是分式方程的分式方程的解解去分母去分母目标目标解整式方程解整式方程检验检验最简公分最简公分母不为母不为0最简公分最简公分母母 为为0第19页/共28页1.若方程中的分母是多项式若方程中的分母是多项式,须先分

14、解须先分解因式因式.再确定最简公分母再确定最简公分母.2.若方程中的含有整数项若方程中的含有整数项,去分母时不去分母时不要漏乘要漏乘.第20页/共28页u解分式方程容易犯的错误有：解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘去分母时，原方程的整式部分漏乘(2)约去分母后，分子是多项式时，约去分母后，分子是多项式时， 没没有注意添括号有注意添括号(因分数线有括号的作因分数线有括号的作用）用） (3)增根不舍掉。增根不舍掉。 第21页/共28页例例3：k为何值时，方程为何值时，方程 产生产生增根？增根？xxxk2132问：这个分式方程何时有增根？问：这个分式方程何时有增根？答：这

15、个分式方程产生增根，则增根一定是使答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即x=2。问问:当当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用时，这个分式方程产生增根怎样利用这个条件求出这个条件求出k值？值？答：把含字母答：把含字母k的分式方程转化成含的分式方程转化成含k的整式方的整式方程，求出的解是含程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等的代数式，当这个代数式等于于2时可求出时可求出k值。值。第22页/共28页例例3：k为何值时，方程为何值时，方程 产生增根？产生增根？xxxk2132解：方程两边都乘以解：方程两边都乘以

16、x-2，约去分母，得，约去分母，得k+3（x-2)=x-1把把x=2代入以上方程得：代入以上方程得：K=1所以当所以当k=1时，方程时，方程 产生增产生增根。根。xxxk2132第23页/共28页k为何值时，分式方程为何值时，分式方程0111xxxkxx无解？无解？例例4：方程两边都乘以方程两边都乘以(x-1)(x+1),得得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得解，得2kkx 当当x=1时时,原方程无解，则原方程无解，则k=-1 当当k=-2时，时，k+2=0, 原方程无解原方程无解 当当x=-1时，时，k值不存在值不存在当当k=-1或或k=-2时，原方程无解时，原方程无解解：解

17、：第24页/共28页“增根增根”是你可以求出来的，但代入后方是你可以求出来的，但代入后方程的分母为程的分母为0无意义，原方程无解。无意义，原方程无解。“无解无解”包括增根和这个方程没有可解的根包括增根和这个方程没有可解的根 思考：思考：“方程有增根方程有增根”和和“方程无解方程无解”一样吗？一样吗？第25页/共28页1.当当m=0时，方程时，方程 会产会产生增根吗？生增根吗？ 3xm23xx 3.当当m为何值时，方程为何值时，方程 会产生增根呢会产生增根呢? 3xm23xx 2.当当m=1时，方程时，方程 会产会产生增根吗？生增根吗？ 3xm23xx 第26页/共28页1、解分式方程的思路是、解分式方程的思路是：分式方程分式方程整式方程整式方程去分母去分母2、解分式方程的一般步骤：、解分式方程的一般