3.2.1 直线的点斜式方程 (张用)

1、2.过点A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率k_温故而知新温故而知新1.直线的倾斜角与斜率k的关系是 _1212xxyytank3.简述在直角坐标系中确定一条直线的几何要素.（1）直线上的一点和直线的倾斜角（或斜率）（2）直线上两点(90)(21xx 1212/.llkk12121llk k 练习练习判断下列各直线是否平行或垂直判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2)11:32lyx 21:22lyx15:3lyx 23:5lyx 平行平行垂直垂直试试自己的能耐试试自己的能耐 直线直线 l 过点过点P(2，1)，且斜率为，且斜率为3，点点Q(x,y)是是 l 上不同于上不同于P的一

2、点，则的一点，则x、y满足怎样的关系式？满足怎样的关系式？0,00yxP0yy 0 xx.yxyxp,o相信这个也难不倒你相信这个也难不倒你 直线直线l经过点经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为且斜率为k，点，点P(x,y)为直线为直线l上不同于上不同于P0的任意一点，则的任意一点，则x、y满足的关系式是满足的关系式是_00 xxkyy1.直线直线l上的点都满足上的点都满足这个方程吗？这个方程吗？2.满足这个方程的点满足这个方程的点都在直线都在直线l上吗？上吗？点斜式方程点斜式方程 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经经过的一个点过的一个点 和斜率和斜

3、率 ，能否求出该直线，能否求出该直线l的的方程呢？方程呢？000, yxPlkxyOlP0，00 xxyyk00 xxkyy 直线经过点直线经过点 ，且斜率为，且斜率为 ，设点，设点 是直线上不同于点是直线上不同于点 的任意一点，因为直线的任意一点，因为直线 的斜率的斜率为为 ，由斜率公式得：，由斜率公式得：000, yxPkyxP,0Plk即：即：xyOlP0P （1）直线）直线 上的点，其坐标都满足方程上的点，其坐标都满足方程 吗？吗？00 xxkyyl （2）坐标满足方程）坐标满足方程 的点都的点都在过点在过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 上吗？上吗？00 xxkyy000, yxP

4、kl 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 的方程的方程k000, yxPl00 xxkyy 方程方程 由直线上一点及由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方点斜式方程程，简称，简称点斜式点斜式xyOlP0kl的斜率为直线（1） 轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？x00 yy0yy ，或，或当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，即时，即 这时这时直线直线 与与 轴平行或重合，轴平行或重合，ll000tanxxyOl0Pl的方程就是的方程就是 故故

5、 轴所在直线的方程是轴所在直线的方程是:x0y（2） 轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y00 xx0 xx ，或，或当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时，直线没有斜率，这时直线时直线 与与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示这时，直线表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于 ，所，所以它的方程就是以它的方程就是ll90ly0 xxyOl0P0 x 故故 轴所在直线的方程是：轴所在直线的方程是：y学会自己探究学会自己探究 直角坐标系上任意直线都可以用直直角坐标系上任意直线都可以用直线的点斜式方程表示吗

6、线的点斜式方程表示吗? ?y-y0=0, 或或 y=y0 x-x0=0,或或x=x00P.yo00, yxx0P.yo00, yxx(1)当直线当直线l的倾斜角为的倾斜角为0时时, tan0 =0,即即k=0这时直线这时直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合,那么那么l的方程就是的方程就是:(2)当直线当直线l的倾斜角为的倾斜角为90时时, 斜率不存在斜率不存在这时直线这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合,那么那么l的方程就是的方程就是:所以:只要直线的斜率存在,直线就可以用点斜式方程来表示 例例1 直线直线 经过点经过点 ，且倾斜角，且倾斜角 求直线求直线 的点斜式方程，并画出直线的点斜式

7、方程，并画出直线 45l3 , 20Pll代入点斜式方程得：代入点斜式方程得： .23xyl111, yxP4, 111yx 画图时，只需再找出直线画图时，只需再找出直线 上的另一点上的另一点 ，例如，取例如，取 ，得得 的坐标为的坐标为 ，过过 的直线即为所求，的直线即为所求，如图示如图示1P4 , 110PP， 解：直线解：直线 经过点经过点 斜率斜率 l145tank3 , 20Py1234xO-1-2l1P0P2) 2 , 2(当堂反馈：当堂反馈：) 3(21xy)2(332xy03 y)4(32xy1.1.写出下列直线的点斜式方程写出下列直线的点斜式方程（1 1）经过点）经过点A A

8、（3 3，-1-1），斜率是），斜率是（2 2）经过点）经过点B B ，倾斜角是，倾斜角是3030（3 3）经过点）经过点C C（0 0，3 3），倾斜角是），倾斜角是0 0（4 4）经过点）经过点D D（4 4，-2-2），倾斜角是），倾斜角是120120P95 1P95 1、2 2、3 3、4 4 2.填空题：填空题：(1)已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直，那么，直线的斜率为线的斜率为 _,倾斜角为倾斜角为_.(2)已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是 那么，直那么，直线的斜率为线的斜率为_,倾斜角为倾斜角为_. 453033) 1(332xy1

