全等三角形证明判定方法分类情况总结

1、.A 50 , BC 9cm,CE 5cm，求 EDF 的度数及 CF 的长.全等三角形(一)SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.2 全等图形的性质：(1) 全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等(2) 全等图形的面积相等3 全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1) 表示方法：两个三角形全等用符号“也”来表示，读作“全等于”如例 3.如图，已知：AB=AD AC=AE BC=DE 求证： BAE CADABC与DEF全等，记作 ABC也DEFDC(2) 符号“也”的含义：“s”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来 就是形状相同，大小

2、也相等，这就是全等.(3) 两个全等三角形重合时， 互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边 叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.(4) 证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形的判定(一)：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS.如图，在 ABC和DEF中例 4.如图 AB=DE BC=EF AD=CF 求证:(1) ABC 也 DEF(2) AB/DE , BC/EFABC也 DEF【典型例题】例1.如图， ABC也 ADC，点B与点D是对应点，BAC 26 ，且 B 20, S abc 1，求CAD , D, ACD的度数及 ACD的

3、面积.例 2.女口图， ABC 也 DEF ,例5.如图，在 ABC中 C 90 , D E分别为AC AB上的点，且BE=BC DE=DCC 60 , ABD 35，贝U BAD的度数为（求证：(1) DE AB ;(2) BD平分 ABCA 85B 、35（角平分线的相关证明及性质）DC 60 D 、 80【巩固练习】4 .如图,ABC 也 DEF , AD=8 BE=2,则 AE等于(1下面给出四个结论：若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；若两 个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；若两个图形的面积相等，则它们 一定是全等图形；若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确

4、的是（）A、 B 、 C 、 D 、2 .如图，ABD也 CDB，且AB和CD是对应边，下面四个结论中不正确的是（）A、ABD和 CDB的面积相等B、ABD和 CDB的周长相等C、A ABD C CBDD AD/BC 且 AD=BC3 如图， ABC也 BAD , A和B以及 C和 D分别是对应点，如果A 、6 B 、5 CBCE，则下列条件能满足的是（）第5题图第6题图BA 、 AC=BC AD=CE BD=BE B 、 AD=BD AC=CE BE=BDC 、 DC=EC AC=BC BE=AD D 、 AD=BE AC=DC BC=EC6 .如图，ABE也 DCF ,点A和点D、点E和点

5、F分别是对应点，则AB=,A , AE=, CE= , AB/,若AE BC，贝U DF与BC的关系是 .7 如图， ABC 也 AED，若 B 40, EAB 30, C 45,则 BAC,DACDE8.ACDA FEBC第9题题图DC口图，若 AB=ACBE=CDAE=AD|贝8 题图E ACD，所以 AEB baE7题图 ,BAD9.如图,ABC也 DEFC 90，则下列说法错误的是（C与F互余F互补A与E互余D互余第1題图10 .如图,ACF 也 DBE,E 30,ACF 110, AD9cm,CD2.5cm,第已题图求 D的度数及BC的长.D2 .如图,ABC也 DCE,A 48 ,

6、 E62，点B、C E在同一直线上,则 ACD的度数为（）A 、48B 、38C 、110D 、623 .如图,ABC也DEF , AF=2cm,CF=5cm 则 AD=4 .如图,ABE 也 ACD ,A 100 , B 25，求 BDC 的度数.5 .如图，已知， AB=DE BC=EF AF=CD 求证：AB/CD11.如图，在 ABC与 ABD 中，AC=BD AD=BC 求证： ABC也 ABD全等三角形（一）作业1.如图， ABC 也 CDA , AC=7cm AB=5cm,则 AD的长是（）A、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定6. 如图，已知 AB=EF BC=

7、DE AD=CF 求证： ABC也 FED AB/EF7.如图,已知AB=ADAC=AEBC=DE 求证： BADCAEAC【知识要点】全等三角形(二)AD=AE /仁/ 2,由此你能得出哪些结论？给出证明定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS，几何表示【例3】 如图已知：AE=AF AB=AC / A=60,Z B=24,求/ BOE的度数.如图，在 ABC和DEF中，AB DEB EABC 也 DEF (SAS)BC EF【典型例题】【例4】 如图，B, C, D在同一条直线上， ABC ADE是等边三角形, 求证： CE=AC+D；/ ECD=6

