.硕士生现代信号处理_自适应滤波(2)

1、硕士生现代信号处理硕士生现代信号处理_ _自适应自适应滤波滤波(2)(2)4.5 RLS算法算法n1. 问题的引出问题的引出nLMS算法收敛速度较慢，无法快速跟踪信算法收敛速度较慢，无法快速跟踪信号或系统的时变特性。当信号或系统特性号或系统的时变特性。当信号或系统特性变化较快时，需要一种收敛快、跟踪能力变化较快时，需要一种收敛快、跟踪能力强的算法。强的算法。nLMS算法的权值调整方向取决于瞬时梯度，算法的权值调整方向取决于瞬时梯度，存在大量误调，是导致收敛速度慢的原因存在大量误调，是导致收敛速度慢的原因之一。之一。4.5 RLS算法算法那么那么21| )(|)(ienJniin )(R2W)(

2、R2)(WnnnJdxnxn )(R)(RW1nndxxn 0)(W nJnnnnnWXDE nnnHnHnnnHnHnnnHnWXXWDXWRe2DD nxHndxHnnnHnnnW)(RW)(RWRe2DD nnHnEE WXDWXDnnnnnHnnn 4.5 RLS算法算法n4. 递归最小二乘递归最小二乘 ( Recursive Least Square)算算法法ni) 推导推导 思路：通过思路：通过 和和 的递归计算求的递归计算求 的迭代式。的迭代式。)(R1nx )(RndxnW)(R)(RW1nndxxn 4.5 RLS算法算法 (A) 的递归计算的递归计算TiniiinnnHnx

3、nxxXX)(R1* )(R1nx )(R)(RW1nndxxn 为方便为方便, ,令令)(RP1nxn 1*11)xxP(P Tnnnn TnnTiniiinTnnTiniiinxxxxxxxx*11*1*11* Tnnxnxx) 1(R* 4.5 RLS算法算法矩阵求逆引理：矩阵求逆引理：设设A A及及A+BCDA+BCD均是满秩方阵，那么均是满秩方阵，那么1111111DABDACBAABCDA ）（）（ *11*11xPxPxxPP1nnTnnTnnnn 11PA n1C TnxD *xBn *111*111xPx1PxxPP1nnTnnTnnnn 11*1111*11xxPxxPP

4、TnnnTnnnn 4.5 RLS算法算法定义定义 (B) 的递归计算的递归计算*11*11xPx1xPgnnTnnnn *11*11xPxPxgxPgnnnnTnnnnn PxgPP111 nTnnnn )(Rndx)(xx)(*11*1ndidnniiin *x)()1(R)(Rndxdxndnn *111*111xPx1PxxPP1PnnTnnTnnnnn niiindxidn1*x)()(R 4.5 RLS算法算法 (C) 的迭代计算的迭代计算)(RP)(R)(RW1nnndxndxxn nWPxgPP111 nTnnnn *x)() 1(R)(Rndxdxndnn *xPgnnn x

5、 )() 1(RP*ndxnndn )(WxgW11ndgnnTnnn )(xP) 1(RPxgP*11ndnnndxnTnnn Wx)(gWW11 nTnnnnnd4.5 RLS算法算法nii) 说明：说明：nn时刻的最正确时刻的最正确 可由可由n-1时刻的最正确值时刻的最正确值 加一个修正量加一个修正量得到。得到。n称称为先验误差；为先验误差；n称称为后验误差；为后验误差；n 为增益矢量。为增益矢量。ngn与与Pn的计算是递归的。的计算是递归的。nW)Wx)(g1 nTnnnd1Wx)( nTnndngnTnndWx)( Wx)(gWW11 nTnnnnnd*11*11xPx1xPgnnT

6、nnnn PxgPP111 nTnnnn 4.5 RLS算法算法 初始化：初始化： 通常取通常取 或根据具体应用选其它或根据具体应用选其它值。值。 通常取通常取 ， 为很小的为很小的正数。正数。I)0(RP110 x 0W0 Wx)(gWW11 nTnnnnnd4.5 RLS算法算法niii) RLS算法流程小结：算法流程小结： 初始化：初始化： , , ， 对对 ， 取得取得计算增益：计算增益：更新权向量更新权向量: :滤波滤波: :计算计算Pn ： n=n+1，重复，重复- 。0W0 0 x0 IP10 2 , 1 nnndx)(和和*11*11xPx1xPgnnTnnnn Wx)(gWW