9、练习练习2 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：率和倾斜角：332)2(xy练习练习(2,2)60(1)经过点倾斜角是的直线的方程是（）32(2)3.23(2)3.2(2)3.23(2)A yxB yxC yxD yx.D练习练习(3)直线方程可表示成点斜式方直线方程可表示成点斜式方程的条件是程的条件是（A）直线的斜率存在）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在）直线的斜率不存在（C）直线不过原点）直线不过原点 （D）不同于上述答案）不同于上述答案A练习练习33(4),yx(2)已知直线方程则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是（）.(4,3);.(

10、 3, 4);36.(4,3);.( 4, 3)63ABCDA例四例四：1.1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？ 1) 1) 2) 2) 3) 3)32xy233xy3332xy2 , 32 , 3 2. 2.方程方程 表示表示( )( ) A)A)通过点通过点 的所有直线；的所有直线； B B）通过点）通过点 的所有直线；的所有直线； C C）通过点）通过点 且不垂直于且不垂直于x x轴的所有直轴的所有直线；线； D D）通过点）通过点 且去除且去除x x轴的所有直线轴的所有直线. .)3(2xky3, 2 2 , 3030045060C C（3 3）

11、一直线过点）一直线过点 ，其倾斜角等于，其倾斜角等于直线直线 的倾斜角的的倾斜角的2 2倍，求直线倍，求直线 的方的方程程. .由直线的点斜式方程，得：由直线的点斜式方程，得：)1(33xylxy33则：则：33tan30360tan2tank3 , 1Axy33解：解：设所求直线的斜率为设所求直线的斜率为k, k,直线直线 倾斜角为倾斜角为练习练习4、已知直线、已知直线l过过A（3，-5）和）和B（-2，5），），求直线求直线l的方程的方程解：解：直线直线l过点过点A（3，-5）和）和B（-2，5）23255lk将将A（3，-5），），k=-2代入点斜式，得代入点斜式，得y(5) =2 (

12、x3 ) 即即 2x + y 1 = 0自我巩固一下自我巩固一下练习：写出下列直线的斜截式方程练习：写出下列直线的斜截式方程（1 1）斜率为）斜率为 ，在，在y y轴上的截距为轴上的截距为2 2；（2 2）斜率为）斜率为2 2，与，与y y轴交于点（轴交于点（0 0，4 4）23拓展拓展2:过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7平行的直线平行的直线 方程为方程为_过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7垂直的直线垂直的直线 方程为方程为_思维拓展思维拓展12 xy2321xy数学运用：数学运用：例三：求过点例三：求过点A A（1 1，2)2)且与两坐标轴组成一等腰直且与两坐标轴组成一

13、等腰直角三角形的直线方程。角三角形的直线方程。解：解：) 1(212xyxy或即：即：31xyxy或直线与坐标轴组成一等腰直角三角形直线与坐标轴组成一等腰直角三角形由直线的点斜式方程得：由直线的点斜式方程得：1k又又直线过点（直线过点（1 1，2 2）1lO Oy yx xA A2l 如果直线如果直线 的斜率为的斜率为 ，且与，且与 轴的交点为轴的交点为 ，代入直线的点斜式方程，得：代入直线的点斜式方程，得：lyk0 xkbyb, 0 也就是：也就是：bkxyxyOl0Pb 我们把直线与我们把直线与 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标b叫做直线在轴上的叫做直线在轴上的截距截距y 该方程由直线的斜率与

14、它在该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的所以该方程叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简称，简称斜截式斜截式y 观察方程观察方程 ，它的形式具有什么特点？，它的形式具有什么特点？bkxy我们发现，左端我们发现，左端 的系数恒为的系数恒为1，右端，右端 的系数的系数 和常数项和常数项 均有明显的几何意义：均有明显的几何意义：byxkkb 是直线的斜率，是直线的斜率， 是直线在是直线在 轴上的截距轴上的截距y学习数学要善于发现问题学习数学要善于发现问题 比较直线的点斜式方程：比较直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)与一次函数解析式：与一次函数解析式：y=

15、kx+b，你有什么发，你有什么发现？现？bkxy斜截式方程:斜率截距系数为1 方程方程 与我们学过的一次函数的表达式与我们学过的一次函数的表达式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你如何从直线方程的角度认识一次函数何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次？一次函数中函数中 和和 的几何意义是什么？的几何意义是什么？bkxybkxykb 你能说出一次函数你能说出一次函数 及及 图象的特点吗？图象的特点吗？xyxy3, 123xy5写出下列直线的斜截式方程：写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是斜率是2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3；(2)倾斜角是倾

