(最新整理)寻找黑匣子数学建模

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2、寻找黑匣子并不是一件容易的事。本文将针对提出的三个问题,给出符合实际的假设，通过建立恰当的数学模型来描述飞机的坠落轨迹以及黑匣子落水后在海中的位置。问题一中，飞机在空中突然失去动力，经过受力分析可知，飞机在空中受到空气阻力、重力和升力作用。以飞机失事点为原点建立坐标系,求解微分方程可得飞机的水平和竖直速度的函数关系式,再由垂直高度h=10000m求出滑翔总时间和水平经过的路程。确定最终落水点为（9600,-10000）,在地面的投影位置为南纬21.9383，东经88.066。问题二中,不考虑洋流流动，黑匣子仅受到重力、浮力和与速度方向相反的海水阻力的作用，经受力分析可得： ，对微分方程求解可得

3、水平速度与竖直速度。由于无法通过确定垂直降落高度求解出时间t的函数表达式,故用trapz函数计算在t固定的情况下，黑匣子水平经过的距离和竖直降落的距离，经多次计算可知t=213。999秒时,竖直降落距离达到3995.1米,t=214秒时,竖直距离达到 4006.4米，根据误差最小原则，我们确定降落时间为213.999秒，水平经过距离为65.4米,由图可知黑匣子落在区域i中,并由matlab7.0画出黑匣子在水中的沉降轨迹。问题三中，考虑到洋流流动对黑匣子的作用，受力分析知,黑匣子在竖直方向上受到重力、浮力和上托举力,水平方向上受到水流的拖曳力，经过计算，可得轨迹方程为: 其中,t为下降的时间，

4、为黑匣子在水平方向上的初速度，u为水流速度。再由matlab7.0软件中的find函数，找到垂直下降高度为1000m，2000m和3000m时，相应的水平运动距离分别为48。1058米、99.8516 米和151.7053 米。关键词:微分方程 受力分析 matlab7。0软件 trapz函数 find函数 1问题重述1。1背景据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故,乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用.黑匣子记录的参数包括:飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速

5、度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。1。2问题假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米,飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45，飞机在地面的投影位置为南纬22。0度，东经88。0度。请建立模型求解以下问题: 1）假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。2）假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响,建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1(见附录1）所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为

6、1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置,并指出在图形中的哪个区域范围.3）考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并解出黑匣子沉入水下1000m,2000m和3000m时离落水点的方位.2问题分析2.1问题一分析 飞机在发生事故失去动力时，查阅资料分析可知，飞机在空中受到重力、升力以及与速度方向相反的空气阻力的作用,并且在下降过程中由驾驶员操控使飞机滑翔下降，而不是垂直栽入水中。分析飞机的受力分析图,进行受力分解建立微分方程，再利用matlab7。0求解相关数据，计算出飞机坠落的经纬度并绘制出飞机坠落轨迹图。2。2问题二

7、分析 查阅资料可知90%的空难都是在触地的瞬间完成的，因而本文假设飞机在落入水中瞬间发生爆炸而解体。为了简化模型，忽略不计飞机解体后产生的巨大的冲击力，假定飞机遇水瞬间的速度即为黑匣子落水的初速度。由于不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，因此黑匣子在自身重力、浮力和阻力的作用下在海水中沉降，最终会因为触礁而停止运动.考虑到海底平面在不同高度时凹凸情形不一致，但由题中所给的图可知在区域i和区域ii海底平面的凹凸情形大致相同，所以在解题过程中采用先固定一个下降高度，通过微积分方程求出下降过程所需时间，再根据时间求出黑匣子走过的水平距离，再由水平距离与图1中的海底平面的区域范围进行比较，最后估测可

