湖南省长沙市2018届高三第一次模拟数学（理科）试题Word版含解析VIP

1、长沙市2018届高三第一次模拟试卷数学(理科)第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 设复数Z, Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z = l+1,则Z#2=()A. -2 B. 2 C. l-i D. l+i【答案】B【解析】因为 召，z?在复平面内的对应点关于实轴对称，所以z2 = l-i,所以z“2= (1 +1) (1-1) =2,故选 B.2. 设全集U = R,函数f(x) = lg(|x+l|-l)的定义域为A,集合B = x|sinzx = O,则(CVA) A B的子 集个数为()A

2、. 7 B. 3 C. 8 D. 9【答案】C【解析】：由 |x+l|-l0,得 |x+l|l,即 xV-2 或 x0,A= x | x0.则 GA二x2WxW0；由 sin n x=0,得 n x二k 兀，kZ,*.x=k, kWZ.则 B=x|sinnx=0 = x|x=k, keZ,则(GA) QB二x卜2WxW0 Q x|x二k, keZ = -2, -1, 0,(CtA) AB中元素个数为3.故选C.3. 函数f(x)=sin(a)x +(p) 0, 0防兀)的图象屮相邻对称轴的距离为”，若角cp的终边经2过点(3,间，则町)的值为()A. y B.C. 2 D. 2筋【答案】A兀兀

3、【解析】根据题意可得函数的最小正周期为肓2 T CD = 2,*角e的终边经过点(3,筋)，tan(j)=,0 V V眄71仁,兀 f(x) = sin(2x + -),67T7C TtTt #3 f(-) = sin(2 x - + -) = cos-=.故选 A.4. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的坷为茎叶图中的学生成绩，则输出的m, n分别是（）|WF3678 01233689 001344667889 0122456667899 002445690L 6S图一A. m = 38, n = 12 B. m = 26, n=12456

4、789I 曰* LI图二C. m = 12, n = 12D. m =24, n= 10【答案】B【解析】试题分析：分析程序框图可知，n为50名学生中成绩在80,+ 00）的人数，m为50名学生中成绩在60,80）的人数，而分析茎叶图即可知n=12, m=26,故选B.考点：1.统计的运用；2.程序框图.(yx,表示的平面区域为Q,不等式(x +纣+ (y-2)2S 2表示的平面区域为 (x + y0,又/x- + oo时，f(x) 0,；2-m 0=m v 2,(2-m)x2-m又Tf(x)是奇函数，.x0时，*x) 2十m,f(x)在(0,亦)上单调递增，(血, + oc)上单x + X调

5、递减，&?综上，实数m的范围是(1,2),故选D.考点：函数性质的综合运用.7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是()【答案】0【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P-ABCD,其中底面ABCD是正方形，平面PAD丄平面ABCD，故AB丄平面PAD, A AB丄PA，A PA = 0, S2015 0,所以坷007 +坷.os0,乂1422a, + 乩mi $2015=x 2015 = 2015 x a1008 ioos 且01007 hiood所以怙008是数列bnb中的最小值,故选C.考点：等差数列的定义与性质.【方法点睛】本题主耍考查等差数

6、列的性质与求和问题.解题时可以用等差数列的求和公式 表示成二次函数形式，由二次函数的知识求解，得到与d的关系，求出数列|知|的最小值，但 运算量软大，本题的解法则是利用等差数列的性质得到幻007+幻0080与2015 x%08 月1008 V 归1007 01008，从而求出数列囤的最小值.9. 已知非零向量a, b, c满足|a-b| = |b| = 4, (a-c) - (b-c) = 0,若对每个确定的6, |c|的最大值和 最小值分别为m, n,则m-n的值()A.随谕增大而增大 B.随|耳增大而减小C.是2 D.是4【答案】D【解析】试题分析:V(a-c)(b-c) = O, .-.

7、c2-(a + b)-c + a-b = 0,即|c|2-|a + b| |c| - cos v a + b,c + a b = 0, *_1 cos .m-n = 4,故选 D.考点：平面向量数量积.10. 已知如图所示的三棱锥D-ABC的四个顶点均在球O的球而上，A.ABC和ADBC所在的平而 互相垂直，AB=3, AC=石，BC = CD = BD = 2#3,则球0的表面积为()A. 4兀B. 12兀C. 16兀D. 36兀【答案】C【解析】如图所示，VAB2 + AC2 = BC2, .-.ZCABM角，即过aabc的小圆面的圆心为 BC的中点o, AABC和ADBC所在的平面互相垂

