2平面任意力系

1、ABdABABdF3F1F2FF1F2F3 niiOOniiRMM11)(FFFFR nixiiyiiniiOOFyFxMM11)()(F22)()(yixiRFF FRyiRRxiRFFFF ),cos(,),cos(jFiF与简化中心选择无关与简化中心选择无关与简化中心有关与简化中心有关 niiOOMM1)(F00 ORMF00 ORMF00 ORMF00 ORMF00 ORMFOFRFR FRFRROFMd FR00 ORMFRF 00 ORMF00 ORMFOFRFR FRFRFR ldxxqdPP0)( lxdxxqxdPPh0)( lldxxqxdxxqh00)()( lqldxx

2、qP0)(2)()(00ldxxqxdxxqhll xlqxq0)( PqPlqxdxlqdxxqPll000021)( 32)()(00ldxxqxdxxqhll 0)(, 0, 0111 niiOniyinixiMFFF00 ORMF 几点说明：几点说明： 0)(00FoyxMFF, 0 xF0 cos BAxFF, 0 yF0 sin21 BAyFFGFF , 0FAM 0 sin cos221 lFcFblFlGaFBB6060060 cos, 02 FFFAxx0)( FAM060 sin)(212112 llFlFMlFB, 0 yF060 sin21 FFFFBAykN 75.

3、0 AxFkN 56. 3 BFkN 261. 0 AyF PABCDxy02, 0)(0, 00, 0 MaPaFMFFFPFFBABAyyAxxF.,PFPFPFBAyAx 020)(020)(0, 0 MaPaFMaPMaFMPFFAyBBAAxxFFPFPFPFBAyAx PABCD02, 0)(02, 0)(02, 0)( MaFaFMMPaaFMPaMaFMBAxCAyBBAFFFPFPFPFBAyAx 0)(, 0)(, 0)( FFFCBAMMM0)(, 0, 0 FAyxMFF0)(, 0)(, 0 FFBAxMMFFRBAx0223, 0)(0223, 0)(023, 0)

4、( aPMFaMaPMFaMMFaMBCABCAFFFaMFPaMFPaMFCBA3323332,3332 FDECBAaaaACaaaB 0)(0FoyMF 0)(0)(FFBAMMF3F2F1Fn0 xF0, 00121, 0)( PFFFFFFPMNBNAyNABFN3750,N250 NBNAFFDABCFFFP321 qP0)(, 0)(12 lPPebFbaPMNABF0)(, 0)(2 bePbFaPMNBAFabePPbalPPe)(21 balPPeP 12abePP)(2 PABCFAFBFCPABFBFA(a)(b)kN3 . 0 AxF解得解得:kN2 . 1 CxF

5、例题例题7 已知：已知：P=0.4kN, Q=1.5kN, sin=4/5,求：支座求：支座A、C的反力。的反力。AQCBPPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy) 3(0, 0)2(0sin2cos23cos2, 0)() 1 (0sin2cos2cos2, 0)( QFFFlQlPlFMlQlPlFMCxAxxAyCCyAFF解：解：(1)取整体为研究对象取整体为研究对象解上述方程，得解上述方程，得kN6 . 0,kN2 . 0 CyAyFF(2)取取AB为研究对象为研究对象0coscos2sin, 0)( AyAxBFlPlFMF代入（代入（3）式得）式得EABCDFAy

6、FAxFECDFDxFDy05 . 1, 0)(05 . 2, 0)(0, 0 aqaaFMaqaaFMFFAyBEAAxxFFqaFqaFFEAyAx5 . 25 . 10 045sin5 . 0, 0)( aFaqaMCDFqaFC22 FCBCCAACBFAxFAyMACyF CxF FCxFCy FBFAxFAy FB01, 005 . 012, 0)(0, 0 qFFFqFMFFBCyyBCCxxFkN5 . 1, 0,kN5 . 0 CyCxBFFF025 . 11, 0)(01, 00, 0 CyAACyAyyCxAxxFqMMMqFFFFFFFmkN4kN,5 . 3, 0 A

