线系统的根轨迹分析ppt课件

1、4-1 4-1 根轨迹的根本概念根轨迹的根本概念4-2 4-2 绘制根轨迹的根本条件和根本规那绘制根轨迹的根本条件和根本规那么么4-3 4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 4-4 迟后系统的根轨迹迟后系统的根轨迹4-5 4-5 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能)8( ssK例：知单位反响系统开环传送函例：知单位反响系统开环传送函 数，求数，求K1K1从从00变化时，系统闭变化时，系统闭环根轨迹环根轨迹当当K1K1从从0 0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连 续曲线续曲线 - - 系统闭环根轨迹系统闭环根轨迹解：系统闭环特征方程为

2、：解：系统闭环特征方程为：D(s)=S2+8S+K1=0D(s)=S2+8S+K1=0 特征根为：特征根为： S1,S2= - 4 S1,S2= - 4 1K16 根 K1 0 0 16 16 16 S1= - 4 +1K16 0 0 - 4 - 4 - 4+ - 4+j S2= - 4 -1K16 -8 - 8- 4 - 4 - 4- - 4-j 16K1j16K1j重根共轭复根两根对称根轨迹如下：根轨迹如下：实根 -16K116，根轨迹进入复平面。，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃呼应会振即：此时系统阶跃呼应会振荡荡dd不为零不为零 ； K1 K1越越大振荡越厉害大振荡越厉害小、振小、振

3、荡频率越高荡频率越高dd大大3 3、K1=16 K1=16 时系统阶跃呼应临时系统阶跃呼应临界振荡界振荡根轨迹提供的信息：根轨迹提供的信息：根轨迹可以提供有关根轨迹可以提供有关系统性能的信息系统性能的信息0)()(1SHsG1Pi)(S)Z(SK）（n1im1jj1SHSG)(一、一、 绘制根轨迹的根本条件绘制根轨迹的根本条件系统闭环特征方程为：系统闭环特征方程为：)(sG)(sH)(sC)(sR)()(1)()(sHsGsGsGB)()(1sHsGSD）（1Pi)S()ZS(K）（n1ipim1jjzjSHSG)(系统闭环特征方程的根为：系统闭环特征方程的根为：1)()(SHsG2 , 1

4、, 0),12180)()(0qqSHsG（1)()(SHsG1n1i-m1jK1|PiS|ZjS|180*1)(2qPi)(S)Z(Sn1ijm1j幅值条件幅角条件1k1dcba幅角应满足：180) 12(4321q左例：幅值应满足：绘制根轨迹的两个根本条件绘制根轨迹的两个根本条件 : :幅值条件和幅角条件幅值条件和幅角条件z2z1P1P2abcdjSa由于由于S S是复数，所以是复数，所以D(s)D(s)也也是复数；上式两边的幅值是复数；上式两边的幅值和幅角应分别相等；从而，和幅角应分别相等；从而，得到绘制根轨迹的两个根得到绘制根轨迹的两个根本条件：幅值条件和幅角本条件：幅值条件和幅角条件

5、条件规那么二规那么二 根轨迹起始于开环极点，终止在开环零根轨迹起始于开环极点，终止在开环零点点规那么一规那么一 根轨迹延续且对称于实轴根轨迹延续且对称于实轴由于由于K1K1延续变化；系数为实数，有复根必共轭延续变化；系数为实数，有复根必共轭1n1im1jjKPi)(S)Z(S1根据绘制根轨迹的两个根本条件，根据绘制根轨迹的两个根本条件，演绎出八条绘制根轨迹的根本规那么；演绎出八条绘制根轨迹的根本规那么； 根据这些规那么绘制根轨迹不用计算根据这些规那么绘制根轨迹不用计算 特征根而只需做简单的计算和判别。特征根而只需做简单的计算和判别。以以 K1 K1 为参变量的根轨迹：为参变量的根轨迹：是是K1