8、得黑匣子在图1中的区域范围。2.3问题三分析 该问题是问题二的一个延伸与拓展，在问题三中,将加入洋流运动的影响，但是飞机遇水爆炸的瞬间速度仍为黑匣子落水的初速度，变得是黑匣子在水中的受力情况。黑匣子在下落过程中除了受到重力、浮力的作用之外,由于存在洋流的作用,黑匣子还受到洋流对它的拖曳力和上举力。进行受力分析可知，在竖直方向上，黑匣子受到了重力、浮力、沉降引起的拖曳力的作用，在水平方向上仅受到水平拖曳力的作用，而且该水平拖曳力与水平向上阻流面积、水流速度皆成正相关关系。根据上述力的关系，我们可列出微分方程求解黑匣子在水中的水平速度和竖直下降速度,再把速度对时间积分便可得到黑匣子在水中竖直下降的

9、距离和水平移动的距离，进而求解得出黑匣子在不同水下高度时距离落水点的具体方位。3基本假设1）假设飞机降落过程中空气密度不随垂直高度变化；2）假设飞机降落过程中重力加速度不随纬度变化，且与经度无关；3）假设飞机降落过程中迎风受力面积和机翼受力面积不变;4）假设不考虑地转偏向力对飞机的作用;5）假设飞机落水瞬间发生爆炸，将黑匣子炸出机体，且黑匣子不粘连其他物质；6）假设黑匣子在落水的瞬间整体就浸入水中；7)假设黑匣子在触礁的瞬间速度就减为零，;8）黑匣子入水后不考虑翻转的影响，即黑匣子入水后、方向迎水面积不发生变化；9）海水中的阻力系数保持不变；4符号说明符号意义已知数据单位飞机（黑匣子)的运动速

10、度米/秒飞机（黑匣子）的质量千克飞机迎风受力面积平方米空气阻力系数重力加速度飞机机翼受力面积平方和飞机升力系数空气（海水)密度千克/立方米飞机飞行过程中受到的升力牛飞机飞行过程中受到的空气阻力牛飞机（黑匣子)在竖直方向上经过的距离米飞机（黑匣子）在水平方向上经过的距离米问题一中为飞机从开始失去动力到落入水中经过的时间；问题二，三中为黑匣子从入水开始到触礁停止运动经过的时间秒物体进入海水中排开的体积，也是物体本身的体积立方米 5模型建立与求解5。1问题一 飞机的受力分析图如左所示，飞机在空中做受重力、升力和空气阻力作用的滑翔运动,其中重力为，飞机所受空气阻力和升力均与速度平方成正比，。 由此易得

11、,飞机的水平受力和垂直受力为： 又由导数的物理意义可知： 综合上述两个微分方程组,可得如下新的微分方程组：求解该微分方程组,可得到飞机的水平方向和竖直方向关于时间的函数：得到速度关于时间的函数后，再利用matlab7。0求解微积分方程得，,将分别代入，,求得飞机刚到达海平面时的水平速度,竖直速度以及飞机在这段时间内飞行的水平距离,具体数据如下：， 题中已给出飞机的初始位置（即失去动力的起点）为，通过上述计算可知，飞机失事至落水水平距离上飞行了，则根据纬度计算公式可得：，。又该飞机位于南半球，并朝北偏东45方向飞行，故该飞机的纬度随着飞机的降落而增大：落水点纬度为,落水点经度为。最后编程并通过m

12、atlab7.0绘制出飞机坠落轨迹图，并标出落水点，如下所示：5。2问题二在飞机接触到海面的瞬间，我们假设黑匣子立即潜入水中并以飞机落水的瞬间速度从落水点出发在海中运动。对黑匣子进行受力分析，以水平面为轴,垂直于水平面为轴，并取落水点为原点，受力分析得到： ;其中阻力系数，海水密度，迎水面积，黑匣子质量,，重力加速度，。化简上述两个式子可得：由此可建立微分方程组: 求解该微分方程组即可得到黑匣子在海中的水平和竖直方向上的速度，分别为： . 由题中所给的图一（见附录一）可知海底平面实际上是高低不平的，但是高度在一定范围内可视为不变。为了确定黑匣子掉落的具体位置，我们先确定一个一个具体的下落高度,