7、AyAxMFF若不求若不求C处的力则可处的力则可选整体为研究对象选整体为研究对象PFBxFByFCyFCxBCByF FAyPBxF FAxAB) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (02, 0)( CxBxxCyByyByCFFFPFFFaFPaMFPFFCyBy5 . 0 0, 0022, 0)(0, 0 BxAxxAyAxBByAyyFFFPaaFaFMPFFFFPFPFPFBxAyAx ,5 . 1,PFCx PPABCDCD022, 0)(0, 00, 0 aFaFMMFFFFFFCyCxDDCyDyyCxDxxFPaMPFPFDDyDx 5 . 0CxF CyF PFBxFByFC

8、yFCxBCByF FAyPBxF FAxABPPABCD nininiiRFF111jiFFyx nixiiyiiniiOOFyFxMM11)()(FROFMd 0)(0 FFFOOiRMM0)(, 0)(, 0)( FFFCBAMMM0)(, 0, 0 FAyxMFF0)(, 0)(, 0 FFBAxMMF力力 系系 名名 称称独立方程的数目独立方程的数目平平 衡衡 方方 程程0 iF0 iM00 yixiFF0)(0 iOiMFF1122从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮m)(N9549 nPMem)(N7024 nPMsee2e1e3e0 xMeMT eeMexnnMeMexMexn

9、PM9549e mN6379mN4780mN159004e3e2e1e MMMM 0023e2e TMMMx mN95603e2e2 MMTmN47802e1 MTxMe2Me3T2Me21T133Me4Me1Me3Me2Me2mN47802e1 MTmN63704e3 MTmN9560max T0101rt dxxMeMedx ABDCTtrrArrAAA )2(dd trT 22 0 yF2、 00 xzFMzyxd)dd( l lr TO lrtrT 22 G )1(2 EG 变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力关系静力关系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的

10、分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式abb12xEGGGddtg TTADGDG G xGGdd abATTDbdD12GGTAA d TAxGA dddTAxGA ddd2 p2dIAA pddGITx PIT max tmaxppmaxmaxWTITIT maxpt IW dO AAId2p maxPt IW )d(2d A32d2d42032pdAIdA 162/32/34maxptdddIW dODdd32)1(44p DI)1(1643t DW其中其中Dd M1M2ABCllM1M2ABCll1M2CT12M2CM1BT2 4kNm2kNm+_T maxtmaxmax

11、WT M1M2ABCllMPa5 .34)1(1643max DT maxtmaxmax WTtmax WTmax TA max AT ABCMAMBMC22 14 +_MPa84.6416/ )12. 0(102216/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT2max1max ll(a)(b)2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW16)1(1643231 Dd194. 18 . 0113412 dD512. 0)8 . 01(194. 1)1(4)

12、(4222122221222212 dDddDAA pddGITx xGITllddp PGITl m)rad(PGITl max m)rad(Pmaxmax GIT /m)( 180 maxpGIT /m)( 180 =pGIT D+M2M3M1180)2(pepe GIaMGIaMMPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M 33. 2180)23(pepeGIaMGIaMCBBACA D+M2M3MDdtMM 934. 02 DtDDd mm1006. 22/4pt DIWMPa1 .96tmaxmax WT4544Pmm1083. 732)1( DIm/81. 1180Pm

13、axmax GITmkN98. 1 MTDdtMMCMabABlACBMMAMB00 MMMMBAxCMabABlCMabABlBCAC PP1GIaMGIaTAAC PP2GIbMGIbTBBC baMMAB 0 MMMBAlMaMlMbMBA/ ACBMMAMBMMlABMMMMx ba0BA PbbbPaaaIGlMIGlMBA MMMlABMaMbbpbbpaaaMIGIGM MIGIGIGMPbbPaaPaaaMIGIGIGMPbbPaaPbbbMbMaMBA MMlAB bhT 3tIhb maxmax tmaxWT tGITl max 2thbW 3t31 hI 2t31 hW

