有限元法与程序-形函数构造

1、 补充：补充： 单元和插值形函数构造单元和插值形函数构造上次课内容回顾上次课内容回顾 单元形函数单元形函数单元位移函数取决于插值函数即形函数，形函数是定义与单元内坐标的连续函数，对平面问题，形函数确定的单元位移表示为：1 ,0 ijjijijNxyij11 v= nniiiiiiuN uN v不难证明：形函数具备如下基本性质1. 形函数的性质单元形函数单元形函数形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛性要求，即满足完备性条件和协调性条件。形函数满足单元位移插值完备性的充要条件为1, =niiiNx y xx2. 收敛性的要求1, =1niiNx y1, =yniiiNx y y形函数的构造方法形

2、函数的构造方法利用形函数在节点上的性质，利用几何方法构造；然后再用位移函数的完备性和协调性来校核。1. 广义坐标法2. 几何法（自然坐标法）首先将单元位移表示为多项式，然后利用单元的几何参数和节点位移来确定多项式的待定常数，从而用单元形函数和节点位移表示位移函数。形函数的构造方法形函数的构造方法2. 几何法（自然坐标法）11( , ),( ,)mkkimkiikF x yNx yF x y回顾拉格朗日插值方法构造方法：以平面问题为例，先做一组（m条）不通过节点i但通过单元其他所有节点 的不可约曲线Fk=0，然后按下式计算求得Ni后，检验由它们构造的位移函数是否满足完备性和协调性要求。例1 四结

3、点四边形单元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是结点i的局部坐标 4141iiiiiiuN uvN v单元单元2 2 2 3 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法21(1)(1)4N同理： 母单元母单元2 2 2 3 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法做两条直线过节点做两条直线过节点2, 3, 4，但不，但不过节点过节点1，1(1)0F2(1)0F11111111114N31(1)(1)4N41(1)(1)4N例1 四结点四边形等参数单元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是结点i的局部坐标 母单元母单元2 2 2 3

4、 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法合并表示为合并表示为完备性检验完备性检验411iiN41iiiN41iiiN例2 八结点四边形等参数单元形函数的构造方法形函数的构造方法iiiiiivNvuNu81812/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (287265243221NNNNNNNN形函数的构造方法形函数的构造方法对节点对节点1，做三条直线过节点，做三条直线过节点2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不过节点，但不过节点1，1(1)0

5、F2(1)0F1111111111111114N 310F 过过3,4,5过过5,6,7过过2,8则则形函数的构造方法形函数的构造方法对节点对节点2，做三条直线过节点，做三条直线过节点1, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不过节点，但不过节点1，110F 210F 222221111111112N310F 过过3,4,5过过5,6,7过过7,8,1则则同理，构造同理，构造N3，N4，N8完备性检验和协调性检验完备性检验和协调性检验例3 五结点四边形单元（过渡单元）过渡单元过渡单元2 2 2 3 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法5 对节点对节点1，做三条直线过节点，做三条直线过节点2

6、, 3, 4, 5，但不过节点，但不过节点1，1(1)0F2(1)0F111111()11111()4N 30F 过过2,3过过4,3过过5则则例3 五结点四边形单元（过渡单元）过渡单元过渡单元2 2 2 3 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法5 对节点对节点2，做三条直线过节点，做三条直线过节点1, 3, 4, 5，但不过节点，但不过节点2，110F 210F 222211111114N 30F过过1,4过过4,3过过5则则例3 五结点四边形单元（过渡单元）过渡单元过渡单元2 2 2 3 4 1 形函数的构造方法形函数的构造方法5 对节点对节点3，做二条直线过节点，做二条直线过节点1,

7、 2, 4, 5，但不过节点，但不过节点3，110F 210F 33311111114N过过1,4过过1,2,5则则同理同理44411111114N22525511111211N三角形高次单元的形函数三角形高次单元的形函数可用面积坐标表示，其形函数的构造公式为：12311231231(,),(,)mkkimkikF L L LNL L LF L L L351624yx例4 六结点三角形单元形函数对节点对节点1，做两条直线过节，做两条直线过节点点2, 3, 4, 5, 6，但不过节点，但不过节点1，即即10L 1102L 111111111212121LLNLLLL同理得同理得因此因此22221

8、NLL33321NLL351624yx例4 六结点三角形单元形函数对节点对节点4，做两条直线过节，做两条直线过节点点1, 2, 3, 5, 6，但不过节点，但不过节点4，即即10L 20L 121241212441/2 1/2L LL LNL LL L同理得同理得因此因此5234NL L6314NL L351624yx例4 六结点三角形单元形函数协调性检验协调性检验63122331112123123(21)4() 2()()1iiiiiNLLL LL LL LLLLLLL631242353161131(21)444 iiiiiiiiiiN xLL xL L xL L xL L xL xx注意到

9、注意到1242xxx2352xxx3162xxx完备性、协调性检验完备性、协调性检验例例5 十结点三角形单元的形函数十结点三角形单元的形函数3211011393138332723262215121427) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 3 , 2 , 1) 23)(13 (21LLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNiLLLNiiii（十结点三角形单元十结点三角形单元yx032164578910位移形函数为位移形函数为例6 空间二十结点六面体单元形函数的构造方法形函数的构造方法对节点对节点1，做四个平面过除节点，做四个平面过除节点1外的所有节点外的所有节点110F 210F 111111111(1)(2)111(1)(2)11(1)(2)8N 420F过2,3,6,7,13,14,18,19过5,6,7,8,11,12,14,15则