4-2 矩阵的QR分解

1、12021/6/16矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系Department of Mathematics2 矩阵的分解矩阵的分解Department of Mathematics2021/6/163定理定理2: 设设 ，那么，那么 可唯一地分解为可唯一地分解为 其中：其中： ， 为正线上三角阵为正线上三角阵AURrnrCA ArnrUU R4.2 矩阵的矩阵的QR分解分解定理定理1： 是次酉阵当且仅当是次酉阵当且仅当 的列（行）为标的列（行）为标 准正交向量组。准正交向量组。AA定义定义1: 设设 ,若若 则称则称 为为次酉阵，

2、次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为：酉阵的集合记为： A)(nrrrnrCCA )( IAAIAAHH )(nrrrnrUU )(nrrrnrCCA )(nrrrnrUU 称为称为A的的UR分解分解Department of Mathematics2021/6/164A证明：证明：先证明分解的存在性。将矩阵先证明分解的存在性。将矩阵 按列分按列分块块 得到得到由于由于 ，所以，所以 是线性无关的。是线性无关的。 利用利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正一组正交向量组再单位化，这样得

3、到一组标准正交向量组交向量组),(21rA rnrCA r ,21r ,21由前面学的定理有：由前面学的定理有：RAr),(21 其中其中: 为正线上三角阵为正线上三角阵. 设设 欧氏欧氏(酉酉)空间空间 的线性无关组的线性无关组,则则 中存在标准正交向量组中存在标准正交向量组 ,使得使得12,m VVm ,21Rmm,2121 )(mmmmmmRCR 记记: ,则则于是于是: ,下面证明分解是唯一的下面证明分解是唯一的),(21rU IUUH rnrUUURA , Department of Mathematics2021/6/165 假设假设: ,: ,那么有那么有:RUURA11RRUU

4、 注意到注意到 仍是酉矩阵，而仍是酉矩阵，而 是一个正线是一个正线上三角矩阵，因此有上三角矩阵，因此有:UU11RR于是于是: ,从而从而IUU1IRR1RRUU,IUUUUUUUUUUHHH 11111)()()(推论推论1: 设设 ，那么，那么 可唯一地分解为可唯一地分解为 其中：其中： ， 为正线下三角阵为正线下三角阵nrrCA AnrrUU LUA L证明证明:因为因为 ,则则所以所以,rnrTUUURA , nrrTTTUUURA , ,nrrTCA 推论推论2: 设设 ，那么，那么 可唯一地分解为可唯一地分解为 其中：其中： ， 为正线上三角阵为正线上三角阵AURnnnCA Ann

5、nUU RDepartment of Mathematics2021/6/166例例 1 求下列矩阵的正交三角分解求下列矩阵的正交三角分解 100010001111A解答解答:容易判断出容易判断出 即即 是一个列满秩矩是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，阵。按照定理的证明过程，4 33ACA将将 的三个列向量正交化与单位化的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组先得到一个正交向量组:123ADepartment of Mathematics2021/6/167112122121113132231211223121 100(,)1(,)2111022(,)(,)(,)(,)1111112

6、3333TTT Department of Mathematics2021/6/168再将其单位化，得到一组标准正交向量组再将其单位化，得到一组标准正交向量组111222333122002216660663133336662TTTDepartment of Mathematics2021/6/169这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成可表示成112213321262222 362362Department of Mathematics2021/6/1610将上面的式子矩阵化，即为将上面的式子矩阵化，即为123123222226602623003AURDepartment of Mathematics2021/6/1611解答解答:首先判断出首先判断出 ,由定理可知必存在由定理可知必存在 以及三阶正线上三角矩阵以及三阶正线上三角矩阵 使得使得3 33AC3 3UURAUR 212220122A练习练习: 求下列矩阵的正交三角分解求下列矩阵的正交三角分解 重复例题的步骤重复例