14、mkN4 MT229. 0246. 0 4833tm1028605. 01 . 0229. 0 hbI 3622tm106 .6105. 01 . 0246. 0 hbW 2 bhMPa65106 .6140006tmax WT/m1rad/m01745. 0102861080400089t GIT弯曲内力AAAYAAXARHM BAalFYAXARBABFlalFRFlFaRmXFAyBAAx)( , 0 , 00 , 0 YAXARBABFmmxMYAFSCFRBFSCMxYMmlalFYFFACAy , 0)(s , 0FSdxmmFS+dxmmFSFS；mm+（受拉）（受拉）MMmm（

15、受压）（受压）MM0mARBBdEDAabclCFF1F2RA021bFaFlRB0mB0)()(21blFalFlRAlblFalFRA)()(21lbFaFRB21 BdEDAabclCFF1F2RAAECFSERA00S EAyFR,F0, 0cRMmAEEAERFScRMAEAEcFSERAa- cb- cCDl- cBEFSEF1F2 0yF021S FFRFBE0ME0)()()(21McbFcaFclREB+cRMAEAERFS BdEDAabclCFF1F2RAFdBFSFMFRB0, 00, 0S dRMmRFFBFFBFy-+RFBF SdRMBF niiSFF左（右）左（

16、右）1 mkkiniiMaFM左左（右右）左左（右右）11F2=FACDBbacF1=FRARB kN60FRRBAF2=FACDBbacF1=FRARBkN601SFFCkN.m061.bFMC060601SFRFADkN.m8 .13)(1FacFacRMADC12mkN4SS1RFFAC左左kN.m411RMMAC左左kN4)4(S2SRFFBC右右kN.m651)4()152(2.RMMBC右右B1m2.5m10kN.mAC12RARB xFs(x)Fs 图的坐标系图的坐标系OM 图的坐标系图的坐标系xOM(x)BAFlx)0()()0()(SlxFxxMlxFxF0SFA左左FS右=

17、FAFSxFFlxMAFBlx)0()()0()(SlxFxxMlxFxF2qlRRBAlqRARBABx)0(222)()0(2)(2SlxqxqlxxqxxRxMlxqxqlqxRxFAA )0(2)(SlxqxqlxF2SqlF 2SqlF +ql/2ql/2BlqRAAxRB)0(222)(2lxqxqlxxqxxRxMAlqRAABxRB00,Mx0,Mlx02)(dqxqldxxM2lx 822maxqlMMlx+82qll/2 lqRAABxRB+ql/2ql/2+82qll/282maxqlM2maxSqlFlFABCabRARBlFbRAlFaRB xxlFABCabRARB

18、)2()0()()1()0()(SaxxlFbxMaxlFbxF)4()()()()()3()()()(SlxaxllFaaxFxlFbxMlxalFalblFFlFbxF)1()0()(SaxlFbxF)3()()(SlxalFaxFxxlFABCabRARB+lFblFa)4()()()(lxaxllFaxM)2()0()(axxlFbxMxxlFABCabRARB+lFbaxxlFABCabRARB+lFbalFblFalmRAlmRB)1()0()(SlxlmxFlABCabRARBmxxlABCabRARBm(2)xlmxM)()0(ax (3)()(xllmmxlmxM)(lxal

19、ABCabRARBm)1()0()(SlxlmxFlmF S+lmxlABCabRARBm(2)xlmxM)()0(ax (3)()(xllmmxlmxM)(lxa lmaMC左左 0M lmbMC右右+lmalmblABCabRARBm+lm+lmalmbABFlxlxlFRA)( lFxRBxlxlFxRMAC)( 0ddxMC0)2-(=xllF2lx 2lx xlxlFxRMAC)( FlM41maxxyq(x)Fmxyq(x)FmFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C .xmmnn dxFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM

