非齐次线性微分方程的几种解法

1、摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。关键词：关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目 录摘要摘要 .1引言引言 .31.1.n阶线性齐次微分方程的一般理论阶线性齐次微分方程的一般理论: :.32.2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论阶线性非齐次微分方程的一般理论: :.62.1 常数变易法.72.2 待定系数法:.92.1.1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法.92.2.2 第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法.122.3 拉普拉斯变换法.13总结总结 .15参考文选参考文选 .16致致 谢谢 .17引言非齐次线性微分方程是常

2、微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。1. 阶线性齐次微分方程的一般理论:n ( )(1)11( )( )( )( )nnnnya x yax yax yf x（1） ( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y（2）定理定理 1 1：设方程（2）有个线性无关的解，这个线性无关的解称为方程nn的基本解组。定理定理 2 2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过个。n定理定理 3 3：阶线性非齐次

3、微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n本身的一个特解之和。定理定理 4 4：齐次方程（2）的个解在其定义区间上线性无关的n12,nyyyI充要条件是在上存在点，使得它们的朗斯基行列式。I0 x0()0W x目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。例：例：方程的两个解是2)(1220 x yxyy121,ln121xxyxyx 它的通解为 121ln121xxyC xCx定理定理 5 5：设是方程（2）的任意个解。是它的朗斯基行12,nyyyn( )W x列式，则对区间上的任一有（3）上述关系式称为刘维刘维I0 x10( )0( )()xxp t dtW xW

4、 x e尔尔(Liouvlle)公式。我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。对于二阶齐次线性方程( )( )0yp x yq x y如果已知它的一个非零特解，依刘维尔公式（3） ，可用积分的方法求出1y与线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。1y设是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有y( )11p x dsyyCeyy或( )11p x dxy yyyCe为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得211y( )211p x dxdyCedxyy由此可得( )1211p x dxyCedxCyy易见 是已知方程的一个解，即

5、 ( )1211p x dxyyedxy10,1CC 所对应的解。此外，由于( )110p x dxyyCeyy所以，所求得的解是线性无罐解。从而，可得已知方程的通解1y。 ( )1121211p x dxyC yC yey（4） 其中和是任意常数。1CC例例 2:2:方程的一个解是 试求其通解。(1)0 xyxyy1,yx解：解：容易看出，已知方程有特解1, ( )1xyx p xx根据公式（4）立刻可求得通解( )1121211p x dxyC yC yedyy11221xdxxyC xC xedxx11221dxdxxyC xC xedxxln(1)1221xxC xC xeedxx12

6、2(1)xxC xC xe dxx12221xxeC xC xdxC xe dxxx1221xxeC xC xdxC x e dxx12211xxxeC xC xdxC xee dxxxx1222xxxeeC xC xdxC eC xdxxx12;xC xC e 通解为 12xyC xC e在这里我们不讨论三阶，四阶，阶变系数线性非齐次微分方程。n根据定理 3，我们的关键的要求试求线性非齐次微分方程的一个特解和对应齐次方程的一个基本解组的问题了。2. 阶线性非齐次微分方程的一般理论:n定理定理 6:6:阶线性非齐次方程（1）的通解等于它的对应齐次方程的通解与它n本身的一个特解之和。求对应齐次方

7、程的通解的方法我们不能加强讨论。我们加强讨论的是它本身的一个特解。求特解的方法有下面的三种：（1）常数变易法；（2）待定系数法；（3）拉普拉斯法;下面我们介绍一下常数变易法。2.12.1 常数变易法常数变易法设为方程（2）的基本解组,12( ),( ),( )nx tx tx t则方程（2）的通解为：1 122( )( )( )( )nny tC x tC x tC x t现在设一组函数 ，12( ),( ),( )nC x CxCx使 1122( )( )( )( )( )( )( )nny tC t x tC t x tC t x t为（1）的一个特解。式中 是待定系数。( )iC t(1

8、,2, )in 满足以下代数方程组。( )(1,2, )iC tin1122112222211221111122( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnCt x tCt x tCt x tCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtCt xtf t 这个方程组的系数行列式是基本解组的朗斯基行列式，( ) (1,2, )ix tin所以由以上方程组唯一确定，通过求积分可得求( ) (1,2, )iC tin的表达式，这

9、种求解线性非齐次方程解的方法称为常数变易( ) (1,2, )iC tin法。 , ( )( )iiC xx( )( )iiC xx dx例：例：求非齐次方程的通解。1cosyyx解：解：知道对应齐次方程的基本解组 ，1cosyx2sinyx对应齐次方程的通解为 12cossinycxcx设方程的特解为 12( )cos( )sinyc xxc xx 由关系式（5）满足方程组12( ),( )C xCx1212( )cos( )sin01( )sin( )coscosCxxCxxCxxCxxx解上述方程组，得 , 1sin( )cosxCxxa2( )1Cx积分 ， 1( )ln cosC x

10、x2( )Cxxcos ln cossinyxxxx 通解为12cossincos ln cossinyCxCxxxxx常数变易法是求非齐次线性微分方程特解的一般方法。但计算比较麻烦。例：例：求方程的解 。2(1)xyyex解：解：知道对应齐次方程基本解组是，1xye2xye对应齐次方程的通解为 12xxyC eC e设方程的特解为 12( )( )xxyC x eCx e由关系式（5），1( )Cx2( )Cx满足方程组12212( )( )0( )( )1xxxxxCx eCx eCx eCx eex解上述方程组，得2xxxxeeee 22122220(1)1( )(1)220(1)1(

