概率随机变量的数字特征习题课

1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容二、主要内容数学期望数学期望方方 差差离散型离散型连续型连续型性性 质质协方差与相关系数协方差与相关系数二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差协方差的性质的

2、性质相关系数相关系数定理定理离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望的的分分布布律律为为设设离离散散型型随随机机变变量量X., 2 , 1, kpxXPkk , 1绝绝对对收收敛敛若若级级数数 kkkpx,1数数学学期期望望的的为为随随机机变变量量则则称称级级数数Xpxkkk , )(XE记记为为.)( 1 kkkpxXE即即连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望, )( , , d)( XEXxxxf记为记为的数学期望的数学期望随机变量随机变量则称此积分值为连续型则称此积分值为连续型绝对收敛绝对收敛若积分若积分 .d )()( xxxfXE 即即 ),( , xfX它它的的

3、概概率率密密度度为为是是连连续续型型随随机机变变量量随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望为离散型随机变量函数的数学期望为), 2, 1(, )( kpxXPXgYkk且且若若则有则有.)()(1 kkkpxgXgE.d )()()(xxfxgXgE ),( , xfX它的分布密度为它的分布密度为是连续型的是连续型的若若则有则有数学期望的性质数学期望的性质1. 设设C是常数是常数, 则有则有.)(CCE 2. 设设X是一个随机变量是一个随机变量, C是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 3. 设设X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).

4、()()(YEXEYXE 4. 设设X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXYE 二维随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望 ,dd),(,)(yxyxxfpxXEijiji同理可得同理可得则其期望值定义为则其期望值定义为存在存在都都若若为二维随机变量为二维随机变量设设 , )( , )( , ),( YEXEYX ; ),( ijpYX的概率分布为的概率分布为. ),( ),(yxfYX的密度为的密度为 ,dd),(,)(yxyxyfpyYEijiji ; ),(ijpYX的概率分布为的概率分布为. ),( ),(yxfYX的密度为的密度为 ,

5、 ),( , , . 1是二元函数是二元函数为离散型随机变量为离散型随机变量若若yxgYX,),(),( iijjjipyxgYXgE . ),( ijpYX的联合概率分布为的联合概率分布为当当,dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则则则 , ),( , , . 2是是二二元元函函数数为为连连续续型型随随机机变变量量若若yxgYX . ),( ),( yxfYX的的联联合合分分布布密密度度为为当当方差的定义方差的定义. )( , )( , )()(Var)( ),(Var )( , )( , )( , 222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX 记记为为为为标标准准差差

6、或或均均方方差差称称即即或或记记作作的的方方差差是是则则称称存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设 方差的计算方差的计算.)()()(22XEXEXD 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD . , 2 , 1 , 的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk . )( 为概率密度为概率密度其中其中xf方差的性质方差的性质1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(2XDCCXD

7、).()()(YDXDYXD , )(),( , , . 3则则存存在在相相互互独独立立设设YDXDYX即即取常数取常数以概率以概率的充要条件是的充要条件是,10)(. 4CXXD . 1 CXP协方差与相关系数的定义协方差与相关系数的定义).()(),(CovYEYXEXEYX , )()( 的的协协方方差差与与称称为为随随机机变变量量YXYEYXEXE ),(Cov YX记为记为. )()(),(Cov 关系数关系数的相的相与与为随机变量为随机变量称称YXYDXDYXXY 协方差的性质协方差的性质).,(Cov),(Cov. 1XYYX ) ,(),(Cov),(Cov. 2为为常常数数b

8、aYXabbYaX ).,(Cov),(Cov),(Cov. 32121YXYXYXX 相关系数定理相关系数定理. 1)1( XY . 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存存在在常常数数的的充充要要条条件件是是 三、典型例题三、典型例题 解解).( )( , 2 , 1,)1( , 1XDXEkppkXPXk和和求求它它的的分分布布律律为为服服从从几几何何分分布布设设 11)(kkpqkXE )1 (pq 其中其中 11kkqkp2)1(qp ,1p 例例1 1122)(kkpqkXE 112kkqkp3)1()1(qqp ,12pq 22)()()(XEXEXD 2211ppq .2pq

9、 解解 从数字从数字0, 1, 2, , n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望. , 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X , 3 , 2 , 1 nX的的所所有有可可能能取取值值为为则则,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般的一般的., 2, 1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)( nknknk121)1(.32 n例例2解解. ,)( ,! 0 的值的值与与求求已知已知为为的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量BAaXEnABpnXnn ,

10、 的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0nnXP 0!nnnBA, 1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA, aABeB .,aBeAa 因此因此例例3 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年定期一年, 定额定额60元元, 按规定按规定10000个户头中个户头中, 头等奖一个头等奖一个, 奖奖金金500元元; 二等奖二等奖10个个, 各奖各奖100元元; 三等奖三等奖100个个, 各奖各奖10元元; 四等奖四等奖1000个个, 各奖各奖2元元. 某人买了五个某人买了五个户头户头, 他期望得奖多少元他期望得奖多少元?解解因为任何一个户头

11、获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的, . 的期望的期望金数金数先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X42341088891011011011010210100500pX分布列为分布列为例例4 的的数数学学期期望望为为X210110101100101500101)(234 XE ),( 45. 0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 )(5)5(XEXE ).( 25. 245. 05元元 ).( )( )0( ., 0, 11,)1()( 2XDXExxcxfX和和求求其他其他的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量 解解, )( 是是偶偶函函数数因

12、因为为xf xxxfXEd)()( 所所以以 112d)1(xxcx , 0 22)()()(XEXEXD )(2XE 例例5 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc 1d)( xxxf)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于于是是.321)( XD故故).1 ,min( ,)1(1)( 2XExxfX求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d1

13、11d11xxxxxx 12102d112d12xxxxx.212ln1 例例6解解 ).( )( ),cos( , 0,20,20),sin(21),( ),( ZDZEYXZyxyxyxfYX和和求求且且其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 yxyxfyxZEdd),()cos()( yxyxyxdd)sin()cos(212020 20d)2cos(2cos21xxx, 0 例例7)()(2ZEZD yxyxyxdd)sin()(cos2120202 2033d2coscos61xxx.92 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例8yxxyxxXEdd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因因为为,78 xyx