椭圆双曲线知识点总结

1、椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念：椭圆的第一定义 在平面内到两定点 Fi、F2的距离的和等于常数大于|FiF2|的点的轨迹叫椭圆. 这两定点叫做 椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为M时，椭圆即为点集P m | MFi| |MF2 2a注意：假设P |PF2 | F1F2 ，那么动点P的轨迹为线段F1F2 ；假设PFiPF2F1F2 ，那么动点P的轨迹无图形。椭圆的第二定义：在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆。其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线。注：定义中的定点不在定直线上。如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在

2、X轴上，准线方程是：焦点放在Y轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程2 2焦点在x轴上椭圆的标准方程： q 占1 a b 0，焦点坐标为c，0， -c, 0a b2 2焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：二 yr 1 a b 0焦点坐标为0，c， 0，-cb a【知识点3】椭圆的几何性质：标准方程2 2xy1 a b 0 ab2 2xy1 a b 0 ba图形TL,芒疋企 JL.1 性质范围a x ab y b对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A( a,0),A( a, 0)B(0，- b), B(0 , b)Ai(0 ， a) ， A(0，a)B( b,0)，B(b,0)轴长轴AA的长

3、为2a；短轴 BR的长为2b焦距IF F2 |=2c离心率ce=- (0,1)aa，b，c的关系2 2 . 2 c = a b1.椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上规律:a2 b22椭圆上任意一点M到焦点 F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离 为a+ c,最小距离为 a c.c在椭圆中，离心率e -a4椭圆的离心率e越接近1椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就接近于圆;椭圆典型例题、椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1:椭圆的焦点是 Fi0， 1、F20,1 , P是椭圆上一点，并且 PF+ PR= 2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由

4、 PF+ PF2= 2FiF2=2X 2= 4,得 2a= 4.又 c= 1,所以 b = 3.22所以椭圆的标准方程是4+彳=1.2椭圆的两个焦点为F 1,0 , F21,0，且2a= 10,求椭圆的标准方程.2 2解：由椭圆定义知c= 1,.b= 5 1=：f24. 椭圆的标准方程为方十24=1.、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程.解：1当A 2,0为长轴端点时，a 2, b 1,22椭圆的标准方程为：1 ;412当A 2,0为短轴端点时，b 2 , a 4,2 2椭圆的标准方程为：1;416三、椭圆的焦

5、点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。2 2例.求过点一3,2且与椭圆X + y = 1有相同焦点的椭圆的标准方程.94xv94解：因为c=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为产占=1. 由点-3,2在椭圆上知?+尸=1所以a2= 15.所以所求椭圆的标准方程为2 2x v+ 一 1 15+ 10四、求椭圆的离心率问题。例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.解:2c 3c2a2例2椭圆21的离心率e9-，求k的值.2解：当椭圆的焦点在x轴上时,a2 k8 , b29 ,得c2k 1 由 e -，得 k 42当椭圆的焦点在y轴上时，a29 , b22k 8，得 c1

6、 k -亠11k1加-由e，得，即k29445满足条件的k 4或k-.4双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念：在平面内到两定点 F-、F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|FiF2|)的点的轨迹叫双曲线. 这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距当动点设为M时，椭圆即为点集P M |MF- MF2| 2a注意：假设(|MF,|MF2| F,F2)，那么动点P的轨迹为两条射线;假设( MF-|MF F- F2 )，那么动点P的轨迹无图形。【知识点2】双曲线的标准方程2 2焦点在x轴上双曲线的标准方程：务占1 aa b22焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：y-冷1b a【知识点3】双曲线的

7、几何性质0,b 0，焦点坐标为(c, 0) ,(- c, 0)a 0,b 0 焦点坐标为(0, c,) (0 , - c)标准方程2 2x ya2 b2= 1(a0, b0)2 2y xa b2= 1(a0, b0)xa 或 xw a, y R x R, yw a 或 y a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点B点A( - a, 0), A a, 0)A(0，- a) , A?(0 , a)渐近线by = x yaay = bx离心率e =舟,e (1 , +s)，其中 c=寸a2 + b2实虚轴线段AA叫做双曲线的实轴，它的长 |AA| = 2a； 线段BR叫做双曲线的虚轴，它的长 |BR|

8、= 2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系2 2 2c = a + b(c a 0, c b 0)规律:1.双曲线为等轴双曲线 ？双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).2.区分双曲线中的a, b, c大小关系与椭圆a，b, c关系，在椭圆中a2 = b2 + c2,而在双曲线中c2= a2 + b2.(2).双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率一.e_ _ (0,1)c(3)在双曲线中，离心率 e -a 双曲线的离心率e越大,开口越阔双曲线典型例题、根据双曲线的定义求其标准方程。例 两点F1 5,0、F2 5,0，求与它们的距离差的绝对

9、值是6的点的轨迹.解：根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. c 5,所求方程x252324216161为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.x2例 P是双曲线641上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且36PF117,求 PF?的值.2解：在双曲线1中,64362y_a 8 , b 6，故 c 10 .- PF21 或 PF233.PF2c a 2，得PF233.、根据条件，求双曲线的标准方程。例2根据以下条件，求双曲线的标准方程.(1)过点p 3,15 , Q 16,5且焦点在坐标轴上43(2)c ,6 , 经过点一5, 2，焦点在x轴上.(3)2与双曲线161有相同焦点，且经过点3 .