6、 K1 从从0(0(起点起点) )到到( (终点终点) )变化时变化时系统闭环极点在根平面上的轨迹系统闭环极点在根平面上的轨迹起点和终点确定方法如下页：起点和终点确定方法如下页：二、二、 绘制根轨迹的根本规那绘制根轨迹的根本规那么么根 轨 迹 法K1从0变化，根轨迹起点在K1=0处根轨迹终点在K1= 处0n1iPi)(S根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 Pi Pi0m1jj)Z(S根轨迹终止在开环零点根轨迹终止在开环零点 Zj Zj1 1n n1 1i im m1 1j jj jK K1 1P Pi i) )( (S S) )Z Z( (S S根 轨 迹 法无妨假设极点无妨假设极点p1

7、,p2,pm;p1,p2,pm;分别终止在分别终止在z1,z2,zm z1,z2,zm n条轨迹从开环极点出发，只能有m条终止在开环零点, nm, 另外n-m 条应终止何处？ 余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处11KPn)(S)PmPm)(S(S)P)(SP(SZm)(S)Z)(SZ(SKPn)(S)P)(SP(SZm)(S)Z)(SZ(S12121212111 那麽，余下那麽，余下n-mn-m个极点只能是个极点只能是S S 即：终止在无穷远处即：终止在无穷远处例如，上一节的二阶系统例子例如，上一节的二阶系统例子 根 轨 迹 法规那么三规那么三 实轴上的根轨实轴上的根轨迹迹180*1)(2qP

8、i)(S)Z(Sn1ijm1j例如，某系统开环零极点分布例如，某系统开环零极点分布 如图。如今要判别实轴上的如图。如今要判别实轴上的 某点某点SaSa是不是根轨迹上的点是不是根轨迹上的点由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹：由幅角条件很容易得到实轴上的根轨迹： 各开环零、极点的幅角：各开环零、极点的幅角： 实轴上实验点右边的零、极点其幅角为实轴上实验点右边的零、极点其幅角为180180 幅角为零的零、极点在实轴上实验点左边幅角为零的零、极点在实轴上实验点左边根 轨 迹 法共轭零、极点的幅角其和为零共轭零、极点的幅角其和为零 P10jZ2Z1P5P4P3P2Sa察看左边等式有如下结论：察看左边等式

9、有如下结论：要判别实轴上的要判别实轴上的 某点某点SaSa是不是根轨迹上的点，只需计算是不是根轨迹上的点，只需计算一下它右边的实轴上零极点的幅角和能否符合幅角条件一下它右边的实轴上零极点的幅角和能否符合幅角条件21 00()P(S)P(S)P(S)ZS2a1a5a2a180180180()P(S)P(S)ZS4a3a1a实轴上的某一点假设在根轨迹上，实轴上的某一点假设在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数那麽，在它右边的零、极点总数应为奇数个。应为奇数个。根根 轨轨 迹迹 法法规那么三规那么三设实轴上实验点右边有设实轴上实验点右边有 M M个零、个零、N N个极点，根据幅角条件那么有：个极点

10、，根据幅角条件那么有：M M* *180O - N180O - N* * 180O = -(2q+1)180O 180O = -(2q+1)180O得得 (M+ N) (M+ N)* * 180O = -2q+1 180O = -2q+1* *180O180O两边同时加上两边同时加上 2N 2N* * 180O 180O 得得 M+ N= 2q+1 M+ N= 2q+1 即即M+ NM+ N为奇数为奇数由此可知，上图由此可知，上图中，实轴上的根中，实轴上的根轨迹如右图轨迹如右图P10jZ2Z1P5P4P3P2Sa规那么四规那么四 无穷远处根轨迹渐进无穷远处根轨迹渐进线线 与实轴的夹角计算公式与