13、利用matlab7.0求解微积分方程，得到相应的时间，再把代入微分方程中，求得相应的水平距离，再结合图一判断是否满足条件，进而确定黑匣子掉落的具体位置.最终，我们通过matlab7.0计算得到黑匣子落在距离落水点水平距离为左右的地方，即黑匣子落在i区内，黑匣子的运动轨迹如下所示:5.3问题三1）在竖直方向上的运动分析如下黑匣子在海水中的有效重力为：（1）水流绕流对黑匣子所产生的竖直方向上的阻力为： （2)根据牛顿第二定律,得:（3）解式（3）,得： （4）其中,是主要反映水流与黑匣子的物理特征有关的因子；是主要反映与黑匣子的尺寸、形状有关的因子；为积分常数;为拖曳系数。确定积分常数：由已知得，

14、当时，黑匣子在竖直方向上的初速度为，代入(4)式便可得到，其中当时，黑匣子会达到匀速沉降，此时竖直方向速度记为，由式(4）得:由式（3），可确定黑匣子的沉降速度，即可以计算出黑匣子沉降到不同水深时所需的时间,即：（5）当，时,代入式（5），可得:（6）2）在水平方向上的运动分析黑匣子在水平方向上只受到水流对它的拖曳力的作用，大小为：再由牛顿第三定律可得如下微分方程:求解可得黑匣子在水平方向上的速度为：最后拿对时间求积分，便可得到黑匣子在水平方向上的运动距离： 其中，为黑匣子在水平方向上的初速度,u为水流速度。3）计算黑匣子下降不同高度时所运动的水平距离设黑匣子下降的高度为h,运动的水平距离为；

15、求解方程 ，得到黑匣子运动的时间,再将时间代入式子中便可得到相应的水平运动距离。针对题中的要求，只需将依次取为1000米，2000米，3000米即可，在具体求解过程中，无法找到一个时间t使得黑匣子的下降距离严格等于给定的h，所以在求解时,我们利用find函数控制误差范围,求出若干个时间同时满足条件,再对这若干个时间求平均得到一个时间,具体做法详见附录6及附录7.6模型检验与分析 在问题一中,飞机在垂直高度为10000米的高空失去动力,在人为操控下飞机滑翔下落，通过计算确定最终落水点为（9600，10000）以及在地面的投影位置为南纬21。9383,东经88.066.同时分析飞机的坠落轨迹图，可

16、将其滑翔轨迹大致看成一条较为平缓的二次函数抛物线.在问题二中，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，黑匣子落入水中运动213.999秒后,在竖直方向上沉降了3995。1米,距离飞机落水点的水平距离为65。4米，对比图1可知黑匣子落在区域i中，即认为黑匣子在该位置触礁后速度减为零静止不动。由此可看出黑匣子在海水中运动后的位置偏离落水点的水平距离较近。通过计算过程得到的相关数据可知，黑匣子在水平方向上受到的阻力较大,导致速度急速下降，从而运动的距离不大。 在问题三中，根据题设需考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，因此为了方便考虑模型，我们分别分析黑匣子在竖直方向和水平方向上的运动状态,分解受力求出

17、黑匣子在竖直和水平方向上移动距离的函数关系式,然后将黑匣子下降1000米、2000米和3000米分别代入上述关系式,求得黑匣子距离落水点的方位.根据本小题建立的模型能够较好地求解出黑匣子在未触礁时,在沉降不同竖直距 离的情况下，偏离落水点的具体方位。7模型评价与推广模型的优点：1）采取对运动的物体受力分析,画出受力分析图,方便进行下一步的受力分解，清楚明了地掌握物体的受力情况；2）建立微分方程描述模型，利用matlab7.0求解方程，绘制降落轨迹图像,科学合理地解决问题；3）模型具有可靠的数学依据，物理知识，而且模型能够迁移到其他类似问题，如分析与封堵溃口有关的重物落水后的运动过程.模型的缺点