11、)(1)22xxxxxxxeexeCxxeeexCxex 求求: :比较麻烦。12( ),( )C xCx所以下面我们介绍一下待定系数法。其计算较为简便。但是主要使用于非齐次项的某些情形。2.22.2 待定系数法待定系数法: :这里，我们考虑如下几种类型的非齐次项。(1)(2)( )( )( )( )cos( )sinxmxmmf xpx ef xepxxpxx其中 是多项式，是常数，首先求对应齐次微分方程(1)(2)( ),( ),( )mmmpxpxpx, 的特征根，求特征根的方法我们不能加强讨论。2.1.1 第一类型非齐次方程特解的待定系数解法:现在，考虑时，非齐次方程（1）的特解的求法

12、。( )( )xmf xpx e先从最简单的二阶方程 （6）xypyqye开始。因为经过求任意阶导数再与常数线性组合后，仍是原类型函数，所以，xe自然猜想到（6）有形如 xyAe（7）的特解，其中为待定常数。将（7）代入（6）得到A2xxApq ee则 21Apq（8）这样，当不是特征方程 20pq（9）的根时，则用（8）所确定的代入（7）便得到（6）的特解。A当是（9）的单根时，即，这时（8）无法确定。此时，20pqA可设特解为 xyAxe（10）并将它作为形式解代入(6)式，得22xxxApq xeAp ee因是当特征根，故可解出 1112Ap这时（6）便有形如（10）的特解，其中由（11

13、）确定。A 如果是（9）的重根，则，这时（10）的形式已不可用。此时，可2p 设特解为2xyAx e将它作为形式解，代入得到 622222xxxxApq x eAp xeAee由于是二重根，故上式左端前两个括号内的数为零，由此得到12A 综上所述，可以得到如下结论： 设是次实或复系数的多项式。()( )mpxm1011( )( ),1xxmmmmmf xepxep xp xpxpm（1）当不是特征根时， （10 有形如。的特解，其中1( )( )xmy xQx e1011( )mmmmmQxq xq xqxq（2）当是重特征根时， （1）有形如：的特解。1k 1( )( )kxmy xx Qx

14、 e其中也是形如上述的次多项式。( )mQxm上面考虑常数变易法不能解决的问题，下面讨论用待定系数法来解决。例：例：求方程 21xyyex解：解：先求齐次通解，特征方程为 特征根为 故210 121,1 齐次方程的通解为由于是特征根。故已知方程有形如12xxyC eC e1的解。将它代入原方程，得到 2012xye x B xB xB 32200112232xxxxxxyB e xB e xBe xBe xB e xB e 32220000111122336222xxxxxxxxxxyB e xB e xB e xB e xBe xBe xBe xBeB xeB e 所以代入原方程得01211

15、1,642BBB 12xxxyC eC ee212111642xxxyC eC ee xxx2.2.2 第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法： ( )( )cos( )sinxf xep xxxx时非齐次微分方程（1）的特解的求法。其中中有一个是次多项式。另外一个是次数不超过次的多项式。( ), ( )p xxmm 11( )cos( )sinnnxnya ya yep xxxx()()()()()()cossin,cossin( )( )( )( )( )22( )( )ixxixxixixixixsseexixeexxp xixp xixf xeeR x eT x e其中 是次多项式。(

16、 ),( )ssR x T xm1不是特征根，有特解。i( )cos( )sinxyep xxxx2是重特征根时，有特解。i1k ( )cos( )sinkxyx ep xxxx其中 都均是次多项式。( ),( )p xxm例：例：求方程的通解。2cos7sinxyyyexx解：解：先求解对应的齐次方程;20yyy我们有 得220121 ,2 212xxyC eC e因为数 不是特征根，故原方程具有形如1ii 的特解1cossinxyeAxBx将上式代入原故方程，由于1cossinxyeAxBx1cossinxyeABxBAx12 cos2 sinxyeBxAx故代入原方程，可得 2 ,1AB

17、2cossinxyexx2122cossinxxxYexxC eC e我们已经介绍了阶常系数线性方程n （12） 111( )nnnnya yaya yf x的通解结构和求解方法，但是在世界问题中往往还要求（12）初值条件 （13）11000000(),()()nny xyy xyyxy的解。为此，当然可以先求（12）的通解，然后再由初值条件（13）来确定其中的任意常数。下面我们介绍一下另外一种求解初值问题的方法。几拉普拉斯变换法。因为他无需要先求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，因而在运算上得到很大简化。2.32.3 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法: :求常系数线性非齐次微分方程的特解

18、。求方程（1）满足（2）的特解。其中 ia(12)in解法步骤：令首先给方程（1）的两端施行拉普拉斯变换，然后( )( )y tX s利用拉普拉斯变换原函数的微分性质及初始条件，将方程整理为以下形式( )( )( )( )F sB sY sA s其中： 11111231101200( ( )( ), ( )( )()()nnnnnnnnnnnnf tF sA ssa sasaB ssa saysa sayy最后对施行拉普拉斯逆变换则得到方程满足给定初始条件的( )( )( )( )F sB sY sA s特解为。11( )( )( )( )( )F sB sY tY sA s 例：例：，2sinxa xbat00(0), (0)xx xx解：解：20022( )( )abs x ssxxax ssa002222221( )absx sxxsasasa右边的第一个项分解为部分分式 22222222221()2()abbsasaa sasa220022222222211( )2()basasax sxxa saasasaa sa作逆变换L。002( )(sincos)cossin2xbx tatatatxatataa总结总结本论文中利用实际问题研究了常微分方程中的