11、实轴的夹角计算公式规那么五规那么五 无穷远处根轨迹渐进无穷远处根轨迹渐进线线 与实轴的交点计算公式与实轴的交点计算公式180) 12(mnqamnzpm1jjn1iia证：证：当当nm nm 时时, , 有有n-mn-m条根轨迹是趋向条根轨迹是趋向无穷远无穷远, , 在无穷远处在无穷远处, ,根轨迹趋向一根轨迹趋向一条直线条直线, ,该直线由它和实轴的夹角和该直线由它和实轴的夹角和交点确定交点确定180*1)(2qPi)(S)Z(Sn1ijm1j由幅角条件：由幅角条件： 由于根由于根SaSa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就

12、是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为 a那么那么有有 180*) 12(*qnmaa180*m-n) 12(qa即：1-m-nm-n1SSK)(mn(G(s)H(s)a )ba(G(s)H(s)1-m-nm-n1SSKn1iim1jj)P()Z(G(s)H(s)1-nn1iin1-mm1jjm1n21m211S)(-PSS)(-ZSK)P(S)P)(SP(S)Z(S)Z)(SZ(SK渐进线与实轴的交点：渐进线与实轴的交点：1-nn1-mm1SSS(SKa)bG(s)H(s)记为：记为：又由于，在无穷远处：又由于，在无穷远处：|an1m21

13、S|S|2S|S|ZS|ZS|ZS|PPPm-na1nama1)(SK)(S)(SKG(s)H(s)分子除分母得：分子除分母得： 多项式展开，得：多项式展开，得： 对比两式系数得：对比两式系数得：即： mnbaamnam1jjn1ii)(Z-)(P例例4-24-2：知：知)2S)(1S(SG(s)H(s)1K试绘制根轨迹试绘制根轨迹规那么三规那么三 实轴上的根轨实轴上的根轨迹迹规那么二规那么二 根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点规那么四、五规那么四、五 渐进线与实轴的夹角、交点渐进线与实轴的夹角、交点p1= 0, p2 =p1= 0, p2 = 1, p3 = 1, p3 = 2 200

14、1 , 1 , 22解：根据规那解：根据规那么么60o60o- -60o60o- -180180o oK1K1K1K1K1 三条渐进线如图三条渐进线如图1 , 0 180,60180*m-n) 12(取qqa103) 0() 210( mnam1jjn1ii)(Z-)(Pj0k1=0-2-1k1=0k1=0规那么六规那么六 根轨迹的会合点与分别点根轨迹的会合点与分别点0) s (D) s (NK1) s (G1(s)F1闭环特征根闭环特征根 S S 随随 K1 K1 变化而改动，在某个变化而改动，在某个K1K1下根轨迹能够相下根轨迹能够相交交( (相交处称会合或分别点相交处称会合或分别点) )

15、 ，作为系统特征方程的解，在该，作为系统特征方程的解，在该处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。0 ) s (D) s (N) s (N) s (D 0ds(s)Fd即：可以令：得到这个式子也可以用令0dsdK1例：上例中用上式求分别点：例：上例中用上式求分别点：S2S3S)2S)(1S(S) s (D231) s (N解得 0)2S6S3(2577. 1S423. 0S21由规那么三可知，由规那么三可知，-1.577-1.577处没有根轨迹，故舍去，所以，处没有根轨迹，故舍去，所以，分别点是分别点是 - 0.423 - 0.423代入得：代入得：

16、或者，将或者，将-1.577-1.577代入代入F(s)=0, F(s)=0, 可求出可求出K1= - 0.385,K1= - 0.385,显然不合显然不合题意，舍去题意，舍去综合例：综合例：)22)(3()()(G21SSSSKsHs求以求以K1K1为参变量的系统根轨迹。为参变量的系统根轨迹。解：解：)1)(1)(3()()(G1jSjSSSKsHs1 1、根轨迹起点：、根轨迹起点：0 0 ，-3 -3 ，-1 -1 j j2 2、实轴上根轨迹：、实轴上根轨迹：0 0 -3 -3由特征方程为：由特征方程为：01685234kSSSS0)5 . 1475. 3(4dsdK231SSS4 4、分

