南京邮电大学数值代数实验

1、数值代数实验数值线性代数实验一一、 实验名称：矩阵的LU分解.二、 实验目的：用不选主元的LU分解和列主元LU分解求解线性方程组 Ax=b,并比较这两种方法三、实验内容与要求(1 )用所熟悉的计算机语言将不选主元和列主元LU分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解下面的 84阶方程组/ (i 1 / -ri / 7 S 618 61+151.58 6 1+:如158 6 1158 6 /斶/ 14 /将计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss消去法的看法(2 )写出追赶法求解三对角方程组的过程，并编写程序求该实验中的方程组Gauss消去法：用消去法解方程组的基本思想是用逐次

2、消去未知数的方法把原来方程组Ax=b化为与其等价的三角方程组，而求解三角方程组就容易了。换句话说，上 述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式，从而将求解原方程组的问题转化为求解简单方程组的问题。利用Gauss消去法对线性方程组Ax=b进行求解。用MATLAB建立m文件DelGauss.m,程序如下：fun cti on x=DelGauss(a,b)n,m =size(a);nb=length(b);det=1;x=zeros(n,1);for k=1:n-1for i=k+1:n if a(k,k)=0 return end m=a(i,k)/a(k,k);for j=k+1

3、:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);end b(i)=b(i)-m*b(k);end det=det*a(k,k);enddet=det*a(n,n);for k=n:-1:1for j=k+1:nb(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);endx(k)=b(k)/a(k,k);End在 matlab 中输入如下：结果如下: 方程组的精确解为xi=x 2=二乂 84=1.0000，与Gauss消去法求得的解差距很大, 所得结果不够准确， 计算简单但其消元过程有时不能进行到底而使求解出现解失 真的情况。数值线性代数实验二、实验名称：实对称正定矩阵的 A的Cholesky分解.、

4、实验目的：用平方根法和改进的平方根方法求解线性方程组 Ax=b .三、实验内容与要求用所熟悉的计算机语言将Cholesky分解和改进的 Cholesky分解编成通用的子程序，然后用编写的程序求解对称正定方程组Ax=b，其中(1) b随机的选取，系数矩阵为 100阶矩阵/ 10 1 1 10 11 1.0 11 10 11 10 111门丿(2) 系数矩阵为40阶Hilbert矩阵，即系数矩阵A的第i行第j列元素为一，向量 b的第i个分量为芸=-;(3) 用实验一的程序求解这两个方程组，并比较所有的计算结果，然后评价各个方法的优劣。平方根法：平方根法就是利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称

5、正定方程组的一种有效方法。平方根法递推公式可以证明对于对称正定矩阵A,可以唯一地分解成A=LLt，其中L是非奇异下三角形矩阵。模型二：利用平方根法对线性方程组Ax=b进行求解。用MATLAB建立m文件pingfg.m,程序如下：fun cti on 凶=p in gfg(A,b)%Cholesky 分解n,n =size(A);L=zeros(n,n); %实际上不用为 L申请空间，使用 A即可L(1,1)=sqrt(A(1,1);for k=2:nL(k,1)=A(k,1)/L(1,1);endfor k=2:n-1L(k,k)=sqrt(A(k,k)-sum(L(k,1:k-1)A2);f

6、or i=k+1:nL(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*L(k,1:k-1)/L(k,k);endendL(n,n )=sqrt(A( n,n)-sum(L( n,1:门-1).人2);% 解下三角方程组 Ly=by=zeros(n,1);for k=1:nj=1:k-1;y(k)=(b(k)-L(k,j)*y(j)/L(k,k);end%解上三角方程组 Lx=yx=zeros(n,1);U=L;for k=n:-1:1j=k+1:n;x(k)=(y(k)-U(k,j)*x(j)/U(k,k);End模型三：利用改进的平方根法对线性方程组 Ax=b 进行求解用 MAT

7、LAB 建立 m 文件 ave.m, 程序如下：function x=ave(A,b,n)%用改进平方根法求解 Ax=bL=zeros(n,n);%L 为 n*n 矩阵 D=diag(n,0); %D 为 n*n 的主对角矩阵 S=L*D;for i=1:n %L 的主对角元素均为 1L(i,i)=1;endfor i=1:nfor j=1:n% 验证 A 是否为对称正定矩阵if (eig(A)=0)|(A(i,j)=A( j,i) %A 的特征值小于 0 或 A 非对称时，输出 wrong disp( wrong );break ;endendendHilbert 矩阵用 MATLAB 建立

8、 m 文件 Hil.m, 程序如下：function b=Hil()for k=1:40for m=1:40s=0;t=s+1/(k+m-1);s=t;endb(k,1)=s;end在 matlab 中输入如下：输出结果如下：实用文档在输入:输出为:实用文档实用文档问题 3 ：实用文档Gauss 消去法所得的结果与平方根法和改进的平方根法求得的结果差距很 大，而且 Gauss 消去法所得的结果大部分为零，显然平方根法和改进的平方根 法求得的结果与方程的精确解比 Gauss消去法的更接近，更准确。但不管是哪 一类算法都只能在预定的计算步骤内或给定的精度内得到近似解，有一定的误 差。数值线性代数实

9、验三、实验名称：矩阵 A的QR分解二、实验目的：应用改进的Gram Schmidt方法和Householder 变换的方法计算矩阵A的QR分解.其中A(aj)m n z、R (m n),rank A = n三、实验内容与要求输入：A的各列印月2,an(ajT a1j ,amj, j1, ,n)输出：Q的各列元素(存放在A的相应位置上)以及R的元素 rj (i 1, ,n,j i, ,n)数值线性代数实验四一、实验名称：用迭代法求解方程组及超松弛迭代和最佳松弛因子的确定二、 实验目的： 应用Jacobi迭代法、Gauss Seidel迭代法和 超松弛迭代方法求解 线性方程组Ax=b,并选择不同的

10、松弛因子，观察松弛因子对松弛迭代法计算效果的 影响.三、实验内容与要求d2y dy _将常微分方程dx2 dx a ( 0 a 1 )离散化得到差分方程Ax=b ,取y(0) o,y(1) 11a 0.5,n 100,h,应用Jacobi迭代法、Gauss Seidel迭代法和超松弛迭代n方法求解线性方程组，分别取1,0.1,0.01,0.0001，用SOR迭代法计算对应的数值解,并与精确解进行比较写出这三种迭代法求解线性方程组的步骤，并对计算结果进行分析四、实验原理将0,1区间n等分，方程离散化得差分方程2(h)% 1 (2h)yj% 1 ah差分方程对应的系数矩阵和右端项分别为(2 h)h(2 h)hA(2 h) OOO其中y。y(0), yny(1).ah2目0ah2bMhah2(2h) (n 1) (n 1)2ah (h)yn (n1)1SOR迭代法的迭代矩阵和常数项分别为1 1B (D L) U (1)D, f (D L) bk 1ksor迭代法的迭代公式：y B y f五、实验过程