杨辉三角形与高阶等差数列

1、三角形与高阶等差数列宁夏中卫中学 麦兴旺一、 杨辉简介杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个 排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉一生留下了大量 的著述，他编著的数学书共五种二十一卷。 他非常重视数学教育的普 及和发展，为初学者制订的习算纲目是中国数学教育史上的重要文 献。杨辉在详解九章算法一书中还画了一张表示二项式展开后的 系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三 角”。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10

2、10 5 11 6 15 20 15 6 1法国数学家巴斯加在 1654 年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”二、 杨辉三角的性质1、 杨辉三角的产生（1）、由 11 的 n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉 三角是 11 的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图：1(110)1 1(111)1 2 1(112)1 3 3 1(113)1 4 6 4 1(114)1 5 10 10 5 1(1155)1 6 15 20 15 61 (1166)(2)、(a+b) n的展式的系数1(n=0)1 1(n=1)1 2 1(

3、n=2)1 3 3 1(n=3)1 4 6 4 1(n=4)1 5 10 10 5 1 (n=5)1 6 15 20 15 6 1 (n=6)2、 杨辉三角的性质(a+b) r的展开式的系数排列如下1(r=0)11 (r =1)1 2 1 (r =2)1 3 3 1 (r =3)154641010520156(r =4)(r =5)(r =6)rcm(r=m)1 c(r=n+1)1 c 1 c 2 3n 1 n1 c 2n n1 2 n 1 c n 1 ccncn1 cnc(r=n-1)(r=n)1与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。cj。2对称性：杨辉三角中的数字左

4、、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”即。3J jcn =cn41+cn1。cn+c； + c 2 + c n杨辉三角中的高阶等差数列+ c n1 + c n=2n结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即n=1n=2n=3差分数列：数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成新数列称为差分数列如数列，如a1 ,a 2 , aan 的差分6 , b 2, b bn(b n = a n 1 -a n)称为一阶差分数列;由 b1 , b 2 , bbn -差分组成数列c1 , c 2 , c6称为二阶差分数列；1 3 3 1 (5)1 4 6 4 1 (6)1

5、5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15(一阶)把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20(二阶)把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15(三阶)把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6(四阶)7行中的数字对比,我们发现它们是完全相同的。将上面得到的数字与杨辉三角中的第i个数是斜行即：杨辉三角中有第i斜线的前n个数的和等于第i+1i-1中前n-1个数之和.斜线的第n+1个数;1+1+1+1 + + 1= c；1+2+3+

6、c 1n=c n ；23+ C n = Cn ；1+3+6+10+1+4+10+20+ c 3 = c4 ；C r + ；1+c；2+cn 1=cn1(r=1,2,3,)(*)公式(*)为杨辉三角的首项为1的 r阶等差数列求和公式。cn 1为通项公式cn1为前n项和的公式。四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和设an为一 r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式；1、 求r阶等差数列的通项公式设a1 ,a 2, aan为一 r阶等差数列，现用逐差法求通项公式;各阶差分数列一阶6,b2 , bbn-(b n =a n 1 -an)二阶C1,c2 , c-(c n =b n 1-bn)

7、三阶,m2 , m(mn =c n 1-cn)设 di 为各阶差分数列的首项，则有d1 = b 1= a 2 - a 1d 2 = c 1= b 2 - b 1则 d2 = c 1= b 2 - b 1 =( a-a 2 )- (a 2 - a 1) =a-2 a 2 + a 1d= m 1= c 2 - c 1 则 d= m1= c 2 - c 1=(b-b 2)-(b2- b 1)=( a 4 - a)-( a-a 2 )-( a-a 2 )+( a 2 - a 1) = a 4 -3 a+3 a 2 - a 1由此可推定 d 4 = a 5-4 a 4+6 a-4 a 2+ a 1d r

8、 =ar 1-c 1rar +c；ar 1-+(-1)r + a 产常数d r 1=0而 a2 =ar + b r= a r+ d ra= a2 + b 2 =( a 1+ d 1)+( b 1+ c 1 )= a 1+ d 1+ d 1+ d 2 (c 1= d 2 )= ar+ 2dr + d 2a 4= a+ b= (ar+ 2dr + d2)+( b2+ c2)=(a r+ 2dr + d2)+( br+ cr)+( cr+ mr)= ar+ 2dr + d 2+ dr+ d 2+ d 2+ d= ar+3 dr+3 d2+ d由此可推定a5= a r+4 d r+6 d 2 +4 d