8、0 .【例1】已知：如图,AB=AC AD=AE 求证：BE=CD.【例5】如图，已知 ABC BDE均为等边三角形。求证：BD+ CD=AD【例2】如图，已知：点D E 在 BC上，且 BD=CEAC4.如图，点 C是AB中点，CD/ BE,且CD=BE试探究 AD与CE的关系。5.如图，AE是 BAC的平分线，AB=AC(1 )若D是AE上任意一点，则 ABDA ACD说明理由.(2)若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由CDO所以 ABCA BAD(1 )你认为小明的解答有无错误;(2)如有错误给出正确解答;6 .如图，已知 AB=AC EB=EC请说明BD=CD勺理由【巩

9、固练习】1 .在ABC中，若AB=A B , AC=AC，还要加一个角的条件，使 ABCA ABC，那么你加的条件是()A . Z A=Z A B. / B=Z B C. / C=Z C D./ A=Z B2 .下列各组条件中，能判断厶 ABCA DEF的是()A . AB=DE BC=EF CA=CD B.CA=CD ; Z C=Z F; AC=EFC . CA=CDZ B=Z ED.AB=DE ; BC=EF两个三角形周长相等3 阅读理解题：如图：已知 AC, BD相交于 O, OA=OB OC=OD.那么 AOD与厶BOC全等吗？请说明理由. ABC与厶BAD全等吗？请说明理 由.小明的

10、解答：OA=OB 1OD=OC SAS 12 AODA BOC而 BAD= AOD+ ADB ABC= BOC/ AOBC5.如图, 求证：(6、已知，如图 A、F、C、D四点在一直线上， AF=CD AB/DE ,且AB=DE求证：(1) ABC DEF ( 2)Z CBF=Z FEC全等三角形(二)作业1 如图，已知 AB=AC , AD=AE , BF=CF，求证：BDF 也 CEF。2.如图， ABC BDF为等腰直角三角形。求证： (1) CF=AD ( 2) CEL AD。3 .如图，AB=AC , AD=AE , BE和CD相交于点 O, AO的延长线交 BC于点F。 求证：BF

11、=FC。4.已知：如图 1 , AD/ BC, AE=CF AD=BC E、F 在直线 AC上，求证：DE/ BF。(2)求/ AFN大小。N11、已知如图，F在正方形 ABCD的边BC边上，E在AB 的延长线上，FB= EB AF交CE于 G 求/ AGC的度数.12、如图， ABC是等腰直角三角形，其中 CA=CB四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想 AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在 ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题 中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直

12、接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.9、已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE / CF.7、已知：如图,AB=AC,AD=AE, / BAC= / DAE.求证：BD=CEE8、如图，正方形 ABCD勺边CD在正方形 ECGF勺边CE上，连接BE DG(1) 观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2) 图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过 程，若不存在，说明理由。10、已知 C为AB上一点, ACN和 BCM是正三角形.求证：(1) AM=BN全等三角形（三） ASA【例3】如图，AB=AC BC，求证：AD=AE【知识要点

13、】ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 如图，在 ABC与DEF中A DAB DEB EABC DEF （ASA）【例4】已知如图,证明之.ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC和abc全等的条件是（2,34，点P在AB上，可以得出 PC=PD吗？试A、AB=A B ,AA ,CCB、AB= AB,AC=A C , BC=B CC、AB= AB,ac=A c,B1BD、AB= ab,AA,B1B例2】已知如图AD, ABDE, AB/ DE ,求证:BC=EF【例5】如图， 13 , AC=A

14、E 求证：DE=BCE C FFOB ,求证:【例6】如图， A D, 12 , AC, BD相交于O,4.如图，AB, CD相交于O, E, F分别在AD, BC上，若 EODAOE COF求证：AB=CDOA=ODA D【巩固练习】1.如图,AB/CD,AF/DE, BE=CF 求证：AB=CD5.如图，AB/CD, AD/BC，求证：AB=CD2.如图,AD/BC,O为AC中点，过点求证:AAM=CNAR6.已知，如图AB=DB C E, 12，求证：AC=DE3.求证：两个全等三角形 ABC与 ABC的角平分线AD AD相等全等三角形（三）作业4.已知如图，在 ABC中，AD平分 BA