17、别点：、分别点：求出重根为：求出重根为： S1 S1、2 = - 2.32 = - 2.3135,45180)12(mnqa25. 1040) 1130(11mnzpmjjniia分别点分别点-2.3-2.3根 轨 迹 法3 3、渐近线：、渐近线：- -1.251.25j-jP2-10j -3P1P4P3复数极点附近根轨迹形状怎样？复数极点附近根轨迹形状怎样？在复数极点附近取一个实验点在复数极点附近取一个实验点SaSa，各零、极点到实验点，各零、极点到实验点SaSa的的矢量幅角和应满足幅角条件，当矢量幅角和应满足幅角条件，当SaSa点无限趋近该复数极点时，点无限趋近该复数极点时，可求出根轨迹从

18、该点出射方向。可求出根轨迹从该点出射方向。180*1)(2q-4321上例中，为求根轨迹从上例中，为求根轨迹从P3P3点处的出射角，点处的出射角， 在在其附近找一个其附近找一个 实验点实验点SaSa，并以为该点在根轨，并以为该点在根轨迹上，那么，它应满足幅角条件：迹上，那么，它应满足幅角条件：00 93135有：42175根据上式，可以求得：375点的出射角：可以知道根据根轨迹的对称性，44P 规那么七规那么七 根轨迹的出入射角根轨迹的出入射角j-jP2-10j-2.73P1P31432sa假设假设SaSa无限接近无限接近 P3 P3j-jP2-10j -3P1P4P3根轨迹的出入射角用下式求

19、得根轨迹的出入射角用下式求得: :)()(180)12()()(180)12( 1111niikmkjjjkznkiiikmjjkppSZSqpSZSqkk根 轨 迹 法75-75-2.3-1.251K1K1K1K规那么八规那么八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点上例中当上例中当 K1 K1 增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面, ,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根 S= S= jn jn因此，可以采用两种方法来求：因此，可以采用两种方法来求：第一种方法，采用第一种方法，采用RothRoth判据判据第二种方法，

20、用第二种方法，用S= S= j j代入特征方程，令实部为零，代入特征方程，令实部为零，求出求出 K1 K1 代入虚部得代入虚部得根据上述规那么曾经可以画出大致的系统闭环根轨迹根据上述规那么曾经可以画出大致的系统闭环根轨迹, , 为更准确些为更准确些还可以确定其特殊点的位置还可以确定其特殊点的位置: :根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点综合例：综合例：)22)(3()()(G21SSSSKsHs求以求以K1K1为参变量的系统根轨迹。为参变量的系统根轨迹。解：解：)1)(1)(3()()(G1jSjSSSKsHs1 1、根轨迹起点：、根轨迹起点：0 0 ，-3 -3 ，-1 -1 j j2 2、

21、实轴上根轨迹：、实轴上根轨迹：0 0 -3 -3由特征方程为：由特征方程为：01685234kSSSS0)5 . 1475. 3(4dsdK231SSS4 4、分别点：、分别点：求出重根为：求出重根为： S1 S1、2 = - 2.32 = - 2.3135,45180)12(mnqa25. 1040) 1130(11mnzpmjjniia分别点分别点-2.3-2.3根 轨 迹 法3 3、渐近线：、渐近线：- -1.251.25j-jP2-10j -3P1P4P3j-jP2-10j -3P1P4P3在上例中，采用第一种方法：其特征方程为：在上例中，采用第一种方法：其特征方程为：ROTH阵列：0

22、010053455204015340651811kKkk令：由第三行组成方程：由第三行组成方程： 6.8S2+k1= 0 6.8S2+k1= 0得得 S1 S1、2 = 2 = j1.1 j1.1根据八条规那么完成系统根轨迹如根据八条规那么完成系统根轨迹如右右7575-75-75-2.3-2.3- -1.251.251K1K1K1K01685234kSSSS0534552041 Kj1.1得 k1 =8.16根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点43 广义根轨迹广义根轨迹一、参数根轨迹一、参数根轨迹二、多回路根轨迹二、多回路根轨迹三、正反响和零度根轨迹三、正反响和零度根轨迹一、参数根轨迹一、参数