9、+ d 4ar= a r + c r d r +c； r d 2 +c； f dr 2+ d r r所以通项公式an= a i+c1 r d r+cn r d2+cn r d r r+cn r d r(dr r=0)2 、高阶等差数列的前 n 项和公式设ar ,a 2 , aan为一 r阶等差数列， ar+ a 2+ a+ an现构造一 r+r 阶等差数列一阶ar ，a2,aa.二阶br , b2，b bn (b n =a n r-an)三阶cr , c2，c Cn (c n =b n r-bn)四阶mr , m2，mmn(mn=c n r-cn)0， ar， ar+ a 2， ar+ a2+

10、 a，各阶差分数列设D i为各阶差分数列的首项，则有D 1 = ai , D2= d ! , D3= d 2,Dri= dr , Dr 2= d r 1=0由前面通项公式知 a1+ a 2 + a+ a n是该数列的前n+1项，所以，a1 + a 2 + a+ a n = 0+ c： d 1 + c n D 2 + c n Dr +c n 1 D r 1=c：ai + c 2d!+c：d2+ c：dr i+ c ： 1dr设 Sn = a 1 + a 2 + a+ a n 贝U a1 , a2, aan前 n 项和公式为Sn 二 C：ai+ cd!+ c 3d2+ c ndr 1+ c n 1

11、dr (出“)例1、求高阶差数列 1, 7, 25, 61, 121, 211,的通项公式和前n项 和公式解：一阶6, 18, 36, 60, 90,二阶 12, 18, 24, 30,三阶 6, 6, 6,所以该数列是三阶等差数列a1 = 1, d 1 = 6, d2 = 12, d= 6, d4 = 0an = 6+6( n-1)+6( n-1)( n-2)+ (n-1)( n-2)( n-3)=n3-n+1S n=n+3n(n-1)+2n(n-1)(n-2)+ n(n-1)(n-2)(n-3)/4 检验 a5 = 125-5+1 = 121 s5=5+60+120+30=215例 2、在

12、下列数列的( )填上适当的数(这是某省招考公务员的试题)11, 23, 41, 65, (), 131,提示 该数列是一二阶等差数列例 3、将 Ln 定义为求在一平面内用 n 条直线确定的最大区域数目例如 n=1L1=2,进一步考虑：用n条直线放在平面上能确定的最大区域L n是多少？(这是第五届全国青少年信息学的竞赛试题)提示 L 1 =2, L2 =4, L3=7, L4 =11, L5 =16, 的二阶等差数列3 、高阶等差数列的通项公式和前 n 项和公式还有一种求法由通项公式 a n = a 1 + c n 1 d 1+c2 1 d 2+c： fdr 2 + c n 1 d r 1 +c

13、 n 1dr(r n-1)可得an是一个n的r次多项式；Sn = cna1+ c 2d1 + c n d2+ c ndr 1+ c n 1dr (r+1 n)是一个 n 的 r+1次多项式。这样可用待定系数法求得。例4求数列5 , 17, 35, 59, 89,的通项公式解：一阶 12 ，18，24，30 二阶6 , 6, 6,所以 该数列是二阶等差数列。设 a n=an2+bn+cn=1 a+b+c=5n=2 4a+2b+c=17n=3 9a+3b+c=35解之得 a=3 b=3 c=-1 所以 a n =3n2 +3n-1四、在VB中输出杨辉三角形 下面是打印杨辉三角形的20行VB程序:Private Sub Form_Click()N = InputBox(, ,5)ReDim a(N + 1,N+ 1),b(N + 1, N +1)Clsk =8For I=1 To NPrintString(N-I) *k / 2 + 1, );For J=1 To Ia(I,1)= 1a(I,I)= 1a(I+ 1,J +1)= a(I,J) + a(I, J+ 1)b(I,J)= Trim(Str(a(I,J)Printb(I,J);String(k- Le