值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函

1、1值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例)8.8 多元函数的极值多元函数的极值在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函数的极值和最值问题.同一元函数类似，其最值也与其极数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的最值.类型：讨论z=(x,y)的极值无条件极值类型：讨论z=(x,y)在约束条件(x,y)=0下的极值条件极值2一一.无条件极值无条件极值若对于其相应去心邻域内的所有点(x,y)，恒有00(,)xy函数的极大值、极小值统称为极值.00( , )(,) f x yf xy00( , )(,) )f x yf xy或00 (,

2、)( , )f xyf x y则称为函数的极大值().或极小值使函数取得极值的点统称为极值点.注注1 与一元函数类似，函数的极值概念是“局部”概念：定义定义10 设函数z=(x,y)在点的某个邻域内有定义,与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值.3定理定理8 (极值存在的必要条件) 若函数(x,y)在点00(,)xy0000(,)0, (,)0.xyfxyfxy一定有同一极值，故00(,)xy0yy0( ,) zf x y0 x00(,)0;xfxy00 (,)0.yfxy同理可证0000(,)0(,)0 xyfxyfxy和00(,)xy称为函数(x,y)的驻点.处有极值,且在该点的

3、偏导数存在,则必有证 因二元函数(x,y)在点处有极值，故固定时有一元函数在点处也定义定义11 能使同时成立的点4(因z(0,0)=1,而 z(0,y)1, z(x,0)0,故(1,2)非极值.则在点(3,0)处有A=12,B=0,C=6,从而0,故(3,0)非极值.则在点(3,2)处有A=12,B=0,C=6,从而0,且A0、y0)130,0 xySS 令得222()2()xyVSyxVSxy xy而S(x,y)仅有一个驻点,故当3xyzVS有最小值,从而所用材料最省.22VyxVxy3xyzV 由题知使材料最省,只须表面积最小.时,14例32 某厂生产甲产品x吨,乙产品y吨时,总成本为22

4、2010710035810000(),Cxyxyxy元当甲、乙产量各为多少吨时,总成本C最低?4071000 2073580 xyCxyCyx 解 令6,20.xy 由题知最低成本总是存在的.而C(x,y)仅有一个驻点,故(6,20)就是函数C的最小值点.即当生产甲产品6吨,乙产品20吨时,总成本C达到最小值.15三三. .条件极值条件极值 前面研究的极值问题,除了自变量须在定义域内取值外,无其它限制条件;但在实际中遇到的大多极值问题,除了自变量须在定义域内取值外,我们常将前者称为无条件极值,后者称为条件极值.还对各自变量有一定的约束条件.在约束条件(x,y)=0下,讨论函数z=(x,y)的极

5、值.条件极值的典型形式是:其解法有两种:代入法和拉格朗曰乘数法.16设z=(x,y)在D上具有连续偏导数,又若(x,y)在D上也( , )0,yx y( , )( , )xyx ydydxx y 若能从(x,y)=0中解出y=(x),则可将其代入z=(x,y)1.代入法:将条件极值转化为无条件极值.确定了一个可微函数y=(x),且其导数为具有连续偏导数,且则由定理6知方程(x,y)=0中得,z=(x,(x);从而原问题变成了讨论一元函数的无条件极值问题.17例33 求函数 的自变量适合条件229()zxy229(),zxy代入中 有22292)542zxxxx（显然z是x的一元函数，则1221

6、(542) (44 )02dzxxxdx令，得驻点x=1,对应的y=1.故点(x,y)= (1,1)为原函数满足约束条件下的极大值点,(x,y)=x+y2=0 2,yx解 由约束条件得此一元函数只有一个极大值.故 z=(1,1)= 为极大值.7的极大值.182.拉格朗曰乘数法:要想从(x,y)=0中解出y=(x),很但由一元函数z=(x,(x)极值存在的必要条件，得( , )( , )0 xydyfx yfx ydx( , )( , )( , )0( , )yxxyfx yfx yx yx y( , ) ,( , )yyfx yx y 令则有方程组( , )( , )0( , )( , )0