8、直，则圆心在过ADBC的圆面上，即ADBC的 外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R二2,球的表面积为S = 4nR2 = 16m 故选：x v11. 已知双曲线C： -t= 1（a0, b0）的右顶点为A, O为坐标原点，以A为圆心的圆与 a2 b2双曲线C的某渐近线交于两点P, Q,若ZPAQ = 6O,且OQ = 3OP,则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.荷432【答案】C【解析】试题分析：因为zPAQ = 60HOQ = 3OP,所以A0-4P为等边三角形，设AO = 2R ,b-ab则OP = R,渐近线方程为v = -x,取PQ的中点，则册= 二 ，

9、由勾a冷 cT +b*股定理可得（2所=（J，所以心疔=3，（/+庆），在OQA屮，1佔+沪丿门刘匚一“ 丄 所以7，=/，结合庆，可得e = - = 故L3RQR 2a 2选：A.考点：双曲线的简单性质.12. 己知e为自然对数的底数，若对任意的xG0J,总存在唯一的yG-l,l,使x + y2ey-a = 0成立，则实数a的取值范围是（）1A. l.e B（1 +-e C. （l?e D. e【答案】B【解析】由x + y2ey - a = 0成立,计算得出x + y2ey = ax,对任意的x e 0,1,总存在唯一的y E-l,l,使得x + yeYa = 0成立， a-1 （l）2e

10、 H-a-0 0,(孑-x展开式的常数项为15, J(x2 + x + 4-x2)dx = _a【解析】试题分析:3l6XT的展开式的通项公式为鮎=汨）/戸因此原式为可得a=l,=0,求得-2,故常数项为cy = 15,3r6乙考点：二项式定理；微积分基本定理14. 设a, b e R,关于x, y的不等式|x| + |y| 8无公共解,贝！lab的取值范围是【答案】-16,16【解析】试题分析：如下图所示，不等式|x| + |y|2W, v2a11 = 2(Sn-Sn_1) =an2+a11-(a11_12+aI1_1),可化为：(知+ ani)(W1 1)=0,Aairan-i = 1数列

11、%是等差数列，公差为1,首项为1.an = 1 + (n-1) =n,_n(n+l)n 2 %】=(T)芒亡=(T)泄吐丄=(-l)n(- + 丄),2Snn(n+ 1)n n + 1则数列cj的前 2016 项的和=(1 +】)+ (- + -)(- + -)+( + )22334201620171 2016=一1201720172 216. 已知F是椭圆C： + = 1的右焦点，P是C上一点，A(-2,l),当AAPF周长最小吋，其面204积为.【答案】4【解析】由题设可设左焦点为F(-4,0)，则AAPF的周长为L = |PA| + |PF| + |AF| = 2a-|PF| + |PA

12、| + |AF| = 2$ + 何-(PF|PA|)，由于|PF|-|PA| |AF|(当且仅 当P,A,F三点共线时取等号)，此时kp严?直线方程为y = x+4),代入椭圆屮化简可得c40厂9x2+40x = 0,解得x = 0,x = -go 当x = 0吋，y = 2,即P(0,2),此吋|PF|=$，点、F(4,0)到直线181 L 840240 2y = gx+4)的距离1 =屈 三角形的面积S = -x5x=4；当x = -时，y = 即P(- 此时|PF|二岁，点F(4,0)到直线y = x+4)的距离d = -,故三角形的面积S=4；故应填答案4。点睛：解答本题的关键是确定三

13、角形面积最小时点的坐标，进而求出直线的方程，运用点到 直线的距离公式确定三角形的高，最终求出三角形面积的值。木题求解时遇到的难点是联立 直线与椭圆的方程解方程组时，得到两个交点的坐标，然后逐一求出三角形的而积，取出三 角形面积最小的三角形的面积。三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)2&17. 如图，在ZXABC中，已知点D在边EC上，且AbAC = 0, sin乙BAC =于，AB = 3血，BD=丽.B f)(：(1) 求AD的长；(2) 求cosC.【答案】(1) AD = 3 (2) cosC =3【解析】试题分析：(T)通过垂直关系，求出cos

14、ZBAD的值，在AABD中，由余弦定理求AD 的长；(11)在厶ABD屮，由正弦定理，求出sinZADB,通过三角形是直角三角形，即可求cosC 兀试题解析：(1)因为AD 丄 AC,所以sinZBAC = sin(- + BAD) = cosBAD,2所以 cos-BAD =日.3在AABD中，由余弦定理可知，BD? = AB? + ADtAB AD cos乙BAD即AD?-8AD +15 = 0,解Z得AD = 5或AD = 3,2J21(2)在 ABD中，由cos乙BAD = 亠可知sin乙BAD =33BD3因为ZADBDAC+Q亍乙C,即cosC肓由于AB AD,所以AD = 3.考