20、(x)mmnnq(x)C0d)()(d)()( 0SSS xxqxFxFxFFx )(d)(dSxqxxF02d)d(d )s()( )(d)( 0 xxxqxxFxMxMxMMC)(d)(dSxFxxM)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMxFs(x)OxOM(x)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM xFs(x)OxOM(x)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMOM(x)x)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMFCmC或或q0FmC)(d)(dSx

21、qxxF2121)()(dSxxxxdxxqxF21)()()(1S2SxxdxxqxFxF2112)(SSxxxxdxxqFF2112)(SSxxxxdxxqFF)(d)(dSxFxxMbaABdxxFMM)(Sk623.RA kN27 RBBACD2001151265FFRARB231kN6 .23SAARF右右23.61.727+BRBACD2001151265FFRA231kN27SBDRF右右kN0S右右BFkN27SmaxFkN7 . 1SFRFAC右右4.723.11+BACD2001151265FFRARB231mkN11. 3115. 0RMBD0MBmkN72. 4max

22、MmkN72. 42 . 0 RMAC0MABACD2001151265FFRARB2314.723.11+23.61.727+ RARBEqABCD0.21.612kN806110050RRBA+80kN80kNkN80SAARF右右 kN80SACRFkN80SBDRFkN80S左左BBRFkN0S右右BF),( kN80maxSFRARBEqABCD0.21.6120MAkN.m1620.RMACmkN1620RMBDmkN48)201(212qRMAE +161648单位：单位：kN.mmkN48maxMRARBEqABCD0.21.6123m4mABCDE4m4mRARBF1=2kN

23、q=1kN/mm=10kN.mF2=2kNkN7RAkN5RBkN7S RFAA右右kN34S qRFAC左左kN141S PqRFAC右右kN32S BDRPF3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kNkN32SBRFFkN22S PFB右右kN7S 右右AFkN3S 左左CFkN1S 右右CFkN3S DF01SFqxRFAx7kN1kN+3kN3kN2kNx=5m0MA204242qRMAC16472mRFMBD左左5 .20maxMMF6472RPMBD右右632PMB0 ME3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=

24、10kN.mF2=2kN201666+20.5abcd18kN2kN14kN3m3m6m+)(dsdxqxFkN18SFB左左kN2S FB右右CABDF=20kN)(ddxqxFSqdxxqFFdcCD6)(SSkN26)2()14(qabcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN)(d)(dSxFxxMbaABdxxFMM)(SmkN543180abcd18kN2kN14kN3m3m6m+cbSBCxxFMMd)(kN.m 483)2(540Md48dab54c+40kN.mabcd2m2m2m+)(d)(dSxFxxMSS2)(FdxxFMMcbBCkN202

25、4002MSMFBCabcd20kNm)(ddxqxFS0MA左左mkN40右右AM40KN.mabcd2m2m2m+abcd20kNBCAD0SFB左左kN20SFB右右kN20SFB左左0SFB右右FF弯曲应力1MEIzM yIz中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：正应力计算公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心中性轴过截面形心横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力：tZM yI1yyy12maxCL8TU4当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：,cZM yI2tcmaxMWZmaxmaxM yIZCzyy1y2WIyzzmax抗弯截面模量CL8TU5zM 0M 0横截

26、面上的应力分布图：横截面上的应力分布图：zIbhZ312IdZ464IDdDZ()()444464641CL8TU6,WbhZ26,WdZ332WDZ34321 ()WZxM)( 5hl二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：利用上式可以进行三方面的强度计算：已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度梁的强度已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸截面尺寸已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷maxmax MWZ 例：例： 矩形截面梁

27、当横截面的高度增加一倍，矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？梁的承载能力将是原来的多少倍？解：解： 由公式由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出，可以看出， 该梁的承载能力将是原来的该梁的承载能力将是原来的 2 倍。倍。 例：主例：主梁梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？为多少？CL8TU8a2a2l2l2PA

28、BCD解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩PlaPa44()副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩MPaCDmax4由由MMABCDmaxmax即即得得al2MPlaABmax()4 例：图示梁的截面为例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为力和许用压应力分别为t和和c，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）的最佳比值为多少？（为截面形心） CL8TU9PCy1y2z解：解：( )( )1212得：yytctztMyImax1czcMyImax2( ) 1( )2 例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的