15、C , AD BC ,求证： ACD ABD1已知，如图， A D, 12, AFCD，求证：AB=DED2.如图，已知 AEDADE,BAECAD，求证：BE=CD5.已知如图，ACB DBC, DCA ABD, AC 10cm，求 BD 的长（要求写出完整的过程）3.已知如图,D, BADCAE，求证：AC=AEAB=AD ,DEA6、如图 abc 中，/ B=Z C, D, E, F分别在 AB,BC,AC上，且 BD=CE/ DEF=/ B求证：ED=EFAE(图1)已知：如图,AB=AC , AD=AE ,求证： OBDA OCE7、(1)如图1,以酥环的边序、为边分别向外作正方形-

16、和正方形一制连结，试判断厶AEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图,AD为CE的垂直平分线,EF/ BC.求证： EDNA CDNA EMN10、已知：如图,AB=CD , AD=BC ,O 为BD中点,过O作直线分别与 DA BC11、如图在厶ABC和厶DBC中,/仁/ 2 , / 3=/4 , P 是BC上任意一点.求12、已知：如图，四边形 ABCD中，AD / BC , F是AB的中点，DF

17、 交CB延 长线于E , CE=CD . 求证：/ ADE/ EDC13、已知：如图，OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE 交于C , AB和EF交于O ,求证：/ 1 = / 2.全等三角形(四)强化训练1、如图， ABC是等边三角形，点 D、E、F分别是线段 AB、BC、CA上 的点，(1) 若AD BE CF，问 DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；C(2) 若厶DEF是等边三角形，问 AD BE CF成立吗？试证明你的结论.4、已知：如图， ABC 中， ABC 45 CD AB 于 D , BE 平分 ABC ,且BE AC于E，与CD相交于点F, 于点G H是BC边的中

18、点，连结DH与BE相交(1)求证：BF AC ; (2)求证：CE2、如图所示，已知/仁/2, EF丄AD于P,交BC延长线于 M,求证：2/M=(/ACB- / B).DCM5、如图，点0是等边 ABC内一点， AOB 110o, 绕点C按顺时针方向旋转60得厶ADC，连接OD .(1) 求证：ACOD是等边三角形；(2) 当150时，试判断 AOD的形状，并说明理 由；(3) 探究：当为多少度时， AOD是等腰三角形？BOC 将 BOC3、AABC中，/ A=90, AB=AC D为 BC中点，E、F 分别在 AC AB上，且 DEL DF, 试判断DE DF的数量关系，并说明理由.AFC

19、7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC且DB与 AC所在直线交于 E,求证：CD=CE过A作AF丄BC于F，过D作DG丄BC 于 G，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD ,在 Rt ABDG 中，DG=1/2BD =/ DBC=30 = / BDC= / BCD=1/2(180 -30 =75 即/ EDC=75EF分别是Z ACB Z AED的平分线，且Z B=30，Z D=40，求Z F的度数。/ DEC= / DBC+ / BCA=30 +45 =75 /-Z EDC= / DEC =CD=CE& Rt ABC AB=AC,BM!中线，A

20、D丄 BM交 BC于 D,求证：Z AMBZ CMDA11、等边三角形ABC和等边三角形DEC D在AC边上。延长 BD交CE延长线于 N延长AE交BC延长线于求证：CM=CN易证 BCDA ACE 所以Z DBCZ EAC 再证 BCNA ACM (ASA) CM=CN9、如图，已知 ABC是等边三角形，Z BDC= 120o，说明AD=BD+C的理由。10、已知：如图，点 D在厶ABC的边CA的延长线上，点 E在BA的延长线上，CF、12、操作：如图， ABC是正三角形， BDC是顶角/ BDC= 120。的等腰三角形， 以D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB AC边于M N两点，连

21、接 MN探 究：线段BM MN NC之间的关系，并加以证明.14、(涉及相似三角形)若P为 ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120，则点P叫做 ABC的费马点.如图，在锐角 ABC外侧作等边 ACB 连结BB 。求证：BB 过 ABC的费马点P，且BB =PA PB PC .13、如图等边厶ABC和等边 CDE点P为射线BC动点，角 APK=60 , PK交直线CD于 Ko(1) 试探索AP、PK之间的数量关系；(2) 当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。C P15、如图，ABC是等腰直角三角形，/ C= 900,点M,N分别是边AC和BC的中点，点D在射线 BM上,且BD= 2BM,点E在射线 NA上,且NE= 2NA.求证：BD丄DE.B N C第五章全等三角形拓展延伸例2:在厶ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过点A的直线,分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的