7、xxyyfx yx yfx yx y而极值点(x,y)还必须满足(x,y)=0,则方程组不容易！19上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉00 (,).xy的解就是我们所要求的可能极值点( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y格朗曰乘数法.注注5 方程组实际上就是函数F(x,y)=(x,y)+(x,y)对x,y的一阶偏导数等于零和约束条件(x,y)=0构成的方程组；故用拉格朗曰乘数法求条件极值时，可按下述步骤进行：(1).构造拉格朗曰函数： F(x,y)=(x,y)+(x,y)；(2).求解方程组，得可能极值点；(3).判断.2

8、0实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值点，并能得出是最大值点还是最小值点.例34 求周长为a而面积最大的长方形.解 设长方形的长、宽分别为x、y,则其面积为S=xy.令函数F(x,y)=xy+(2x+2y-a) 则由方程组( , )20( , )20220 xyF x yyF x yxxya.4axy因问题本身有最大值且驻点唯一,故(,)4 4a a4a问题变为在约束条件 2x+2y=a 下求函数S=xy的最大值.故周长为a而面积最大的长方形是边长等于是最大值点.的正方形.212235 44, 2360 .xyxy例在椭圆上求一点 使其到直线的距离最短解 设所求点为(x,y),到

9、直线2x+3y6=0的距离为d,则2223644 0.13xyd xy且约束条件为2 0, ().d dd但与同时在一点取得最大 小 值则可令222(236)( , ) (44)13xyF x yxy从而有方程组224(236)2 0136(236)8 013440 xyxxyyxy228855.3355xxyy ，8 383( , )(,)5 555111,.1313dd而因问题本身有最小值，故 为所求点.83(,)55例36 某商品的生产函数为 其中Q为产品产量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2.求: (1). 该产品利润最大时的

10、投入和产出水平以及最大利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最大利润时的投入及最大利润.11326,QK L解 由题意知：成本函数为C(K,L)=4K+3L，收益函数为R(K,L)=Qp=2Q，则2311321243K LKLG(K,L)= R(K,L)C(K,L)=(1).此问题属于无条件极值.21321132440630KLGKLGK L 由8,(8,16),16KL得从而有唯一驻点则最大利润为max(8,16)16.G利润函数为(2).此问题属于条件极值.其约束条件为C(K,L)=4K+3L=60则可令函数F(x,y)=G(K,L)+(4K+3L60)11321243

11、 (4360)K LKLKL24则由方程组213211324440633043600KLK LKL 6,(6,12),12KL得从而有唯一驻点max(6,12)15.53.G同学们课后可用用拉格朗曰乘数法去求解例31.注注6 类似地，可建立求三元函数u=(x,y,z)在约束条件(约束条件 的个数应少于自变量的个数)g(x,y,z)=0，h(x,y,z)=0下的极值的拉格朗曰乘数法.25例37 欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为 侧面 造价为 现想用36元造一容积为最大的容器，求它的尺寸.23,m元21,m元解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,设容积为V,则V=xyz(x0,y0,z0

12、),且约束条件为3xy+2(yz+xz)=36.因xyz与lnx+lny+lnz同时在一点取得最大(小)值，则令函数 F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+( 3xy+2yz+2xz36)则由方程组1 (32 )01 (32 )01 (22 )0322360yzxxzyxyzxyxzyz263,(2,2,3).232236xyzyxyxzyz得从而有唯一驻点因问题本身有最大值，故(2,2,3)为最大值点.故长方体的长、宽、高分别为2、2、3时， 长方体的容积最大.例38 求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 上的极大值(x0,y0,z0),并利用此结论证明当a0,b0,c0时，2222

13、5xyzR3527() .5abcabc恒有272222 ( , , )lnln3ln (5)F x y zxyzxyzR解 令则由方程组222212 012 032 050 xxy yzzxyzR,( , , 3 ).3xyRR RRzR得从而有唯一驻点因问题本身有极大值,则35maxln( 3 ) )ln(3 3)wR RRR522232lnln3lnlnln3 3 () .5xyzwxyzxyz33 2222 311 lnln()ln() ;22xyzxyzx yz而则285222222 321ln()ln3 3 () .25xyzx yz222, ax bycz当令则532ln2ln3 3 ()