第3次课相似矩阵PPT学习教案

1、会计学1第第3次课相似矩阵次课相似矩阵1. 矩阵之间的相似关系是等价关系矩阵之间的相似关系是等价关系AA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(.ABBA若 ，则 .ABBCAC若 ， ，则 .mmABAB2.若 ，则1,ABPBP AP存在可逆矩阵 使得证明：1111()()().mmBP AP P APP APP A P.mmAB第第2页页/共共36页页第1页/共36页1110( )( )( ).nnnnAk AkAk Ak EABAB3.设 ，若 ，则 证明证明相似相似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵.,

2、 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn第第3页页/共共36页页第2页/共36页推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn 第第4页页/共共36页页第3页/共36页1,PP AP 若存在可逆矩阵 使得 ， 为对角矩阵, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk12()()( ),()n 利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A

3、第第5页页/共共36页页第4页/共36页.)(,)(OAfAf 则则的特征多项式的特征多项式是矩阵是矩阵设设 定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对角矩阵相似的情形只证明只证明A使使则有可逆矩阵则有可逆矩阵与对角矩阵相似与对角矩阵相似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的特征值的特征值为为其中其中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( 第第6页页/共共36页页第5页/共36页., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明,1为对角阵为对

4、角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把.)( 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn第第7页页/共共36页页第6页/共36页 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp 1212,nnA p ppAp ApAp即 ., 2 , 1nipApiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由第第8页页/共共36页页第7页/共36页., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特

5、特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA 命题得证命题得证.1212, 1,2, ,nniiAnp ppAppin反之 如果 有 线性无关的特征向量，是相应的特征值，即 12121(,), diag(,)nnPp ppPAPPP APA 令 ，则 是可逆的，且，由此得到，即 可相似对角化。第第9页页/共共36页页第8页/共36页说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论nAAn如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的

6、特征向量， 还是能对角化AAnnA第第10页页/共共36页页第9页/共36页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得第第11页页/共共36页页第10页/共36页 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221 第第12页页/共共36页页第11页/共36页 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T ,

7、 0211210102 由于由于.,321线性无关线性无关所以所以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同同理理第第13页页/共共36页页第12页/共36页 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能相似对角化不能相似对角化.A第第14页页/共共36页页第13页/共36页 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1

8、为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A第第15页页/共共36页页第14页/共36页 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121 .1002 第第16页页/共共36页页第15页/共36页 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以 可对角化.A第第17页页/共共36页页第1

9、6页/共36页注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P第第18页页/共共36页页第17页/共36页121202123A我们先来看一个例子。设 ，2( )(2) (2),Af 其特征多项式为 122 2 (), 有两个特征值：，二重11(1, 1,1) ,T对应于特征值 的线性无关的特征向量为 11dim1V因此，等于特征值 的重数1；第第19页页/共共36页页第18页/共36页21(1,0,1) ,T对应于特征值 的线性无关的特征向量也

10、只有一个 22dim1V因此，小于特征值 的重数2；12dim+dim1 12VVA 由于，因此矩阵 至多只能有2个线性无关的特征向量，从而不可相似对角化。( )( )AAfxA矩阵 的特征值 作为特征多项式的根的重数称为特征值 的，记作代数重数；( )AG矩阵 的特征值 所对应的特征子空间的维数称为特征值 的，记作几何重数；第第20页页/共共36页页第19页/共36页( ).( )AnAGA 设 是一个 阶方阵， 是 的特征值，则 命题112( ),nmGmnAm 设，则 关于特征值 的线性无关特征向量有 个，不妨设为, ,，将其证明扩充为的：一个基：1212,mn m , ,1111,1,

11、2, , 1,2,iiiimimim n im nAimAccbbinm于是 第第21页页/共共36页页第20页/共36页12121212(,)(,) ,mn mmn mAD 即 , , ,11121,21222,1,2,11121,21222,1,2,000000,000000000n mn mmmm n mn mn mn mn mn m n mcccccccccCDbbbOBbbbbbb其中 1212(,)mn mPP 记 , ,，则 可逆，且第第22页页/共共36页页第21页/共36页APPD1,P APDAD，即 ( )( ),ADfxfx由于相似的矩阵具有相同的特征多项式，因此()(

