二次型及其规范形

1、定理定理 任一秩为任一秩为r的二次型的二次型 axxxxxftn ),(21均可经过适当的可逆线性替换均可经过适当的可逆线性替换 化为化为 cyx 2222211rrybybyb 其中其中 ， ， 。 ribi, 2 , 1 , 0 tnxxxx 21 tnyyyy 21 推论推论 任一秩为任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵的对角矩阵 001rbb其中其中 。 ribi, 2 , 1 , 0 设设 是是 n元二次型，且元二次型，且 秩秩(a) = r： axxft 1f 是是复复二次型二次型 存在可逆复线性替换存在可逆复线性替换 把把 f 化为化为

2、 cyx 2222211rrybybyb 其中其中 。 ribi, 2 , 1 , 0 再令再令 nnrrrrrzyzyzbyzby ,1,111111则则 f 被进一步变为被进一步变为 22221rzzz 称上式为称上式为复复二次型的二次型的规范形规范形。 定理定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。替换化为规范形且规范形唯一。 推论推论 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的n阶复对称矩阵阶复对称矩阵a，必存，必存在在n阶可逆复矩阵阶可逆复矩阵c ，使得，使得 000rtiacc 例例 设设a、b均为均为n阶复对称矩阵，则阶复对

3、称矩阵，则 a与与b在复数域在复数域上合同的充分必要条件是上合同的充分必要条件是 )()(brar2f 是是实实二次型二次型 存在可逆实线性替换存在可逆实线性替换 把把 f 化为化为 cyx 22112211rrppppybybybyb 其中其中 。 0,1 rbb 再令再令 nnrrrrrzyzyzbyzby ,1,111111则则 f 被进一步变为被进一步变为221221rppzzzz 称上式为称上式为实实二次型的二次型的规范形规范形。 定理定理（惯性定理惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。可逆实线性替换化为规范形且规范形

4、唯一。 推论推论 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的n阶实对称矩阵阶实对称矩阵a，一定，一定存在存在n阶可逆实矩阵阶可逆实矩阵c，使得，使得 0000000prptiiacc其中其中p由由a唯一确定。唯一确定。 定义定义 在秩为在秩为r的实二次型的实二次型f的规范形中，系数是的规范形中，系数是1(或或 - -1)的平方项个数的平方项个数 p(或或 r - -p )称为称为 f 的的正正(或或负负)惯惯性指数性指数，称，称 2p - - r为为 f 的的符号差符号差。 注注 实二次型的任一标准形中，系数大于实二次型的任一标准形中，系数大于(小于小于)零零的平方项个数即为正的平方项个数即为正(负负

5、)惯性指数。惯性指数。 例例 已知实对称矩阵已知实对称矩阵 1111a与下述三个对角矩阵与下述三个对角矩阵 12 ,13 ,22321 bbb之一合同，试确定之。之一合同，试确定之。 解解 考虑二次型考虑二次型 2 ),(21222121xxxxaxxxxft 对其作可逆线性替换对其作可逆线性替换 22211yxyyx则则 2221212),(yyxxf 由此得由此得 f 的正、负惯性指数均为的正、负惯性指数均为1。 而二次型而二次型 xbxgxbxgxbxgttt332211 , , 中，只有中，只有 的正、负惯性指数均为的正、负惯性指数均为1。所以，。所以，f 只能只能通过非退化线性变换为

6、通过非退化线性变换为 ，即，即 a只能与只能与 合同。合同。 2g2g 2b 例例 设设 a是是n阶实对称矩阵且阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若为奇数。证明：若 ，则存在，则存在n维非零列向量维非零列向量 ，使，使0 | a0x000 axxt证明证明 考虑考虑 n元二次型元二次型 axxxxxftn ),(21用正交替换用正交替换 把其化为标准型把其化为标准型 qyx 2222211nnyyy 则则 naqq 11 因因 ， ，且，且 n为奇数，所以为奇数，所以 均不为零且至少有一个大于零。不妨设均不为零且至少有一个大于零。不妨设 。 na 1 | 0 | an ,101 取取 n维列向量维列向量