23、根轨迹以系统中恣意一个参数开环零点、开环极点、时间常数、反以系统中恣意一个参数开环零点、开环极点、时间常数、反响比例系数等响比例系数等 绘制的根轨迹。绘制的根轨迹。研讨参数根轨迹的目的研讨参数根轨迹的目的 分析参数变化对系统性能的影响分析参数变化对系统性能的影响0)()(1)()(1)()(111sDsNKpszsKsHsGniimii绘制参数根轨迹图根本原理绘制参数根轨迹图根本原理常规根轨常规根轨迹方程：迹方程：0)()(1sQsP参数根轨参数根轨迹方程：迹方程：等效开环等效开环传送函数传送函数以以为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹为可变参数绘制的根轨迹即为参数根轨迹例：例：系统的开环传送

24、函数为系统的开环传送函数为)22()()()(21ssssKsHsG绘制以绘制以为参数的参数根轨迹，并讨论为参数的参数根轨迹，并讨论值对系统稳定性的影响。值对系统稳定性的影响。解：解：1以以为参量的等效开环传送函数为参量的等效开环传送函数系统特征方程系统特征方程0)22()(121ssssK0)()22(12sKsss0)22(112KsKsss0)22(1121sKsssK等效开环等效开环传送函数传送函数1)21)(21()22(1)22()( )( 112121KjsjssKsssssKsssKsHsG开环极点开环极点21210221jpjpp实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹0 ,渐近线渐近线

25、32030)21()21(0) 1,0(180,60180) 12(110jjmnzpqmnqmiiniiaa根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:特征方程特征方程03223sss0123026231ssss006062222ss交点为交点为73. 13js出射角出射角:劳斯表劳斯表njiiijmiijjpppzpk11)()() 12(3090)73. 1180(1800arctg对于对于-1+j1.73处的极点有处的极点有对于对于-1-j1.73处的极点有处的极点有30)270()73. 1180(18030arctg-2-1.5-1-0.500.511.52-2-1.5-1-0.500.

26、511.52Real AxisImag Axis 控制系统开环传送函数 ，试绘制以为参变量的根轨迹以及同时变化K时的根轨迹。 )(1()()(sssKsHsG0)(1(1)()(1sssKsHsG0) 1() 1(2Kssss以为参变量的根轨迹方程0) 1(12ssK1) 1() 1(2Kssss画以K为参变量的根轨迹来求出方程的极点1) 1() 1(2Kssss不同K值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇0123ssssKaKaaa!) 1(110Ka0) 1(K根轨迹与虚轴交点2411K以为参变量的根轨迹方程二、多回路根轨迹二、多回路根轨迹根轨迹不仅适宜于单回路根轨迹不仅适宜于单回路,也适

27、用于多回路。也适用于多回路。)2(1ssKs)(sC)(sR)(sE系统的开环传送函数系统的开环传送函数SKssKsEsCsG11)2()()()(系统特征方程系统特征方程0)2(11KSKss0)2(111KssSK以以为参数为参数-9-8-7-6-5-4-3-2-101-8-6-4-202468Real AxisImag Axis10K20K50K4212 ss6 . 0sKf)(sC)(sRcK1 . 0s研讨以研讨以KC 、Kf为变量的根轨迹为变量的根轨迹系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！系统有两个环，内环的极点就是外环的开环零点！1绘制内环的根轨迹图绘制内环的根轨迹图内环的

28、开环传送函数内环的开环传送函数) 42)(6 . 0()()(211sssKsHsGf根据根轨迹绘制规那么绘制出以根据根轨迹绘制规那么绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图为参数的内环根轨迹图-2-1.5-1-0.500.51-3-2-10123Real AxisImag Axis2)确定内环的闭环极点确定内环的闭环极点假定内环的反响系数假定内环的反响系数 3.2Kf3.5内环的特征方程内环的特征方程0) 42)(6 . 0(2fKsss可选可选Kf=3.36,那么求得内环的闭环极点那么求得内环的闭环极点为为83. 15 . 083. 15 . 06 . 1321jpjpp3)绘制外环的根轨迹图绘制

