余弦定理及其证明

1、精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 1 / 7 余弦定理及其证明 步骤1. 在锐角 ABC中，设三边为a, b, c。作CHLAB垂足为 点H CH=a sinB CH=b sinA a - sinB=b - sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在 ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R : 如图，任意三角形 ABC,作 ABC的外接圆0. 作直径BD交OO于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角，所以/ DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等，所以/D等于/ C. 所以

2、c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 2 / 7 2. 三角形的余弦定理证明： 平面几何证法： 在任意 ABC中 做 ADL BC. ZC所对的边为c,/B所对的边为b,/A所对的边为 a 则有 BD=cosB*c，AD=sinB*c， DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC =AD +DC b =(sinB*c) +(a-cosB*c) b =sin B*c +a +cos B*c -2ac*cosB b =(sin B+cos B

3、)*c -2ac*cosB+a b =c +a -2ac*cosB cosB=(c +a -b )/2ac 3 在厶 ABC 中，AB=c、 BC=a CA=b 则 c =a +b -2ab*cosC a =b +c -2bc*cosA b =a +c -2ac*cosB 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此 类推。 过 A作 ADL BC 于 DBD+CD=a 精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 3 / 7 由勾股定理得： c =(AD) +(BD) , (AD) =b -(CD) 所以 c =(AD) -(CD) +b =(a-CD) -(CD)

4、 +b =a -2a*CD +(CD) -(CD) +b =a +b -2a*CD 因为 cosC=CD/b 所以 CD=b*cosC 所以 c =a +b -2ab*cosC 题目中表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定 理有好几种不同的证明方法.人教A版教材数学(必修5) 是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到 作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种 构思方法过于独特，不易被初学者接受 .本文试图通过运用 多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理， 进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数

5、”与“形”的完 美结合. 定理：在厶 ABC 中，AB=c,AC=b,BC=a,贝U 精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 4 / 7 (1)( 正弦定理)=； (2)( 余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一：如图1,设AD BE、CF分别是 ABC的三条高( 则有 AD=b?sinZ BCA BE=c?sinZ CAB CF=a?sin/ABC 所以 SAABC=a?b?csinZ BCA =b?c?sin / CAB =c?a?sin / A

6、BC. 证法二：如图1,设AD BE、CF分别是 ABC的3条高 则有 AD=b?sinZ BCA=c?sinZ ABC BE=a?sinZ BCA=c?sinZ CAB 证法三：如图 2,设CD=2r是厶ABC的外接圆 的直径，贝DAC=90，/ ABCh ADC 证法四：如图3,设单位向量j与向量AC垂直。 精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 5 / 7 因为 AB=AC+CB 所以 j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB. 因为 j?AC=O, j?CB=| j |CB|cos(90 - / C)=a?sinC, j?AB=| j |AB|c

7、os(90 - / A)=c?sinA . 二、 余弦定理的证明 法一：在厶ABC中，已知，求c。 过A作， 在Rt中， 法二： ，即： 法三： 先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形，得 结合、有 即. 同理可证 三、 正余弦定理的统一证明 精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 6 / 7 法一：证明：建立如下图所示的直角坐标系，则 A=(0， 0)、B=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得： C=(bcos A,bsin A)，以AB BC为邻边作平行四边形 ABCC，贝U精品文档 2016 全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作-独家原创 7 / 7 / BAC = n - / B, C (acos( n -B),asin( n - B)=C(-acos B). 根据向量的运算： =(-acos B,asin B) , =-=(bcos A-c,bsin A), (1) 由=:得 asin B=bsin A, 即 同理可得：=. = (2) 由=(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A 又 I l=a, a2=b2+c2 -2bccos A. 同理： c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二：如图5, ,设轴、轴方向上的单位向量分别为 、