7、11 nTnnnnndPxgPP111 nTnnnn nTnnyWx)( 4.5 RLS算法算法n5. RLS算法的收敛性算法的收敛性ni) 系统模型讨论以系统辨识为应用背景系统模型讨论以系统辨识为应用背景: 未知系统未知系统A确知确知信号信号x(n)自适应自适应滤波器滤波器d(n)e(n)()(ndny -v(n)4.5 RLS算法算法 未知系统响应向量：未知系统响应向量： 噪声向量：噪声向量： ，与，与 不相不相关，关，。 期望信号向量：期望信号向量：nTnndxW)( 注注：后后验验误误差差)()()(ndndne )(xA)(nvndnT TNaaa,A110 Tnnvvv)(),2(

8、),1 (V nx0V nEIVV2 vHnnE Tnnddd)(),2(),1(D nnnVAXD 4.5 RLS算法算法nii) 均值收敛性均值收敛性:AVX)(RAVAXX)(RDX)(R)(R)(RW1111 nnHnxnnnHnxnnHnxdxxnnEnEnEnnEEnTnTnnTnEEndExAx WxW)( 是的是的无偏估计。无偏估计。nWA4.5 RLS算法算法niii) 权向量的收敛过程权向量的收敛过程:定义权向量的误差向量定义权向量的误差向量:均方误差均方误差:权向量的均方误差随着权向量的均方误差随着n的增加而减小。其的增加而减小。其大小取决于输入信号相关矩阵的最小特征大小

9、取决于输入信号相关矩阵的最小特征值值 。当。当 很小时，收敛性能变差。很小时，收敛性能变差。AW nn1,11 12 NnNnENiivnHn 是输入自相关是输入自相关矩阵的特征值。矩阵的特征值。i min min 4.5 RLS算法算法niv) 均方收敛性均方收敛性:nv) 失调系数失调系数:2210102221| )()(|)(vniiniiNndndEneE 210102minmin2)( niiniiNJJneE 遗忘因子。遗忘因子。22min2min2min| )(| )()(| )(|vnvEndndEneEJ 4.5 RLS算法算法 当当 时，有时，有 。当当 时，时， 。此时。

10、此时RLS算法理论算法理论上没有超量均方误差。上没有超量均方误差。 当当时，有时，有 。此。此时时RLS算法存在超量均方误差，算法存在超量均方误差， 越小，越小，超量均方误差越大。超量均方误差越大。1 nN/ n0 1 )1/()1 (lim Nn 4.5 RLS算法算法n6. 应用实例应用实例:系统辨识系统辨识n信号模型信号模型nx(n)是方差为是方差为1，均值为，均值为0的服从高斯分布的服从高斯分布的随机信号；的随机信号； h(n)由由5阶阶FIR低通滤器模拟；低通滤器模拟； 。 h(n)x(n)d(n)e(n)(ny nW)(*)()(nhnxnd 4.5 RLS算法算法n处理流程：处理

11、流程：n初始化初始化 ：N=13，n迭代处理迭代处理n=1,2n 取得取得d(n)和和xnn计算增益：计算增益：n更新权向量更新权向量:n计算计算Pn ：nn=n+1，重复，重复- 。0W0 I10P20 99. 0 *11*11xPx1xPgnnTnnnn Wx)(gWW11 nTnnnnndPxgPP111 nTnnnn 4.5 RLS算法算法n实验结果实验结果 051015-0.500.51051015-0.500.51051015-4-20246x 10-1702000400060008000-400-300-200-1000h(i)w(i)Learning curveh(i)-w(i)iiin4.5 RLS算法算法 LMS算法实验结果比照算法实验结果比照 051015-0.500.51051015-0.500.51051015-2-1012