29、外环的根轨迹图外环的开环传送函数外环的开环传送函数) 6 . 3)(6 . 1() 1 . 0)(6 . 0()()(2sssssKsHsGc)()()(1)()()(2111sHsHsGsGKsHsGc-2-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.511.52Real AxisImag Axis三、正反响和零度根轨迹三、正反响和零度根轨迹)(sG)(sH)(sC)(sR)(sGc1、部分正反响系统的框图、部分正反响系统的框图)()(1)()()(1sHsGsGsRsC正反响回路的闭环传送函数正反响回路的闭环传送函数特征方程特征方程0)()(1sHsG0) s (H) s (

30、G1) s (D1) s (H) s (Gm个零点n个极点nm1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii1pszsKn1iim1ii幅值条件“+ +“- -“1 1niimiiqpszs11) 12()()(幅角条件k =0, 1, 2, “2k2k根轨迹的分支数根轨迹的分支数 ( (一样一样) )根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点 ( (一样一样) )根轨迹的对称性根轨迹的对称性 ( (一样一样) )实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧( (实轴上实轴上) )开开 环实零、极点数目之和相应为偶数环实零、极点数目之和相应为偶数(0

31、(0也视为偶数也视为偶数) )。根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点根轨迹渐近线与实袖的交点 ( (一样一样) )根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为根轨迹的会合点和分别点根轨迹的会合点和分别点 ( (一样一样) )根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角分开开环极点出射角分开开环极点出射角进入开环零点的入射角进入开环零点的入射角根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 ( (一样一样) )mnk2anji1iijm1iijjp)pp()zp(k2mji1iijn1iijjz)zz()pz(k2正反响系统的根轨迹的根本规那么正反响系统的根轨迹的根

32、本规那么2 2条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条那么沿正实条根轨迹：一条终止于开环零点，另一条那么沿正实轴趋于无穷远处。轴趋于无穷远处。知正反响系统的开环传送函数，试绘制系统的根轨迹。知正反响系统的开环传送函数，试绘制系统的根轨迹。开环极点开环极点p1,2=-1p1,2=-1j, j,开环零点开环零点z=-z=-2 2 1802mnqa45)()(221111ppzpqp452p2s2s)2s (K) s (H) s (G2实轴上实轴上 一一2 2，+ + 为根轨迹，为根轨迹，n-m=1n-m=1渐近线渐近线出射角出射角与虚轴交点：与虚轴交点：0)K22(s )K2(s) s (D2K22s

33、K2sK221s0121K S=jS=j、K=1K=1代入代入D(s)=0D(s)=0 =0=0例例1)ps ()zs (K) s (H) s (Gn1iim1ii2s2s2sK202s4sds) s (dB) s (Ads) s (dA) s (B22s2s) s (A22s) s (B54. 0b41. 3s2！舍去2180b分别点或会合点：零度根轨迹的绘制零度根轨迹的绘制以具有正反响内回路的的系统为例。以具有正反响内回路的的系统为例。具有正反响内回路系统如下图，外回路是采用负反响加以具有正反响内回路系统如下图，外回路是采用负反响加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路稳定，

34、为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反响系统的根轨迹。的零、极点，这就相当于绘制具有正反响系统的根轨迹。)(sC)(sR)(sG)( sH)(1sG)(1sH)()(1)()()()(sHsGsGsRsCsWB1)()(sHsGqpszsoniimjj20)()(11等效为相角方程幅角条件和幅值方程幅值条件mjjniizspsK11*0) s (H) s (G1) s (Dm个零点n个极点nm1e)ps ()zs (K) s (H) s (Gsn1iim1iise ) s ( H) s ( G) s (H) s (G111sniimiiepszsK幅值条