15、点：余弦定理；正弦定理的应用18. 如图，在多面体ABODEF中，四边形ABCD为梯形，AADE, ABCF均为等边三角形，EF/AB,EF = AD = -AB.2(1) 过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF/平面EDN,试确定点N的位置，并予以证明；(2) 在(1)的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正眩值.【答案】(1)当N为线段FC的屮点时，使得AF/平面BDN. (2)3【解析】试题分析： 当N为线段FC的中点时，AF平面BDN.连结AC交BD于M,连结曲 利用中位线定理即可证明AFON，于是AF/平血BDN.(2)通过线面关系证得0G丄OM, 0G丄0Q.分别以6b, OQ

16、, old的方向为x, y, z轴的正方 向，建立空间直角坐标系Oxyz,用向量法求解即可.试题解析：(1)当N为线段FC的中点时，使得AF平面BDN.证法如下：连接AC, BD, -AC Pl BD = O,四边形ABCD为矩形，0为AC的屮点，又TN为FC的中点，0N为AACF的中位线，AAF/ON,TAFC平面BDN, ONu 平面BDN,AF平面EDN,故N为FC的屮点时，使得AF/平面BDN.(2)过0作PQ/AB分别与AD, BC交于P, Q, 因为0为AC的屮点，所以P, Q分别为AD, BC的屮点,TAADE与ABCF均为等边三角形，JSAD = BC,A AADE=ABCF,

17、连接EP, FQ,贝【J得EP = FQ,1 VEF/AB, AB/ PQ, EF = -AB,_ 21EF/PQ, EF = -PQ,四边形EPQF为等腰梯形.取EF的屮点M,连接MO,则MO丄PQ,又 TAD 丄 EP, AD 丄 PQ, EPnPQ = P,.AD丄平面EPQF,过O点作OG丄AB于G,贝IJOG/AD,OG 1 OM, OG 丄 OQ.分别以OG, OQ, obf的方向为x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz,不妨设AB = 4,I 3则由条件可得：0(0,0,0), A(l,2,0), B(l,2,0), F(O,1,Q), D(l,2,0), N(-,

18、-,y).设n = (x,y,z)是平面ABF的法向量,4y = 0-x + 3y + /2z = 0,则嚮背即所以可取； = (Q,0,l),亠31 十冃 |BN - n| &由BN =(-),可得|cos | = =一,2 2 2|BN| |n|3直线BN与平面ABF所成角的正弦值为迟.3点睛：高考对空间向量与立体儿何的考查主要体现在以下儿个方而：求异而直线所成的角, 关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方 向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间 直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 2015年

19、7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成 165. 17万人受灾，5. 6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农ffl受灾，直接经 济损失12. 99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查 了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0,2000, （2000,4000, （4000,6000, （6000,8000, （8000,10000五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间 的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡

20、议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽 取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图， 根据图表格中所给数据，分别求b, c, a + b, c + d, a + c, b + c, a + b + c + d的值，并说明是 否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a = 30b捐款不超过500元Cd = 6合计P(K2k)0. 150. 100. 0

21、50. 0250.0100. 0050. 001k2. 0722. 7063. 8415. 0246. 6357. 87910. 828附：临界值表参考公式：K2 =竺4，n = a + b + c + d.(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)【答案】(1) 3360 (2) E = | (3)有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身 经济损失是否到4000元有关.【解析】试题分析：(I )根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；(II) 由频率分布直方图可得，损失不少于6000元的居民共有(0.00003+0.00003)X 2000 X 5

22、0=6户，损失为60008000元的居民共有0. 00003 X 2000X 50=3户,损失不少于8000元的居民共有0. 00003X2000X50=3户，即对求这两户在同一分组的概率；(III) 由频率分布直方图及所给2X2列联表得b, c, a+b, c+d, a+c, b+d, a+b+c+d的值，并求IBK2,与临界值比较，即可得出结论.试题解析：(1)记每户居民的平均损失为艮元，则艮=(1000 X 0.00015 + 3000 x 0.00020 + 5000 x 0.0009 + 7000 x 0.00003 + 9000 x 0.00003) x 2000= 3360.(2

23、)由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有(0.00009+0.00003 + 0.00003) x 2000 x 50 = 15户，损失超过 8000 元的居民共有0.00003 x 2000 x50 = 3户,C；C：2 12因此g的可能值为0, 1,2,135C12 22p( = 0)= = , p(4= i)=,5 C2 35 宀c2 35=5=5g的分布列为:g012P22351235135E = 02212 12x1 x + 2 x =.353535 5(3) 解得b = 9, c = 5, a + b = 39, c + d=ll, a + c = 35, b + d=15