18、：1）在问题一的解决过程中，我们建立理想化模型,即忽略重力加速度随纬度变化对飞机滑翔的影响,也忽略了不同高度不同空气密度对飞机的影响,使得建立的模型与实际情况有所出入；2）在问题二的解决过程中，我们假定飞机遇水瞬间就爆炸，黑匣子被炸出机体时没有粘连其他物体，而且不考虑飞机爆炸产生的冲击力，认为黑匣子的落水初速度为飞机刚遇水时的速度,并且假设黑匣子在落入水中的瞬间就整体浸没，在沉降过程中不发生翻转,即各方向迎水面积不变，同时我们还假设黑匣子在碰撞到海底平面时速度瞬间减小到零，从而达到简化模型的目的，使得最终的数据可靠性降低.模型的推广： 我们是以空客320飞机为模型,取其参数进行计算求解；黑匣子

19、实际上为圆柱形而我们把它简化成立方体；在模型的建立中还忽略了地球引力作用、空气密度变化、气压带风带、海流流速、天气和地球自转等因素的影响，因此要进一步地完善模型需综合考虑到上述因素对问题的影响,才能建立更加完备更加科学的模型。参考文献1 空气阻力_百度百科http:/baike。2 王子振，仲冠宇，王瑞和，陈华.流水中重物运动过程的数学建模分析，数学的实践与认识第41卷第14期，2011年7月。3 孙东坡,张耀先,王二平,李国庆，董智慧。堵口土工包沉落试验研究j。武汉大学学报（工学版）,2002，35（4）：33-37.4 姜启源，谢金星,叶俊.数学模型（第四版）.2011年。附录1附录2创建

20、符号 syms c1 s1 c2 s2 g p m t k1 k2 k1=0.5*p*c1*s1； k2=0。5*pc2s2； 给出数据c1=0.08;s1=50；c2=0。2050;s2=100；p=1。29；g=10；m=5*104;k1=0。5*pc1*s1； k2=0。5*p*c2s2;竖直方向速度关于时间的函数f1=tanh（g*mk1+gmk2）（1/2）t/m)*（g*m*k1+g*mk2）(1/2）/（k1+k2）；%求解竖直飞行距离int（f1,t,0,68。54）附录3%创建符号syms c1 s1 c2 s2 g p m t k1 k2 k1=0.5pc1s1; k2=0

21、。5*p*c2s2;%给出数据c1=0。08；s1=50;c2=0.2050；s2=100;p=1.29;g=10;m=5104;%水平方向速度关于时间的函数f2=2.m。/（t.c1.s1。*p+10./1111。m)；求解水平飞行距离int（f2，t，0，68。54)附录4给出数据c1=0。08；s1=50;c2=0。2050;s2=100;p=1。29;g=10；m=5*104;k1=0.5*p*c1s1;k2=0.5*pc2s2;t=0:0.01:68。54；%竖直距离y=1/2/(1/2*pc1*s1+1/2*pc2s2)*m*log（tanh(（1/2gmpc1s1+1/2gm*p

22、*c2s2)（1/2）t/m）1）-1/2/(1/2p*c1*s1+1/2p*c2*s2)m*log(1+tanh（(1/2g*m*p*c1s1+1/2*gm*pc2*s2）(1/2)t/m）;%水平距离x=2*mlog（t*c1s1*p+10/1111*m）/p/c1/s1118400；%作出飞机坠落轨迹图plot(x，y)作出飞机落水点hold onplot(9600,-10000，o）附录5%创建符号syms c p s y m求解水平距离dsolve（dy=cp*sy*y/(2m）,y(0）=124.4228，t）%计算结果y=2*m/（sc*p*t5000/311057*m）%创建符

23、号syms c p s y m v1 g%求解竖直速度dsolve（dy=g+p*g(v1）/m+cps*y*y/（2m),y（0)=177.7179,t)%计算结果y=tan(1/2（-2gs*cp*m+2*gs*c*p2*v1)（1/2）(t+2atan（1777179/10000*scp/(2*gsc*p*m+2gscp2v1）（1/2)）m/(-2gsc*pm+2g*s*cp2v1）(1/2）/m)（-2gsc*pm+2gscp2v1)(1/2)/s/c/pt=0:330;竖直速度y=37448305898981035/25966066601558016*tan(7489661179796207/2814749767106560*t-7923735992701864684306921345231/5070602400912917605986812821504)+6.085*2; 计算竖直距离trapz（t，y）t=0:330；%水平速度y