35、件3 .57) 12()()(11niimiiqpszs幅角条件q =0, 1, 2, 1s1es很小第四节第四节 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹绘制滞后系统根轨迹的根本规那么绘制滞后系统根轨迹的根本规那么3、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上实轴上)开开 环实零、极点数目之和相应为奇数。环实零、极点数目之和相应为奇数。4、根轨迹的渐近线：、根轨迹的渐近线：1、滞后系统的根轨迹是延续的并对称于实轴、滞后系统的根轨迹是延续的并对称于实轴2、根轨迹的起点和终点、根轨迹的起点和终点1111epszsKinijmj1111Kepszsinijmj起

36、点起点,ips终点终点,jzs根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴1111epszsKinijmjezspsKjmjini111110KK根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为niimiikpszs11) 12(3 .57)()(smzsmii1)(niinps1)(N3 .573 .57N,2,1,0,1,2 Ns0)(1miizsniips10)(0)(1dssGeddsdKs5、根轨迹的分别点：、根轨迹的分别点：6、根轨迹的出射角和入射角：、根轨迹的出射角和入射角：niimiikpszs11) 12(3 .57)()(njiiijmiijjpppzpk11)()() 12(3 .57mjiiij

37、niijjzzzpzk11)()() 12(3 .57、 210k7、根轨迹与虚轴的交点：、根轨迹与虚轴的交点：求解0)(1sGes代入特征方程令js 例：设滞后系统的开环传送函数为例：设滞后系统的开环传送函数为1)1seKesGss（要求绘制此系统的根轨迹图。要求绘制此系统的根轨迹图。解：解：系统特征方程为系统特征方程为0111seKs绘制根轨迹的相角条件为绘制根轨迹的相角条件为) 12() 1(3 .57ks、210k1根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点起点起点 p1=-1 , =- 终点终点 趋于无穷远趋于无穷远2实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 -，-13根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴

38、交于根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于3 .57N,2,1,0,1,2 N4令令k=0画出主根轨迹画出主根轨迹) 12() 1(3 .57ks、210kk=0 的根轨迹，称为主根轨迹的根轨迹，称为主根轨迹k=1、2、 的根轨迹，称为辅助根轨迹的根轨迹，称为辅助根轨迹3 .57180) 1( s作作图图方方法法1j11p1s13 .571803 .57) 12()()(11niimiiqpszs幅角条件111sniimiiepszsKKepszssniimii111左边无穷远或根轨迹的起点：0K右边无穷远或根轨迹的终点：K所以根轨迹的起点处有无数条渐近线、终点处也有无数条渐近线P10jZ2Z1

39、P5P4P3P2sd奇数偶数偶数奇数（）（）（左边渐近线：NmnNmnNmnqqnmK)() 12(3 .57) 1218018018000000sdNmnqqnmK)(0) 12(3 .57) 12180000000（右边渐近线：证明：证明：0 0 00()P(S)P(S)P(S)ZS212aaa5a180180180()P(S)P(S)ZS4a3a1a系统闭环极点假设全部处在系统闭环极点假设全部处在S S平面的平面的左半面，那么系统稳定绝对稳定左半面，那么系统稳定绝对稳定根 轨 迹 法设某高阶系统有一对共轭闭环极点设某高阶系统有一对共轭闭环极点 Si = -wnSi = -wnjwdjwd

40、它对应的阶跃呼应分量为：它对应的阶跃呼应分量为：)()(21tSintebtCdiin各参数之间关系如图。各参数之间关系如图。jnjdnSi不稳定区稳定区假设：假设：Re(Si )= -wn0,Re(Si )= -wn0,当当tt时时该极点对应的阶跃呼应分量将趋于零。该极点对应的阶跃呼应分量将趋于零。 2211 1dtgnjjd1jd2 极点在虚轴上临界形状，其实部为零，阶跃呼应分量呈等幅振荡极点在虚轴上临界形状，其实部为零，阶跃呼应分量呈等幅振荡, , 极点离实轴越远，极点离实轴越远，wdwd越大，振荡频率越大越大，振荡频率越大 极点在负实轴上，极点在负实轴上，wd=0,wd=0,该极点对应

