第四章补充2 Copula函数介绍

1、补充2：Copula函数内容提要：w 背景问题；w Copula函数介绍；w Copula函数的类型；w 相关性度量；w Copula函数在风险管理中的应用。一、背景问题w 在保险与金融业，度量公司的保险产品组合或公司持有金融资产的组合的风险是一个非常普通的问题。例：考虑两类保险风险风暴和洪水的索赔分布：（1）仅了解单个索赔的分布是否足够？（2）如果风险索赔具某种相关性，情况又会怎样？一、背景问题：为什么需要先进的相依结构建模w 保险和金融中的新的复杂产品产生了具有复杂相依结构的组合；w 需要比多元正态分布更灵活的多元模型；w 在观察到的相依结构中，相关系数并非满意的相依结构度量；w 错误的相

2、依结构会严重低估组合风险；w 边缘分布+相依结构=组合模型。二、 Copula函数介绍：简史w Copula函数的基本思想是将多元分布（组合模型）的相依结构和边缘分布予以分离；w 1940年，Hoeffding研究了多元分布的性质；w 1959年， 单词“Copula”在Sklar发表的学术论文中第一次出现；w 1998年，在风险管理中如何运用Copula的研究 论文出现；w 2004年，保险公司和金融机构开始用Copula作为风险管理工具；w 2002年，张尧庭在国内最早在理论上探讨了Copula在金融上应用的可行性 。二、 Copula函数介绍：定义w 定义：n维Copula函数就是 上边

3、缘分布为均匀分布的多元分布函数。w 例1：设C(u,v)=uv,且u、v是（0,1）上相互独立的均匀分布，则C是Copula函数（称为独立Copula函数）。w 例2：设（X,Y）是一对随机变量，联合分布函数为H(x,y)，边缘分布函数为 和 。则：1）U= 、V= 均为（0,1）上的均匀分布; 2)(U,V)的分布函数是Copula函数。0,1n()XFX( )YFy( )XFx( )YF YSklar定理 设F是一个n维的随机分布函数，其边缘分布函数是 ， ， 。那么存在一个n维的Copula函数 对于所有在 的x满足 ，如果边缘分布函数是连续函数，那么该Copula函数 是唯一的。1F2

4、F3FnFnR1211( ,.,)( ),.,()nnnF x xxC F xF x12( ,.,)nC u uu12( ,.,)nC u uuSklar定理的作用w 利用Sklar定理，风险管理者可以自由地把任意n个一元边际分布函数（其可以相同，也可以互不相同）构成一个n元的联合分布函数。同样是这n个一元分布函数，选用的Copula函数不同，得到的n元联合分布函数也不同。通过Copula函数构造联合分布函数，可以使风险管理者很容易地突破已知的标准多元分布函数限制，在多个随机变量的联合分布建模时，有更多的选择余地，从而更加容易地对金融保险领域中的随机风险建模。三、Copula函数的类型w （1

5、）多元正态Copula函数(Multivariate Gaussian Copula)：密度函数为 其中 表示相关系数矩阵为 的标准正态分布， 表示标准正态分布函数的逆函数。w “或”正态随机变量 的均值和方差分别为 ,i=1,2,n，协方差矩阵为 。则 随机变量 （i=1,2,n）的分布函数 为Copula函数，称为协方差矩阵为 的正态（高斯） Copula函数（ 为标准正态分布函数）。,ii1(.)12(,.)nCuuu()iiiiXU1112,1(,.,)(),.,()NNCuuuuuiXCopula函数的类型（续）w （2）多元t-Copula函数(Multivariate Stude

6、nt Copula）w （3）阿基米德Copula函数(Archimedean Copula)w （4）极值Copula函数(Extreme Value Copula)w （5）乘积Copula函数：独立均匀分布的连乘积形成的Copula函数。四、相关性度量：线性相关w w （1）对奇异点敏感；w （2）测度X与Y之间的平均相关性；w （3）在严格递增线性变换下不变。(, )()()X YE XEX YEY11(,)()()(1)niiiX Yxxyyn四、相关性度量：秩相关定义1：两组(x,y)和 被称为协同(concordant)是指 ；被称为不协同(discordant)是指 。定义2：

7、Kendall tau：设 与（X,Y）相互独立同分布， 它可由下式估计： 总的协同对数与总的非协同对数之差除以总的对数。( , )x y()()0 xxyy()()0 xxyy(,)X Y( , )()()0()()0 x YP XXYYP XXYYKendall tau的性质w （1）对奇异值不敏感；w （2）测度X与Y之间的平均相关性；w （3）在严格递增（含线性)变换下不变；w （4）仅依赖（X，Y)的Copula。四、相关性度量：尾相关定义：设（X，Y）是边际分布函数为 和 的随机向量，（X，Y）的上尾部相关系数定义为 假设 存在; （X，Y）的下尾部相关系数定义为 ；若 在。如果

8、，则称（X，Y）上（下)尾相关。xFyF0,1U0,1L0(0)UL111(, )lim( )( )UYXuX YP YFuXFu110(, )lim( )( )LYXuX YP YFuXFu五、 Copula函数在风险管理中的应用：之一w 李健伦，保险监管中的法定偿付能力度量问题研究第二章与第三章，中国科技大学博士论文，2006w 关注点：1）如何把现实问题转化为Copula可解决的问题；2）如何将Copula方法实现化。五、 Copula函数在风险管理中的应用：之二w 保险公司各产品线之间损失相关性（可用赔付率来考虑！）w 非寿险公司准备金计算w http:/ (Goouon Actuarial Solutions) 参考文献w Nelsen,R.B. An Introduction to Copulas. New York: Spring-Verlag, 1999w Joe,H. Multivariate Models and Dependence Concepts. London: Chapman a