29、许用应力许用应力=160MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 CL8TU1010kN / m2m4m100200解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN m10kN / m2m4m10020045kN15kNQ()kN202515M()kN m201125.tzMWmax20100102632. 30MPa 该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全 例：图示三种截面梁，材质、截面内例：图示三种截面梁，材质、截面内max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。面最经济。CL8TU11A1A2A32bbaad解：由题意可知解：由题

30、意可知WWWzzz123A1A2A32bbaad即即bbad()26632233AAA123:24222bad:bada063001193. 0794 1 112.: : . 例：图示铸铁梁，许用拉应力例：图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力许用压应力c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。CL8TU129kN4kNCz52881m1m1mABCDtzI2588.9kN4kNCz52881m1m1mM(kN m)25 . kN105 . kN25 .4ABCDczI2552.tzI452czI488C截面截面：B截面截面： 288 . MP

31、a 170 . MPa 273 . MPa 461 . MPa 例：简支梁例：简支梁AB，在截面下边缘贴一应，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模，材料的弹性模量量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU1304 . m05 . m1mPABCD4020补充：电测法的基本原理补充：电测法的基本原理电阻应变片电阻应变片RRK解：解：04 . m05 . m1mPABCD4020C点的应力点的应力CE2001061034 120MPaC截面的弯矩截面的弯矩MWCCzMRCA 05 .由由得得P 32 . kN0504. P 02 .

32、P 640N m640N m 例：简支梁受均布荷载，在其截面的下例：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？CL8TU14q 40kN / m15 . mABC20030015 . mq 40kN / m15 . mABC20030015 . m解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力CCzMWC截面的弯矩截面的弯矩MqlC2845kN mCE应变值应变值15MPa1510200106975105. 例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为例：图示木梁，已知下边缘

33、纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。CL8TU15P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：解：AClxx( ) d0/2xdx( )xExld0/2M xW Exzl( )d0/2P xW Exzl2d0/2PlW Ez216PW ElzAC162 164020361051022103. 150kN 例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳

34、比值。接近最佳比值。解：解：bhd222CL8TU15bhdWbhz26b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3hdbd2223hd2压杆稳定maxmax AFN crFF crFF crFF 过过度度对应的对应的压力压力直线平衡状态不变直线平衡状态不变平衡形式发生变化平衡形式发生变化达到限值达到限值小于限值小于限值 s s变形前的形状、尺寸变形前的形状、尺寸变形后的形状、尺寸变形后的形状、尺寸实验确定实验确定理论分析计算理论分析计算强度问题强度问题稳定问题稳定问题yBFmmwBxylFcr)(xfw FwxM )(FwxMEIw )( （a)EIFk 202 wkw(b)(b

35、)式的通解为式的通解为)(cossindkxBkxAw （A、B为积分常数为积分常数）mmxyBwFFwxM )(0 00 0 wx,0 0 wLx,0 00 01 10 00 00 00 0 BBABAcossin0 0 klAsin0 0 A0sin kl0 00 0 wA,.)3 , 2 , 1 . 0(0sin=nnklklmxmBxylFw,.)3 , 2 , 1 , 0(2 nnklEIFk ,.)3 , 2 , 1 , 0(222 nlEInF 2 22 2lEIF crmxmBxylFw kl122 sinsinkllxwsin22lEIFcr kxklwsin2sin 2 22 2lEIF cr2 22 27 70 0).(crlEIF Fcrl0.3l0.7l22cr)7 . 0(lEIF C2 22 25 50 0).(crlEIF 2 22 22 2 )(crlEIF lFcr2l22cr)2( lEIF lFcrl/4l/4l/222cr)2/(lEIF l 2 22 2lEIF cr2 22 27 70 0).(crlEIF 2 22 25 50 0).(crlEIF 2 22 22 2 )(crl