10、 2,2解：1设双曲线方程为x22y_1n/ P、Q两点在双曲线上,22516nm256259m n1解得16所求双曲线方程为2x162y- 19说明：采取以上“巧设可以防止分两种情况讨论，得“的目的.2v焦点在x轴上,设所求双曲线方程为:1 其中0双曲线经过点一5,2),-百&15或30舍去所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.3设所求双曲线方程为:x2双曲线过点 3、2,2 , 14 (舍)2 2所求双曲线方程为 -y 112 8抛物线抛物y2 2px(p 0) XLy(J22pxp 0) 丄x(,1y2 2py p 0)x2(py2py )0)l_线二O_A,

11、xlF定义平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫 做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。 M |MF =点M到直线1的距离范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称性关于x轴对称关于y轴对称隹占八、八、(r0)l，0(0,勺焦点在对称轴上顶点0(0,0)离心率e=1准线方程x 2x子1 y子y 1准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离卫2焦点到准线的距离P焦半径A(X1, yjAF x1-2AFx1 2AF y1 舟AF y1 舟抛物线典型例题、求抛物线的标准方程。指出抛物线的焦点坐标、准线方程.(1)22x

12、4y(2) x ay (a 0)解:(1) p 2，焦点坐标是(0, 1)，准线方程是：y 1(2)原抛物线方程为：y2 lx, 2pap 1，抛物线开口向右，2 4a1(丄,0)，准线方程是：x 4ap1，抛物线开口向左,2 4a1当a 0时,焦点坐标是当a 0时,焦点坐标是(丄,0)，准线方程是：4a4a14a综合上述，当a 0时，抛物线x2 1ay的焦点坐标为(,0)，准线方程是:4a14a二、求直线与抛物线相结合的问题例2假设直线y kx 2与抛物线y2 8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.解法一：设 A(x1, y1)、Bgy2)，那么由:2ykx 22 2可得

13、：k2x2(4k8)x8x直线与抛物线相交,k 0且 0,那么k AB中点横坐标为:为 x2 4k 82 k2解得：k 2或k(舍去).故所求直线方程为:解法二：设 A(x1, y1)、B(X2,y2)，那么有2cy18x12两式作差解： 厲 y2)( y1 y2)8( x1X2)，即 jx1 x24 y1 y2kx1 2 kx2 2 k(x1 x2) 4 4k 4,2或k1 舍去.那么所求直线方程为:y 2x 2 椭圆、双曲线、抛物线根底测试题时间：100分钟 总分值:100分班级姓名成绩1.2.3.4.5.6.1.2.选择题以下各题中只有一个正确答案，每题4分共24分到两点双曲线Fi (0

14、,4x2(A ) 4y 2顶点在原点、假设椭圆当曲线3 、F2 0,3 的距离之和等于10的动点M的轨迹方程是2(C )-2522-1162x162y253y2 = 12的共轭双曲线是3x2 = 12( B ) 3x2 24y=12(C)3y4x 2 = 12(D ) 4x3y 2 = 12坐标轴为对称轴，经过点P 1,2 的抛物线方程是2=4x ( B ) x两焦点间的距离两准线间的距离2 1=2y9等于2 2=4x, x = 4y焦点到长轴一端点的距离椭圆上一点到准线的距离22 丄 1表示焦点在x轴上的双曲线时，那么k 4 k(B ) k 4( C ) 0 k 4双曲线的两条准线把连接两焦点的线段三等分，那么双曲线的离心率是.填空题每空4分，共24 分抛物线x2 = 4y + 8的焦点坐标是离心率为.2的双曲线的渐近线的夹角等于2 = 4x,21=2y.33.333.4.经过两点M3, 0 、N 0,2 的椭圆的标准方程是假设椭圆的一焦点到短轴两端点的连线垂直，那么椭圆的离心率是5. AB是过椭圆x2 + 2y 2 = 4焦点F1的弦，它与另一焦点 F2所连成三角形的周长等于6. 当抛物线y2 = 4x上一点P到焦点F和点A 2, 2