16、斜角是60，在，在y轴上的截距是轴上的截距是6；(3)倾斜角是倾斜角是30，在，在y轴上的截距是轴上的截距是0.3.写出斜率为写出斜率为 ,在在y轴上的截距是轴上的截距是-2的直线方程的直线方程. 1y =x-2 例例2 已知直线已知直线 ，试讨论试讨论：（：（1） 的条件是什么？（的条件是什么？（2） 的条的条件是什么？件是什么？21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 解：（解：（1）若）若 ，则，则 ，此时，此时 与与 轴的交点不同，即轴的交点不同，即 ；反之，；反之， ，且，且 时，时， 21/ll21kk 21ll，y21bb 21kk 21bb 21/ll （2）若）

17、若 ，则，则 ；反之，；反之， 时，时， 21ll 121kk121kk21ll 例例2 已知直线已知直线 ，试讨论试讨论：（：（1） 的条件是什么？（的条件是什么？（2） 的条的条件是什么？件是什么？21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 解：解： 于是我们得到，对于直线：于是我们得到，对于直线：222111:bxkylbxkyl，. 121kk21/ll21ll 21kk 21bb ,且且 ；拓展拓展1:过点过点(2, 1)且平行于且平行于x轴的直线方程为轴的直线方程为_过点过点(2, 1)且平行于且平行于y轴的直线方程为轴的直线方程为_过点过点(2, 1)且过原点的直线方

18、程为且过原点的直线方程为_过点过点(2, 1)且过点且过点(1, 2)的直线方程为的直线方程为_思维拓展思维拓展1y2xxy2103 yx（1）直线的点斜式方程：）直线的点斜式方程：（2）直线的斜截式方程）直线的斜截式方程:00 xxkyybkxyxyOlP0kl的斜率为直线xyOl0Pbkl的斜率为直线注意：注意：直线上任意一点直线上任意一点P与这条直线上与这条直线上一个定点一个定点P1所确定的斜率都相等。所确定的斜率都相等。 当当P点与点与P1重合时，有重合时，有x=x1，y=y1，此时满，此时满足足y-y1=k（x-x1），所以直线），所以直线l上所有点的坐标上所有点的坐标都满足都满足y

19、-y1=k（x-x1），而不在直线），而不在直线l上的点，上的点，显然不满足（显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足即不满足y-y1=k（x-x1），因此），因此y-y1=k（x-x1）是直线）是直线l的的方程。方程。 如直线如直线l过过P1且平行于且平行于x轴，则它的斜率轴，则它的斜率k=0，由点斜式由点斜式 知方程为知方程为y=y0;如果直线如果直线l过过P1且平行且平行于于Y轴，此时它的倾斜角是轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标线上任一点的横坐标x都等于都等于P

20、1的横坐标所以方的横坐标所以方程为程为x=x1 P为直线上的任意一点，它的为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关位置与方程无关OxyP1P返回返回 例例1已知直线已知直线l过点过点A(2，3) (1)若若l与过点与过点(4,4)和和(3,2)的直线的直线l平行，求其方程；平行，求其方程； (2)若若l与过点与过点(4,4)和和(3,2)的直线的直线l垂直，求其方程垂直，求其方程 思路点拨思路点拨首先由斜率公式求出直线首先由斜率公式求出直线l的斜率，再由直的斜率，再由直线平行与垂直的条件求出直线线平行与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直的斜率，最后由点斜式写出直线方程线方程返回返回

21、返回返回1直线直线l的点斜式方程是的点斜式方程是y23(x1)，则直线，则直线l的的斜率是斜率是 ()A2B1C3 D3答案：答案：C返回返回2写出下列直线的点斜式方程：写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点经过点A(2,5)，斜率是，斜率是4；(2)经过点经过点B(2,3)，倾斜角是，倾斜角是45；解：解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y54(x2)(2)直线的倾斜角为直线的倾斜角为45，此直线的斜率此直线的斜率ktan451.直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y3x2.返回返回解：解： (3)直线与直线与x轴平行，轴平行，倾斜角为倾

22、斜角为0，斜率，斜率k0.直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y10(x1)，即，即y1.2写出下列直线的点斜式方程：写出下列直线的点斜式方程：(3)经过点经过点C(1，1)，与，与x轴平行轴平行返回返回 例例2已知直线已知直线l1的方程为的方程为y2x3，l2的方的方程为程为y4x2，直线，直线l与与l1平行且与平行且与l2在在y轴上的截距轴上的截距相同，求直线相同，求直线l的方程的方程精解详析精解详析由斜截式方程知直线由斜截式方程知直线l1的斜率的斜率k12，又又ll1，l的斜率的斜率kk12.由题意知由题意知l2在在y轴上的截距为轴上的截距为2，l在在y轴上的截距轴上的截距b2，由斜截式可得直线由斜截式可得直线l的方程为的方程为y2x2.返回返回3已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为60，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2，则直线则直线l的斜截式方程为的斜截式方程为_返回返回4直线直线l的方程为的方程为ya(a1)(x2)，若直线，若直线l在在y轴上的截距为轴上的截距为6，则，则a_.返回返回 例例3（12分分)直线直线l过定点过定点A(2,3)，且与两坐标，且与两坐标轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为4，求直线，求直线l的方程的方程 思路点拨思路点拨本题可设出直线本题可设出直线l的斜率为的斜率为k，得出其，得