24、, a + b + c + d = 50,“ 50 x (30 x 6 9 x 5)2K_ =4.046 3.841，39x 11 x 35 x 15所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.点睛：数学期望是离散世随机变量屮重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先耍分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量 的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布 列，最后求出数学期望.20. 已知抛物线C的顶点在原点，其焦点F(0,c)(O0)到直线1： x-y-2 = 0的距离

25、为唾，设P为 2直线1上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2) 当点卩为直线1上的定点时，求直线AB的方程；(3) 当点P在直线1上移动时，求|AF| - |BF|的最小值.9 【答案】(1) X2 = 4y(2) XqX-2y-2y = 0 (3)-【解析】试题分析：由焦点为F(O,c)可知抛物线开口向上，其方程为x? = 4cy，由点到线的距离可求c的值.从而可得抛物线的方程.(2)由导数的儿何意义可得切线PA,PB的斜率.从而可 得切线PA.PB的方程.由两点确定一条直线可得直线AB的方程.(3)根据抛物线的定义将到焦 点的距离转

26、化为到准线的距离可得|AF|JBF|.将頁线AB的方程与抛物线方程联立消去x整理为 关于y的一元二次函数，由韦达定理可得两根Z和与两根Z积.可用配方法求最值.|c + 213J2试题解析：解： 依题意知一=丄，O0,解得c=LV2 2所以抛物线C的方程为X2 = 4y2分设A(X,yi)、B(X2，y2),则切线PA,PB的斜率分别为-Xp-x2,所以切线PA的方程为 2 22即y = 乂上-+ y】，B|Jx1x-2y-2y1 = 0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2 = 0,又点卩在切线PA和PB上，所 Wx1x0-2y0-2y1 = O,x2xo-2yo-2y2 = 0,所以

27、(XpyJgyJ为方程x()x-2y0-2y = 0的两组解,所以直线AB的方程为xyyo = 0. 6分(3)由抛物线定义知|AF| =y】+ 1,|BF| =y2+l,所以 |AFHBF| =(Y + l)(y2+l) = y1y2 + (y1 +y2) + 1,联立方程|xox-2y-2yo = 0 I x2 = 4y消去x 整理得 y 2 + (2y0-x02)y + y02 = 0, /y1 + y2 = x02-2y0,y1y2=y02, /. |AF| - |BF| = y+ (Vi + Ya) + 1 = y。? + 好-矶 + 1 = y02 + (y0 + 2)2-2y0

28、+ l=2y02+2y0+5,1 . 9= 2y0- + 2y0 + 5 = 2(y0 + -) +尸19当丫0 =石时，1期琲|取得最小值，且最小值为-.12分考点：1抛物线的定义即性质；2直线与抛物线的位置关系.ax_乂21. 已知函数f(x) = -+be 点M(0,l)在曲线y = f(x)上，且曲线在点处的切线与直线 ex+l2x-y = 0垂直.(1) 求a, b的值；x _y(2) 如果当xMO时，都有f(x) +ke x,求k的取值范馬.ex-l【答案】(1) a = b = l (2) kL+ke： 即有即l-k-,可令g (x),求出 e + 1e - 1e -eee导数，

29、判断单调性，可得最值，即可得到k的范围.试题解析：(1) f(x)=a +l)：xe bex,(+ 1/依题意f(0) = 1, f(0)=l,解得a = b = l.XX(2)由(1)可知f(x) = -一+e：代入f(x) -+k“x 得ex+ 1ex- 1xv xv2x+ex+kex,即l-k, ex+1ex- 1ex-ex2x因为当x0时，ex-e-x0, x0时，弋以，X - X e - e所以 1 -k0,即- e_x - ) 0,e - e1 K2 令一=t,设g(x) = ex - e x tx 则t0,1 - K乂 g(x) = ex + e x -1- 当 0 t 即kSO

30、时，g(x) = ex + ex-t2-t Ofe 成立，所以g(x) = ex-e-x-tx在R上单调递增，所以(i) 当x0时，g(x)g(0) = 0,又因为此时ex-e_x0， l-k0,(1 - k) v v 2xxY所以即Kx)+kex成立；ex-e_xkex-l(ii) 当 x0 时,g(x) g(0) = 0,又因为此时 ex-ex0,2xxr)0,即f(x)+kex成立.1 -kex-l因此当ksO时，当xfO时，都有f(x) 亠+kex成立，符合题意.ex- 1 当t2, E|JO k 0, Xi= -x20,当x(0,x时，g(x)v0,所以g(x)在(0,x上递减，所以g(x)0，l-k0,所以一ex-ex-)0,即ex-e-x-kf(x) + kex矛盾，所以不符合题意.ex- 1ex- 1综上可知：k的取值范围是kSO.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程是鶯器；(申为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C?的极坐标方程是p = 2,正方形ABCD的顶点都在C2,且A, B, C, D依 逆时针