41、的阶跃呼应分量不会振荡单调该极点对应的阶跃呼应分量不会振荡单调j极点离实轴越远，极点离实轴越远， wd wd 越大，振荡越大，振荡频率越大频率越大j 极点离虚轴越远，极点离虚轴越远，|-zwn|-zwn|越大，越大，衰减越快，反之，极点离虚轴衰减越快，反之，极点离虚轴近，近，|-zwn|-zwn|小，阶跃呼应中该小，阶跃呼应中该分量衰减就慢，对过渡过程的分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。时间影响大。 极点在左半平面但不在负实轴上，极点在左半平面但不在负实轴上，wd0,wd0,该极点该极点对应的阶跃呼应分量会振荡对应的阶跃呼应分量会振荡, , 由于由于 -zwn0, -zwn0,振荡振荡幅值

42、随时间衰减幅值随时间衰减, ,当当t t 时该分量将趋于零时该分量将趋于零从原点画射线与根轨迹相交，从原点画射线与根轨迹相交，该射线与负实轴夹角该射线与负实轴夹角=60=601COS从图上得交点坐标从图上得交点坐标7 .0 j4 .0S2, 1372.2ZjSaPiSaKm1im1i1根 轨 迹 法设计的问题设计的问题例如：知根轨迹，假设要求系统有例如：知根轨迹，假设要求系统有z=0.5z=0.5的一对闭的一对闭环极点，求闭环极点的位置及相应的环极点，求闭环极点的位置及相应的K1K1的大小。的大小。由幅值条件得：由幅值条件得：j-jP2-10j-2.73P1P4P3j0.7-0.4S1主导极点

43、的定义及运用主导极点的定义及运用主导极点在第三章曾经下了定义，即：假设高阶系统中间隔虚轴主导极点在第三章曾经下了定义，即：假设高阶系统中间隔虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/51/5还要小，并且，该还要小，并且，该极点附近没有零点，那么可以以为系统的呼应主要由该极点决议。极点附近没有零点，那么可以以为系统的呼应主要由该极点决议。这些对系统呼应起主导作用的极点，称为系统的主导极点这些对系统呼应起主导作用的极点，称为系统的主导极点上述两个极点能否是系统的主导极点？上述两个极点能否是系统的主导极点？为此，应求出另两个极点再作判别。为此，应求出另两个极点再

44、作判别。 由于，知系统的闭环特征方程是：由于，知系统的闭环特征方程是： 2.372 K 7 .0 j4 .0S12, 101kS46. 5S46. 7S73. 4S234现知系统的有两个闭环特征根和此时的现知系统的有两个闭环特征根和此时的K1K1：可求出另两个闭环特征根：可求出另两个闭环特征根：)7 . 0 j4 . 0S)(7 . 0 j4 . 0S)(2SS)(S1(S372. 2S46. 5S46. 7S73. 4S 234令 28. 2S 8 . 1S4357 . 54 . 028. 2SRe(S55 . 44 . 08 . 1SRe(S) 14) 13可以以为可以以为S1S1、S2S

45、2是系统的主导极点，因此，将系统近似为闭环极是系统的主导极点，因此，将系统近似为闭环极点为点为S1S1、S2S2的二阶系统，并估计出系统的阶跃呼应性能：的二阶系统，并估计出系统的阶跃呼应性能：64. 0S8 . 0S)7 . 0 j4 . 0S)(7 . 0 j4 . 0S(2%3 .16%p8 .0 5 .0n S1 S1、S2S2能否是主导极点？能否是主导极点？ 与另外两个根进展比较一下与另外两个根进展比较一下根 轨 迹 法s105 . 743tns留意！上述定义主导极点时提到留意！上述定义主导极点时提到 “极点附近没有零点的条件，究竟极点附近没有零点的条件，究竟零点对系统的性能有什麽影响？实践上，系统的零点对系统的性能有什麽影响？实