12、 )det()detDx ECfxDxEOBxE再注意到 det ()det()()( ),mBx EBxExfx( )( )( )( ).ADfxfxmAmG因此 至少是的 重根，从而第第23页页/共共36页页第22页/共36页12()(), 1,2., .kiiAnAAGAik 设 是一个 阶方阵， , ,是 的所有互不相同的特征值，则 可相似对角化的充要条件是 定理3()(), 1,2, ,iiGAik充分性。设若 证 ： 明12()()()1212( )()()() ()()()nAAAAkkfxxxxnAAAn则由于特征多项式是 次多项式，因此，从而12()()(),kGGGn第第2

13、4页页/共共36页页第23页/共36页12122()()()kkVGVGVGnA于是可以从中选出个线性无关的向量，从中选取个线性无关的向量， ，从中选取个线性无关的向量，共计 个向量，它们构成线性无关的特征向量组，由知 可相似定理对角化。12()()(),kAAnGGGn接下来证必要性。设若 可以对角化，则 有 个线性无关的特征向量，于是 1212()(), 1,2,()()()()()(),iikkGAikGGGAAAn由命题又，于是1第第25页页/共共36页页第24页/共36页()(), 1,2, .iiGAik从而 121202123A回到前面的例子， ，2( )(2) (2),Af 其

14、特征多项式为 122 2 (), 有两个特征值：，二重11(1, 1,1) ,T对应于特征值 的线性无关的特征向量为 1111()dim1()();GVGA因此，第第26页页/共共36页页第25页/共36页21(1,0,1) ,T对应于特征值 的线性无关的特征向量只有一个 22222()dim1()2()(),GVAGA因此，但 ，A所以 不可相似对角化。0,. VUWVUWvVuU wWvuwVUWVUW 设 是一个向量空间， 和都是 的线性子空间，若，且对任意定义3直和皆存在使得，则称 是 和的，记作第第27页页/共共36页页第26页/共36页12312332010 ,1 , 2Span,

15、112Spa.nUWUW 设，则例 412312333112233(,)3,Rvvccc 首先由于，因此线性无关，从而构成的一个基，于是对于中任意一个向量 ，皆有 证明：112233, ,;uccwcuU wWvuw令 ，则，且123,xUWc c c其次，对任意存在实数使得第第28页页/共共36页页第27页/共36页112233, ,xccxc1122331231230,00.cccc c cx 于是 ，由于线性无关，因此全为 ，从而0.xUW 由 的任意性，12121212,Span,Span,.mn mmn mVUWVUW 注1构成 的一个基， ，：则 一般地，如果 , , UWvVvu

16、wuU wWV如果，则对任意，表达式是注2：唯一的。第第29页页/共共36页页第28页/共36页12121212,0, , ,1,2, ,.kijkiikkVV VVVVVijvVvvvvvV ikVV VVVVVV设 是一个向量推广：直空间，都是 的线性子空间，若，且对任意皆有 则称 是的，记作和1212.kknAnAAVVV 设 是一个 阶方阵， , ,是 的所有互不相同的特征值，则 可相似对角化的充要条件是 推论第第30页页/共共36页页第29页/共36页的特征值相同。的特征值相同。与与则则相似相似与与BABA,)1()()(,)2( BtrAtrBA 则则相似相似与与若若)det()d

17、et(,)3( BABA 则则相似相似与与若若相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，主要有：的性质，主要有：)()(,)4( BRARBA 则则相似相似与与若若第第31页页/共共36页页第30页/共36页可逆）可逆）相似相似与与则则相似相似与与(A;,)3( 11 BABA.)()(,)(,)5( 相似相似与与则则是一多项式是一多项式而而相似相似与与若若BfAfxfBA;,1为常数为常数相似相似与与则则相似相似与与）若）若（kkBkABA2 2相似关系相似关系 可逆）可逆）（相似相似与与则则相似相似与与A;,)4( *BABA

18、;,)2( 相似相似与与则则相似相似与与TTBABA第第32页页/共共36页页第31页/共36页3 3相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P第第33页页/共共36页页第32页/共36页,111111111 A.00100100 nB.,是否相似是否相似判断下列两矩阵判断下列两矩阵BA第第34页页/共共36页页第33页/共36页. 0,)( )()det(